龐 巖，李 靜，劉 磊

(1.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連116024;2.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024; 3.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072)

柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模

龐 巖1，2，李 靜1，劉 磊3

(1.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連116024;2.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024; 3.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072)

基于拉格朗日法建立柔性線纜連接的分離式磁耦合衛(wèi)星剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并基于該模型研究柔性線纜對分離式衛(wèi)星隔振性能以及指向性能的影響。仿真結(jié)果表明，柔性線纜將明顯降低分離式衛(wèi)星對服務(wù)模塊低頻擾動(dòng)的隔振性能，由于柔性線纜的存在，低頻擾動(dòng)將使載荷模塊穩(wěn)態(tài)時(shí)的姿態(tài)精度和穩(wěn)定度大幅下降。柔性線纜也會(huì)影響載荷模塊的指向控制精度，采用相同的PD控制器，有柔性線纜時(shí)載荷模塊指向穩(wěn)態(tài)誤差大于無柔性線纜時(shí)載荷模塊指向穩(wěn)態(tài)誤差4個(gè)數(shù)量級。柔性線纜對載荷模塊性能影響明顯，所建動(dòng)力學(xué)模型對提高分離式衛(wèi)星建模和控制精度有重要意義。

分離式衛(wèi)星;柔性線纜;拉格朗日法;剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)

0 引 言

超靜力學(xué)環(huán)境是敏感載荷的迫切要求，本文研究一種特殊設(shè)計(jì)的超靜衛(wèi)星構(gòu)型，即分離式衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)建模。分離式衛(wèi)星是洛克希德·馬丁公司提出來的一種新型超靜衛(wèi)星構(gòu)型，其由載荷模塊、服務(wù)模塊以及兩個(gè)模塊之間的磁耦合界面組成。載荷模塊上安裝有需要高精度以及高穩(wěn)定度控制的敏感設(shè)備，比如高分辨率望遠(yuǎn)鏡等。服務(wù)模塊安裝有反作用飛輪、推進(jìn)器、撓性太陽帆板等有擾設(shè)備，因此衛(wèi)星微振動(dòng)源主要集中在服務(wù)模塊。理想磁耦合界面由非接觸作動(dòng)器(如音圈作動(dòng)器)、非接觸傳感器以及無線能量和信息傳遞通道組成，以保證載荷模塊超靜性能。由于載荷模塊和服務(wù)模塊之間無機(jī)械連接，這種結(jié)構(gòu)理論上可以實(shí)現(xiàn)零剛度完全隔振，并且可以通過磁耦合作動(dòng)器對載荷模塊進(jìn)行姿態(tài)和位置操作［1－5］。文獻(xiàn)［2］以NGST空間望遠(yuǎn)鏡的構(gòu)型為例通過數(shù)值仿真比較了分離式衛(wèi)星和傳統(tǒng)擾動(dòng)源隔振衛(wèi)星的隔振性能，結(jié)果表明分離式衛(wèi)星較傳統(tǒng)衛(wèi)星其隔振性能提高兩個(gè)數(shù)量級，證實(shí)了分離式衛(wèi)星構(gòu)型對微振動(dòng)隔離的有效性。文獻(xiàn)［4］研究了分離式衛(wèi)星構(gòu)型在敏捷衛(wèi)星中的應(yīng)用，其數(shù)值仿真和地面實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明分離式衛(wèi)星構(gòu)型在滿足隔振性能的同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)對載荷模塊的快速指向控制。

理想分離式衛(wèi)星其載荷模塊和服務(wù)模塊之間完全沒有物理連接，但實(shí)際中由于現(xiàn)有技術(shù)的局限，載荷模塊和服務(wù)模塊之間的能量傳遞需要柔性線纜連接［2，5］。文獻(xiàn)［2］中仿真結(jié)果表明載荷模塊和服務(wù)模塊之間存在柔性線纜耦合時(shí)，其低頻段隔振性能較完全非接觸情況下降十倍以上，說明柔性線纜嚴(yán)重影響了分離式衛(wèi)星的隔振性能，但文中并未給出柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型。許域菲建立了無機(jī)械連接時(shí)，對載荷進(jìn)行六自由度操作的一種動(dòng)力學(xué)模型，但還沒有研究有線纜連接時(shí)的情況［6］。

柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星不同于繩系衛(wèi)星。繩系衛(wèi)星系繩兩端的模塊分別采用常規(guī)執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行姿態(tài)和軌道控制，而本文研究的分離式衛(wèi)星，其載荷模塊的姿態(tài)、位置(軌道)通過載荷模塊和服務(wù)模塊之間的磁耦合作動(dòng)器進(jìn)行控制。對繩系衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)建模已經(jīng)有了大量的研究［7－12］，但這些動(dòng)力學(xué)模型尤其是在閉環(huán)控制時(shí)并不適合本文研究的分離式衛(wèi)星。

本文以柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星為研究對象，基于拉格朗日法構(gòu)建其剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行仿真研究。拉格朗日法從能量角度出發(fā)，無需計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)約束力，推導(dǎo)過程簡潔，適用于多自由度復(fù)雜系統(tǒng)建模，因而被廣泛的應(yīng)用在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域中［13－17］。針對所建動(dòng)力學(xué)模型，本文仿真分析了柔性線纜連接對分離式衛(wèi)星的隔振性能以及載荷模塊控制的影響程度。

1 系統(tǒng)描述以及拉格朗日法簡述

1.1 柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星系統(tǒng)描述

柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中載荷模塊的姿態(tài)和位置通過非接觸作動(dòng)器控制，作動(dòng)器的數(shù)量以及安裝構(gòu)型可以有多種形式，比如具有六個(gè)作動(dòng)器的hexapod構(gòu)型［1，5］。為使作圖簡潔，本文在圖1中只給出了某一個(gè)作動(dòng)器及其傳感器示意圖，記其編號為i。本文假設(shè)載荷模塊和服務(wù)模塊均為剛體，且載荷模塊和服務(wù)模塊之間的柔性線纜可視為一個(gè)具有一定剛度和阻尼的彈簧/阻尼元件［18］。

為利用拉格朗日法建模，將圖1所示系統(tǒng)寫為圖2所示的向量形式，并建立用于描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系。

圖2中，L-XYZ是衛(wèi)星的軌道坐標(biāo)系，L是整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心;S-XYZ和P-XYZ分別表示服務(wù)模塊和載荷模塊的體坐標(biāo)系，S和P分別是服務(wù)模塊和載荷模塊的質(zhì)心;SE-XYZ以及PE-XYZ分別是服務(wù)模塊和載荷模塊在標(biāo)稱位置時(shí)的體坐標(biāo)系;rSE和rPE分別表示服務(wù)模塊和載荷模塊處于標(biāo)稱位置時(shí)質(zhì)心在軌道坐標(biāo)系下的位置矢量;ΔrS和ΔrP分別為載荷模塊和服務(wù)模塊的質(zhì)心偏離標(biāo)稱位置的矢量;du和pu表示服務(wù)模塊和載荷模塊的柔性線纜連接點(diǎn)在各自體坐標(biāo)系下的位置矢量，K和C是柔性線纜簡化模型在軌道坐標(biāo)系下的剛度陣和阻尼陣;di和pi表示載荷模塊和服務(wù)模塊的第i個(gè)作動(dòng)器連接點(diǎn)在各自體坐標(biāo)系下的位置矢量。

圖2中載荷模塊和服務(wù)模塊的運(yùn)動(dòng)可分解為跟隨軌道坐標(biāo)系的軌道運(yùn)動(dòng)以及偏離標(biāo)稱位置的受擾運(yùn)動(dòng)兩部分［18］。本文在推導(dǎo)分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程時(shí)忽略整星軌道運(yùn)動(dòng)，把軌道坐標(biāo)系近似看成一個(gè)慣性系，且假設(shè)SE-XYZ、PE-XYZ、L-XYZ三個(gè)坐標(biāo)系互相平行。

1.2 拉格朗日法簡述

適用于完整系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程如下所示:

式中:L=T－V是拉格朗日函數(shù)，T為系統(tǒng)的總動(dòng)能，V為系統(tǒng)的總勢能;qk是系統(tǒng)的第k個(gè)廣義坐標(biāo)，f是系統(tǒng)的自由度;F為瑞利耗散函數(shù)，Qk表示和廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力。

求取廣義力通常采用式(2)所示虛功原理［19］

式中:W為系統(tǒng)主動(dòng)力虛功。

利用拉格朗日法建模時(shí)，需要選取合適的廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，圖2所示系統(tǒng)有兩個(gè)剛體，要完整描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)需要12個(gè)廣義坐標(biāo)。本文選擇描述載荷模塊運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)為 qP= (xp，yp，zp，θpx，θpy，θpz)T，式中:xp、yp、zp表示矢量ΔrP在軌道坐標(biāo)系下投影的三個(gè)分量，用來描述剛體平動(dòng)，θpx、θpy、θpz表示載荷模塊體坐標(biāo)系P-XYZ繞X-Y-Z三軸相繼轉(zhuǎn)動(dòng)后和PE-XYZ平行所需要的轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉角，用來描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，對于服務(wù)模塊選擇廣義坐標(biāo)為qS=(xs，ys，zs，θsx，θsy，θsz)T，其中各分量和載荷模塊廣義坐標(biāo)中各分量定義對應(yīng)。第2節(jié)將給出有柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的詳細(xì)推導(dǎo)過程。

2 柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模

首先求系統(tǒng)動(dòng)能表達(dá)式。圖2所示系統(tǒng)動(dòng)能包括載荷模塊和服務(wù)模塊的平動(dòng)動(dòng)能以及轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，其具體表達(dá)式如下

式中:mp、ms分別為載荷模塊和服務(wù)模塊質(zhì)量，IP、IS分別為載荷模塊和服務(wù)模塊在各自體坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωP、ωS分別表示載荷模塊和服務(wù)模塊的體坐標(biāo)系相對軌道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量。

為簡化推導(dǎo)，本文假設(shè)IP、IS為對角陣，記IP=diag(Ipx，Ipy，Ipz)，IS=diag(Isx，Isy，Isz)。為書寫簡便記sinθ=Sθ，cosθ=Cθ。則式(3)可寫為如下矩陣形式。

式中:

式中:

將式(5)中各廣義坐標(biāo)分量下標(biāo) p換成 s可得MS(qS)表達(dá)式。

下面求勢能表達(dá)式。本文不考慮系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的勢能只有柔性線纜的彈性勢能，在標(biāo)稱位置時(shí)柔性線纜伸長量為0［18］。記柔性線纜的長度變化矢量為Δu，則柔性線纜的彈性勢能為

式中:

若pu在載荷模塊體坐標(biāo)系下的分量為pu= (pu1，pu2，pu2)T，du在服務(wù)模塊體坐標(biāo)系下的分量為du=(du1，du2，du2)T。將式(8)代入式(7)中可得ΔuP的具體表達(dá)式為

將式(9)中廣義坐標(biāo)各分量下標(biāo)p換成s，并用du各分量替換 pu各分量即可得 ΔuS的表達(dá)式。再將ΔuP和ΔuS的表達(dá)式代入式(6)即可得勢能表達(dá)式。

接下來求系統(tǒng)的瑞利耗散函數(shù)。本文選擇的瑞利耗散函數(shù)具有如下形式

對式(9)求導(dǎo)可得

式中:

式中:

同理可得

將式(13)中各廣義坐標(biāo)分量下標(biāo)p替換成s，并將pu各分量替換成du各分量可得到Rdu(qS)表達(dá)式。因此系統(tǒng)的瑞利耗散函數(shù)為

將式(4)、(6)、(14)代入式(1)即可得分離式衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程，寫成矩陣形式如下

式(15)中上半部分是載荷模塊的動(dòng)力學(xué)方程，下半部分是服務(wù)模塊的動(dòng)力學(xué)方程，QP和QS分別為與廣義坐標(biāo)向量 qP以及 qS對應(yīng)的廣義力。

以載荷模塊為例，將式(15)中載荷模塊動(dòng)力學(xué)方程展開可得

式(16)中右端各項(xiàng)表達(dá)式如下

式中:

式中:

根據(jù)式(11)可得

因此有

同理對于服務(wù)模塊有

將CP1、CP2表達(dá)式中各廣義坐標(biāo)下標(biāo)由p換為s可得CS1、CS2表達(dá)式。

接下來求式(15)中廣義力QP和QS的具體表達(dá)式。圖2中第i個(gè)作動(dòng)器在軌道坐標(biāo)系下的支桿矢量為

支腿的速度矢量為

作動(dòng)器沿支腿方向的伸長速度為

記第i個(gè)作動(dòng)器的作用力大小為，假設(shè)每個(gè)作動(dòng)器的作用力方向沿支腿伸長方向，記f=(f1，f2，…)T，那么根據(jù)虛功原理有

根據(jù)式(26)可得

之后，將式(20)～(21)、(27)～(28)代入式(15)即可得分離式衛(wèi)星在軌道坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程。若載荷模塊以及服務(wù)模塊的運(yùn)動(dòng)是在標(biāo)稱位置附近的小角度運(yùn)動(dòng)，那么忽略高階小量，可得近似線性后的如下動(dòng)力學(xué)方程

上式中E3×3表示3階單位矩陣，分別表示矢量pu、bu的反對稱矩陣，JP、JS此時(shí)為常矩陣。

3 分離式衛(wèi)星載荷模塊仿真分析

本文以載荷模塊為研究對象，分析柔性線纜連接對載荷模塊在開環(huán)狀態(tài)下的指向性能以及閉環(huán)指向控制精度的影響。

3.1 載荷模塊開環(huán)響應(yīng)分析

將服務(wù)模塊的六自由度廣義坐標(biāo)看作載荷模塊的輸入端擾動(dòng)，利用近似線性化之后的載荷模塊動(dòng)力學(xué)方程，即式(29)可以求得服務(wù)模塊廣義坐標(biāo)qP到載荷模塊廣義坐標(biāo)qS的傳遞函數(shù)。載荷模塊動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)六輸入—六輸出系統(tǒng)，若采用Bode圖描述輸入輸出關(guān)系共需要36個(gè)Bode圖，過于繁瑣，于是本文采用奇異值曲線來描述輸入輸出關(guān)系［21］。載荷模塊動(dòng)力學(xué)方程的基本參數(shù)如表 1所示。

服務(wù)模塊廣義坐標(biāo)到載荷模塊廣義坐標(biāo)的傳遞函數(shù)奇異值曲線如圖3所示

表1 載荷模塊基本參數(shù)Table 1 Argument of payload module

從圖3的奇異值曲線可以看出，在0.01 Hz～1 Hz頻段內(nèi)，來自服務(wù)模塊的擾動(dòng)傳遞到載荷模塊時(shí)在某些方向上會(huì)引發(fā)諧振，且諧振峰值超過30 dB。而對于頻率高于1 Hz的擾動(dòng)，載荷模塊的響應(yīng)表現(xiàn)出幅值衰減的特性，且頻率越高，衰減效果越強(qiáng)。因此，在有柔性線纜連接的情況下，服務(wù)模塊對載荷模塊的影響主要是在低頻段。分析部分低頻段發(fā)生耦合振動(dòng)的原因，可以看出，有柔性線纜連接時(shí)，通常線纜剛度較低且阻尼小，柔性線纜與載荷模塊連接的基頻低，因此開環(huán)狀態(tài)下柔性線纜對載荷模塊發(fā)生低頻耦合振動(dòng)。柔性線纜很大程度上衰減了高頻干擾但是在低頻段會(huì)產(chǎn)生諧振，諧振頻率和峰值取決于柔性線纜的剛度和阻尼。服務(wù)模塊對載荷模塊的耦合影響也主要在低頻段。

下面以載荷模塊廣義坐標(biāo)的第四個(gè)分量θpx為例，仿真其對服務(wù)模塊輸入θsx的時(shí)域響應(yīng)。仿真時(shí)采用載荷模塊完整的非線性動(dòng)力學(xué)模型，取θsx為幅值0.0001°、頻率0.4 Hz以及幅值0.00001°、頻率20 Hz的兩個(gè)信號的疊加。載荷模塊的姿態(tài)角和姿態(tài)角速度響應(yīng)如圖4和圖5所示，圖5中ωsx=sx，ωpx=px。為說明柔性線纜的影響，圖4和圖5中給出了無線纜連接時(shí)載荷模塊的響應(yīng)作為對比。

從圖4和圖5中結(jié)果可以看出，在沒有柔性線纜連接時(shí)，服務(wù)模塊的擾動(dòng)對載荷模塊幾乎沒有影響，載荷模塊的姿態(tài)精度優(yōu)于1×10－8(°)，姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于1×10－8(°/s)。而有柔性線纜連接時(shí)，載荷模塊姿態(tài)精度下降到8×10－4(°)，姿態(tài)穩(wěn)定度下降到2×10－3(°/s)?？梢姡嵝跃€纜連接會(huì)嚴(yán)重影響載荷模塊在穩(wěn)態(tài)時(shí)的指向性能，圖4和圖5中結(jié)果也可看出影響載荷模塊姿態(tài)精度和姿態(tài)穩(wěn)定度的主要因素是θsx中頻率為0.4 Hz的低頻分量，而服務(wù)模塊的高頻分量對載荷模塊沒有太大影響，時(shí)域仿真結(jié)果和線性化模型的頻域結(jié)果一致。

3.2 載荷模塊閉環(huán)響應(yīng)分析

本節(jié)分析柔性線纜連接對載荷模塊指向控制的影響，作為對比分別仿真在沒有柔性線纜連接和有柔性線纜連接時(shí)載荷模塊的指向控制。仿真時(shí)不考慮作動(dòng)器的具體構(gòu)型，把式(29)中JTPf單純等效為載荷模塊的主動(dòng)控制力和力矩，并采用如下所示的PD控制器

式中:，r為各廣義坐標(biāo)的參考輸入，本文取 ωn=0.4π，ξ=0.707。取 r= (0.04 m 0.05 m 0.06 m 4°5°6°)T，載荷模塊基本參數(shù)同3.1節(jié)中一致，對載荷模塊六自由度控制的仿真結(jié)果如下

從圖6～11中仿真結(jié)果可以看出，沒有柔性線纜連接時(shí)，在PD控制器作用下載荷模塊12 s內(nèi)可以收斂到穩(wěn)態(tài)值，且各方向控制的穩(wěn)態(tài)誤差小，控制精度高。有柔性線纜連接時(shí)，在同樣的PD控制器作用下載荷模塊在12 s內(nèi)能收斂到穩(wěn)態(tài)值，但是穩(wěn)態(tài)誤差明顯增大。有線纜連接和無線纜連接兩種情況下的PD控制穩(wěn)態(tài)誤差結(jié)果如表2所示，從表中結(jié)果可以看出，有線纜連接時(shí)載荷模塊穩(wěn)態(tài)誤差高于無線纜連接時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差4個(gè)數(shù)量級，說明柔性線纜連接會(huì)嚴(yán)重影響載荷模塊六自由度的指向控制精度。

表2 載荷模塊主動(dòng)控制的穩(wěn)態(tài)誤差Table 2 Steady-state error of payload module in active control

4 結(jié) 論

本文基于拉格朗日法建立了柔性線纜連接的分離式衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型，并研究了柔性線纜對載荷模塊的隔振性能以及指向控制的影響。開環(huán)頻域和時(shí)域仿真結(jié)果表明，根據(jù)線纜參數(shù)和平臺參數(shù)的不同，柔性線纜主要影響分離式衛(wèi)星在低頻段的隔振性能。閉環(huán)指向控制仿真結(jié)果表明在同樣的PD控制器作用下，有無線纜穩(wěn)態(tài)誤差相差4個(gè)數(shù)量級。仿真結(jié)果證實(shí)柔性線纜對分離式衛(wèi)星性能影響明顯，論文建議下一步工作對其柔性線纜動(dòng)力學(xué)進(jìn)行補(bǔ)償，以提高分離式衛(wèi)星性能。

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通信地址:遼寧省大連市大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院(116024)電話:(0411)84706692

E-mail:ypang@dlut.edu.cn

作者簡介:

劉 磊(1981－)，男，副教授，主要從事空間微振動(dòng)、微動(dòng)力學(xué)與控制等研究。本文通信作者。

通信地址:陜西省西安市碑林區(qū)友誼西路西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院(710072)

電話:(029)88492781

E-mail:Leiliu@nwpu.edu.cn

(編輯:張宇平)

Dynamics Modeling of the Separated Satellite with Flexible Cable

PANG Yan1，2，LI Jing1，LIU Lei3
(1.School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China; 2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian 116024 China; 3.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China)

The rigid-flexible coupling dynamics model of a separated satellite with flexible cable is derived using Lagrange method.Based on the proposed model，the flexible cable effect on the vibration isolation performance and pointing control of the satellite is investigated.The simulation result indicates that the flexible cable decreases the vibration isolation performance at low frequencies.Furthermore，the low frequency disturbances from the support module dramatically degrade the attitude accuracy and stability of the satellite.The flexible cable also has significant effect on the pointing control performance of the payload module.Using the same PD controller，the steady-state error of the payload module with flexible cable is 4 orders of magnitude larger than that of the payload module without flexible cable.It can be concluded that the performance of the payload module is seriously degraded by the flexible cable.The dynamics model in this paper is important on how to improve the modeling and control accuracy of the separated satellites.

Separated satellite;Flexible cable;Lagrange method;Rigid-flexible coupling dynamics

V412.4

A

1000-1328(2017)01-0001-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.001

龐 巖(1977－)，女，副教授，主要從事飛行器動(dòng)力學(xué)建模、控制與仿真。

2016-08-10;

2016-11-23

國家自然科學(xué)基金(11402044，51675430，11302132);可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(KHZS20143003);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(DUT16QY23)