王曉明，周文雅，尋廣彬，吳志剛，

(1.大連理工大學工程力學系工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連116024; 2.大連理工大學航空航天學院，大連116024)

帶有振動抑制的壓電結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀主動控制

王曉明1，周文雅2，尋廣彬1，吳志剛1，2

(1.大連理工大學工程力學系工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連116024; 2.大連理工大學航空航天學院，大連116024)

針對壓電結(jié)構(gòu)在動態(tài)形狀主動控制過程中的振動抑制問題，以壓電纖維復合材料作動器驅(qū)動的懸臂板為研究對象，建立了結(jié)構(gòu)有限元模型，并給出了控制方程。由于不合理的作動器電壓加載方式會導致結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)和殘余振動，影響形狀控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性;本文在靜態(tài)形狀控制基礎上，提出電壓加載時間歷程的優(yōu)化問題。結(jié)合有限差分法和二次規(guī)劃算法對優(yōu)化問題進行求解。最后，以懸臂板彎曲形狀控制為例，對所提動態(tài)形狀控制算法進行了校驗;并與階躍、斜坡等電壓加載方式進行了對比。結(jié)果表明，利用優(yōu)化后的電壓加載時間歷程，能夠有效抑制結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)和殘余振動，提高動態(tài)形狀控制效果。

壓電作動器;板結(jié)構(gòu);形狀控制;振動抑制;二次規(guī)劃

0 引 言

隨著航空航天領域的發(fā)展，柔性結(jié)構(gòu)越來越多的應用于飛行器結(jié)構(gòu)設計中，如太陽能帆板、柔性機翼、大型天線反射面等。利用智能材料實現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)的形狀主動控制能夠有效提高結(jié)構(gòu)精度、增強系統(tǒng)性能并提高結(jié)構(gòu)適應能力［1－2］。例如:主動控制翼面形狀能夠有效改善機翼氣動特性、提高飛行性能［3］;主動控制反射器的型面形狀能夠有效修正型面誤差，提高反射精度［4］。

隨著智能材料的發(fā)展，壓電功能復合材料因其能源轉(zhuǎn)換快速、作用頻帶寬、精確度高等諸多優(yōu)點，在結(jié)構(gòu)型狀控制領域得到了廣泛的研究和應用［5］。結(jié)構(gòu)的形狀控制分為靜態(tài)與動態(tài)形狀控制［6］，其中靜態(tài)形狀控制是將結(jié)構(gòu)的變形過程作為靜態(tài)或準靜態(tài)過程進行分析，而不考慮變形的動態(tài)過程。目前的研究多集中于結(jié)構(gòu)靜態(tài)形狀控制［7－9］。結(jié)構(gòu)的動態(tài)形狀控制則需考慮系統(tǒng)各變量隨時間的變化過程，如驅(qū)動電壓加載時間歷程的影響。簡單的電壓加載方式(如階躍、斜坡等信號)往往會引起結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)和殘余振動，嚴重影響控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性［10］。因此，為滿足結(jié)構(gòu)的形狀精度和穩(wěn)定性等任務要求，需要有效抑制結(jié)構(gòu)變形過程中的振動［11］;以實現(xiàn)連續(xù)、光滑的高精度動態(tài)形狀控制效果［12］。與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動抑制不同的是，結(jié)構(gòu)在變形過程中沒有一個固定的基準狀態(tài);此時的振動抑制需要計及形狀控制中的時變效應［13］。由于壓電結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應與電壓加載方式有直接關(guān)系，因此可以通過優(yōu)化、規(guī)劃驅(qū)動電壓的加載時間歷程，達到抑制結(jié)構(gòu)變形過程中的振動的目的，以提高動態(tài)形狀控制精度。國內(nèi)在壓電結(jié)構(gòu)的動態(tài)形狀控制方面研究還相對較少。有國外研究人員以結(jié)構(gòu)振動最?。?0］、控制能量消耗最?。?4］為目標函數(shù)研究了壓電結(jié)構(gòu)的動態(tài)形狀控制。本文的目標函數(shù)將同時考慮結(jié)構(gòu)振動抑制效果和控制能量消耗，并計及作動器電壓達到穩(wěn)態(tài)值后結(jié)構(gòu)的殘余振動，以綜合提高結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀控制效果。

本文以壓電纖維復合材料驅(qū)動的懸臂板結(jié)構(gòu)為研究對象，建立其動力學方程和控制方程。針對階躍、斜坡等簡單的電壓加載方式易引起結(jié)構(gòu)瞬態(tài)和殘余振動的問題，本研究在靜態(tài)形狀控制基礎上，提出了電壓加載時間歷程的優(yōu)化問題，并給出了二次規(guī)劃求解方法。最后以板結(jié)構(gòu)的彎曲形狀控制為例，驗證了控制算法的有效性。

1 壓電結(jié)構(gòu)動力學模型

壓電驅(qū)動的懸臂板結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。研究中采用的壓電作動器為宏纖維復合材料(Macro fiber composites，MFC)，纖維鋪設方向為板結(jié)構(gòu)的長度方向。施加電壓后，在壓電作動器驅(qū)動下，板結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生如圖所示的彎曲變形。

1.1 結(jié)構(gòu)有限元模型

采用四節(jié)點板單元建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖2(a)所示。模型包含兩種基本單元:被動單元和主動單元(鋪設有壓電材料的單元);兩種單元橫截面如圖2(b)和2(c)所示。由于鋪設的壓電纖維復合材料會引起主動單元剛度和質(zhì)量特性的改變，研究中利用復合材料層合板理論計算主動單元的剛度陣和質(zhì)量陣［15］。

利用哈密頓原理可以導出單元的動力學方程［16］。其中被動單元的動力學方程可表示為

主動單元的動力方程可表示為

式中:uN為單元節(jié)點位移，Muu和Kuu為基板材料層的單元質(zhì)量和剛度矩陣，和表示壓電材料層引起的單元質(zhì)量和剛度增量。Fp為壓電驅(qū)動載荷，并可用下式計算［17］

其中

式中:B1和B2分別為應變－位移矩陣和電場－電勢矩陣，V為電壓值，e為壓電應力系數(shù)矩陣。

通過組裝被動單元和主動單元，可得到總體剛度陣和質(zhì)量陣。為模擬真實的結(jié)構(gòu)動力學響應，還需考慮阻尼效應。因此，壓電驅(qū)動懸臂板的整體有限元方程可以表示為

式中:x為節(jié)點位移向量，M、K分別表示結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量、剛度矩陣，C為阻尼矩陣，研究中采用瑞利阻尼假設，Bu為作動器位置矩陣，u為加載電壓向量，其維數(shù)與作動器個數(shù)一致。

1.2 狀態(tài)空間模型

由于有限元模型單元數(shù)、節(jié)點數(shù)較多，動力學方程階數(shù)較大，不便于進行控制律設計。研究中采用模態(tài)分解法進行模型降階［18］，引入模態(tài)坐標變換

式中:q為廣義坐標向量，Φ為振型矩陣。將上述方程代入方程(5)，并在式子兩端左乘ΦT;進一步整理可得

為便于設計控制器，可將系統(tǒng)模型表示為狀態(tài)空間形式如下

其中

系統(tǒng)的輸出可根據(jù)不同任務或者控制目標而設定。本文研究板結(jié)構(gòu)的彎曲形狀控制，因此將端部撓度作為控制輸出變量;即

式中:y表示壓電驅(qū)動的懸臂板結(jié)構(gòu)的端部撓度，Cy為輸出矩陣。

2 靜態(tài)與動態(tài)形狀控制

壓電結(jié)構(gòu)的形狀控制可以分為靜態(tài)與動態(tài)形狀控制［6］。靜態(tài)形狀控制僅利用靜力方程，不考慮系統(tǒng)各變量隨時間的變化，用于計算達到理想形狀所需的終端加載電壓，或在給定電壓下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)變形。動態(tài)形狀控制則需要計及時間效應，考慮各變量隨時間的變化，即不僅需要結(jié)構(gòu)能夠精確地達到目標形狀，還要求變形過程能夠滿足一定的動態(tài)性能。

以懸臂板結(jié)構(gòu)的彎曲形狀控制為例。設板在初始時刻處于未變形狀態(tài)，且沒有電壓加載，即X0= 0，u0=0。現(xiàn)在希望通過作動器的驅(qū)動，使得其端部撓度y達到期望值yc。首先令狀態(tài)變量對時間的導數(shù)為零，則可以利用下式計算所需的作動器終端穩(wěn)態(tài)電壓

確定了壓電作動器的初始電壓u0和終端電壓uf，但電壓值從u0到uf的加載時間歷程沒有確定。從系統(tǒng)模型可知，作動器電壓加載時間歷程將會對結(jié)構(gòu)的動力學響應產(chǎn)生直接影響。一些簡單的電壓加載方式(如階躍、斜坡等)將會激發(fā)結(jié)構(gòu)振動模態(tài)，產(chǎn)生瞬態(tài)和殘余振動問題，嚴重影響控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性［10］;相關(guān)仿真校驗將在第4章給出。

因此，為實現(xiàn)連續(xù)、光滑的高精度動態(tài)形狀控制效果，需要對作動器電壓加載時間歷程進行優(yōu)化設計，以抑制結(jié)構(gòu)在變形過程中的振動。

3 優(yōu)化問題與求解

在帶有振動抑制的壓電結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀控制中，需要計及時間因素，考慮系統(tǒng)各變量隨時間的變化過程。設初始時刻為t0，期望達到目標形狀的時間為t1。本研究的目的是設計［t0，t1］時間段內(nèi)作動器電壓的加載時間歷程，抑制結(jié)構(gòu)在變形過程中的振動;即設計最優(yōu)控制輸入u(t)，使得結(jié)構(gòu)的振動能量最小。

3.1 優(yōu)化問題的提法

壓電作動器電壓加載時間歷程的優(yōu)化問題可描述如下:

尋求最優(yōu)控制輸入

使得性能指標J(見式(13))取得極小值。

式中:P1、P2為半正定加權(quán)矩陣，P3為正定加權(quán)矩陣，t2表示電壓達到終端值uf后的某個時刻。性能指標J中的第一項表征在電壓加載過程中結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)振動能量，第二項表征電壓達到終端值uf后結(jié)構(gòu)的殘余振動能量，第三項則表示控制能量消耗。通過調(diào)節(jié)上述權(quán)系數(shù)矩陣，可對結(jié)構(gòu)振動抑制效果和控制消耗之間進行權(quán)衡。

此外，設計變量和性能指標受到系統(tǒng)動力學方程、初邊值條件以及壓電作動器電壓限幅等條件的約束。因此，優(yōu)化中的約束條件可表示為

式中:umin、umax為壓電作動器允許可用的最小、最大加載電壓。

基于上述描述，帶有振動抑制的壓電結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀控制問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個性能指標為二次型表達式的動態(tài)優(yōu)化問題。

3.2 二次規(guī)劃方法

方程(12)～(14)給出了優(yōu)化問題的三要素:設計變量、性能指標和約束條件。求解上述優(yōu)化問題可利用多種優(yōu)化算法，由于該優(yōu)化問題的目標函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)和輸入的二次型積分表達式，且約束條件都是線性約束，本研究采用最優(yōu)化理論中的二次規(guī)劃方法對優(yōu)化問題進行求解［19］。

標準的二次規(guī)劃形式為代數(shù)表達式，而上述優(yōu)化問題的性能指標(13)為積分表達式，系統(tǒng)動力學方程(8)為微分表達式。因此研究中采用有限差分法中改進的歐拉公式對系統(tǒng)動力學方程在時間域上離散，即

式中:Δt為離散時間步長。

通過上述離散處理，第3.1節(jié)中提出的電壓加載時間歷程優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為標準的二次規(guī)劃求解形式。研究中使用二次規(guī)劃理論中的“有效集”算法［19］對優(yōu)化問題進行求解。

4 仿真校驗

仿真校驗中采用的懸臂板和采用的MFC壓電作動器的幾何、材料參數(shù)如表1所示。結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格和作動器粘貼位置如圖3所示。懸臂板結(jié)構(gòu)共劃分30×8個單元，其中每一片作動器覆蓋6×6個單元。結(jié)構(gòu)阻尼比設為0.02，用于計算Rayleigh阻尼比例系數(shù)。

表1 懸臂板和作動器的相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters of the cantilever plate and piezoelectric actuators

仿真中以懸臂板端部中點(圖3中右端的P點)的撓度為控制輸出?？刂颇繕耸?期望通過壓電作動器驅(qū)動懸臂板變形，使得端部撓度在t1=1 s時達到穩(wěn)態(tài)值yc=－5 mm。利用式(11)可以求出達到該目標形狀所需的2個作動器的終端穩(wěn)態(tài)電壓值

圖4給出了在作動器終端穩(wěn)態(tài)電壓uf的驅(qū)動下懸臂板達到的終端穩(wěn)態(tài)形狀。

如前所述，作動器電壓加載時間歷程會對結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應產(chǎn)生直接影響。在后續(xù)仿真中，選取t2=2 s。圖5(b)給出了懸臂板端部撓度在階躍電壓加載時間歷程ustep(見圖5(a))下的動態(tài)響應曲線。其中階躍輸入信號的表達式為

圖6(b)給出了懸臂板端部撓度在斜坡電壓加載時間歷程uramp(見圖6(a))下的動態(tài)響應曲線。其中斜坡輸入信號的表達式為

從圖5可以看出，在階躍形式的電壓加載歷程下，懸臂板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了劇烈振動現(xiàn)象，端部最大撓度超調(diào)近1倍，收斂到目標穩(wěn)態(tài)形狀需較長時間。由圖6可知，在采用了斜坡加載方式后，懸臂板振動在一定程度上得到了抑制，但依然存在明顯的瞬態(tài)和殘余振動。雖然結(jié)構(gòu)的振動幅值在阻尼作用下會逐漸衰減，但所需時間較長。綜上可知，簡單、不合理的電壓加載方式會激發(fā)結(jié)構(gòu)振動模態(tài)，引起結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)和殘余振動問題，嚴重影響形狀控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。

為了抑制結(jié)構(gòu)在變形過程中產(chǎn)生的振動，采用第3節(jié)給出的二次規(guī)劃方法對作動器電壓加載時間歷程進行優(yōu)化設計。優(yōu)化后的電壓加載歷程為uoptimal，如圖7(a)所示，對應的懸臂板端部撓度響應如圖7(b)所示。

首先從圖7(b)可以看出，在優(yōu)化后的電壓加載歷程作用下，結(jié)構(gòu)變形過程的瞬態(tài)和殘余振動得到了有效抑制。端部撓度在給定的時間內(nèi)平滑地從初始值達到目標值;并保持穩(wěn)定，沒有產(chǎn)生超調(diào)。從圖7(a)可以看出，優(yōu)化后的作動器電壓值在0.5 s前緩慢增加，從而避免激發(fā)結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)，以減小結(jié)構(gòu)在電壓加載過程中的瞬態(tài)振動幅值。而當電壓值接近終端穩(wěn)態(tài)電壓時出現(xiàn)了較大幅值的波動?？梢岳斫?，正是由于作動器加載電壓隨時間的合理變化，抑制了結(jié)構(gòu)在變形過程中產(chǎn)生的瞬態(tài)和殘余振動。

由于作動器加載電壓在接近終端值時出現(xiàn)了較大幅值的變化，這雖然有助于結(jié)構(gòu)的快速穩(wěn)定，但對作動器和控制系統(tǒng)提出了較高的要求。為避免短時間內(nèi)的電壓跳變現(xiàn)象，有兩種改善方法:一是對性能指標中第三項進行拆分細化，增加末端控制消耗能量在性能指標中的權(quán)重;二是對每一個時間步長Δt內(nèi)的電壓變化進行約束限制，即增加不等式約束。本研究中采用第二種方法，即增加如下約束條件

由圖8(a)可以看出，在增加了對電壓的不等式約束后，作動器電壓值在接近uf時的跳變現(xiàn)象得到了有效改善，更易于在實際中應用。另一方面，懸臂板端部撓度在接近目標穩(wěn)態(tài)值yc時的響應曲線斜率減小了，使得結(jié)構(gòu)的動態(tài)變形過程更加平滑，如圖8(b)所示。

對比圖5～8可以看出，在壓電結(jié)構(gòu)的形狀主動控制中，不僅需要結(jié)構(gòu)能夠精確達到某個形狀，還須滿足一定的動態(tài)性能。利用本文的優(yōu)化方法，可以規(guī)劃出更為合理的電壓加載時間歷程，抑制結(jié)構(gòu)變形過程中的振動，實現(xiàn)連續(xù)、光滑的變形效果，提高動態(tài)形狀控制精度。

5 結(jié) 論

本文研究了帶有振動抑制的壓電結(jié)構(gòu)的動態(tài)形狀主動控制。推導了壓電驅(qū)動的懸臂板結(jié)構(gòu)的動力學方程，并采用二次規(guī)劃方法對作動器的電壓加載歷程進行了優(yōu)化設計。利用優(yōu)化后的電壓加載方式能夠有效抑制結(jié)構(gòu)在變形過程中產(chǎn)生的振動，提高動態(tài)形狀控制精度。

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通信地址:遼寧省大連市高新園區(qū)凌工路2號大連理工大學綜合實驗1號樓(116024)

電話:(0411)84706521

E-mail:xiaomingwang@mail.dlut.edu.cn

周文雅(1981－)，男，博士，副教授，主要從事飛行器動力學與控制方面的研究。本文通信作者。

通信地址:遼寧省大連市高新園區(qū)凌工路2號大連理工大學綜合實驗1號樓(116024)

電話:(0411)84706521

E-mail:zwy@dlut.edu.cn

(編輯:牛苗苗)

Dynamic Shape Control of Piezoelectric Structures with Vibration Suppression

WANG Xiao-ming1，ZHOU Wen-ya2，XUN Guang-bin1，WU Zhi-gang1，2
(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Department of Engineering Mechanics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China; 2.School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

The vibration suppression during the dynamic shape control of the piezoelectric structures is investigated in this paper.The object of this study is a cantilever plate structure with the actuation of the piezoelectric fiber composite materials.The structural finite element model is established and the control equations are given.Some irrational voltage profiles may result in transient and residual vibrations of the structure which would reduce the control precision and stability of the system.A voltage profile optimization problem is formulated based on the static shape control results.The optimization problem is solved using the finite difference method and the quadratic programming.In the end，the bending shape control cases are simulated to verify the effectiveness of the proposed dynamic shape control approach by comparison with the step and ramp voltage profiles.The results show that the transient and residual vibrations of the structure have been effectively suppressed using the optimal voltage profiles and the dynamic shape control performance has been improved.

Piezoelectric actuators;Plate structures;Shape control;Vibration suppression;Quadratic programming

V214.3

A

1000-1328(2017)02-0185-07

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.02.010

王曉明(1989－)，男，博士生，主要從事動力學與控制方面的研究。

2016-10-08;

2016-12-08

國家自然科學基金(11432010)