李曉宇，姜 宇，金 晶，賀 亮，沈 毅

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制工程系，哈爾濱150001;2.上海航天控制工程研究所，上海200233)

脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的星歷表誤差RKF校正算法

李曉宇1，姜 宇1，金 晶1，賀 亮2，沈 毅1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制工程系，哈爾濱150001;2.上海航天控制工程研究所，上海200233)

為了減小星歷表誤差對脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的影響，本文提出了一種針對星歷表誤差的RKF(Robust Kalman filter)導(dǎo)航定位方法。通過對星歷表誤差進(jìn)行分析，得到星歷表誤差隨時間變化的關(guān)系。建立帶有星歷表誤差的量測模型，利用Kalman濾波原理進(jìn)行計(jì)算。在Kalman濾波計(jì)算的過程中，星歷表誤差項(xiàng)是未知的，利用矩陣不等式進(jìn)行處理，最終確定誤差協(xié)方差的下界，并計(jì)算反饋增益得到最終的狀態(tài)估計(jì)值。將RKF方法與UKF和其他兩種處理星歷表誤差的濾波方法分別在繞飛地球和火星的軌道上進(jìn)行測試并進(jìn)行對比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的方法可以取得到比UKF和其他兩種濾波方法更高的定位精度，有效的減小星歷表誤差對脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

自主導(dǎo)航;脈沖星導(dǎo)航 (XNAV);星歷表誤差

0 引 言

近年來，X射線脈沖星導(dǎo)航［1］作為一種新興的自主導(dǎo)航方式，受到越來越多的關(guān)注。具有自主性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以有效的克服利用地面跟蹤導(dǎo)航系統(tǒng)的缺陷，完全勝任各種自主導(dǎo)航探測任務(wù)。脈沖星是一種高速旋轉(zhuǎn)的中子星，不斷的發(fā)出X射線電子束，這種電子束具有周期穩(wěn)定的，容易辨識的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)X射線粒子束掃過某一個平面的時候，星載探測器可以在單位時間記錄到達(dá)的光子數(shù)，形成一個觀測輪廓。將脈沖星的觀測輪廓和標(biāo)準(zhǔn)輪廓進(jìn)行對比，可以得到脈沖星光子到達(dá)太陽質(zhì)心與到達(dá)航天器的時間差。因此，可以將該時間差作為脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測量，結(jié)合軌道動力學(xué)模型，根據(jù)EKF，UKF和NPF等濾波算法［2－7］得到導(dǎo)航信息。

在繞飛行星探測的過程中，動力學(xué)模型是以行星本體質(zhì)心為慣性坐標(biāo)系下建立的，而觀測模型是建立在SSB坐標(biāo)系下的。在對觀測模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的過程中，需要用到行星的位置，而行星的位置是由星歷表預(yù)報提供的。目前廣泛使用的DE405星歷表［8］是由美國宇航局(NASA)的噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet propulsion laboratory，JPL)于1997年提供的，通過雷達(dá)等測量方式，提供行星在太陽系中的位置。由于受到當(dāng)時測量技術(shù)條件的限制，難免會存在誤差。在DE405星歷表之后，JPL在新的航天任務(wù)中通過測量行星位置對星歷表進(jìn)行不斷更新，并在2007年發(fā)布了新的DE421［9］星歷表，與DE405相比，DE421通過最新的觀測信息，可以提供更精確的行星位置。盡管通過新的星歷表可以獲取行星的位置，但由于其他天體攝動仍會對行星產(chǎn)生影響，隨著時間的推移，使得行星的位置發(fā)生變化，導(dǎo)航系統(tǒng)定位結(jié)果存在誤差。因此，在脈沖星導(dǎo)航過程中，需要對星歷表誤差進(jìn)行分析，并設(shè)計(jì)相對應(yīng)的導(dǎo)航算法減小該誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

為了解決星歷表誤差影響導(dǎo)航精度的問題，利用增廣矩陣的ASUKF方法［10］和利用差分量測的TDUKF方法［11］被提出。在文獻(xiàn)［10］中，通過對DE405和DE421兩種星歷表誤差的分析證明，由星歷表誤差引起的系統(tǒng)偏差是緩慢變化的。將該系統(tǒng)偏差增廣到動力學(xué)模型中，作為導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)向量的一部分，并在濾波的更新階段補(bǔ)償量測模型中的偏差。但是，這種ASUKF濾波算法僅適用于繞飛地球的航天器導(dǎo)航過程中。對于其他行星的繞飛情況(例如火星)，天體攝動會產(chǎn)生復(fù)雜的影響，使得對系統(tǒng)偏差的建模不準(zhǔn)確，進(jìn)而影響導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度。在文獻(xiàn)［11］中，利用相鄰兩個時刻的量測更新進(jìn)行相減，達(dá)到消除觀測量中星歷表誤差的目的。但是兩個觀測量相減使得系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲相關(guān)，使得新的觀測量中噪聲增大，對導(dǎo)航精度產(chǎn)生影響。

根據(jù)上述分析，本文提出一種針對星歷表誤差的魯棒Kalman濾波(Robust Kalman filter，RKF)方法。通過對星歷表誤差的分析，將星歷表誤差引起的系統(tǒng)偏差引入到建立的量測模型中，通過濾波計(jì)算得到帶有系統(tǒng)偏差項(xiàng)的誤差協(xié)方差，利用矩陣不等式計(jì)算系統(tǒng)偏差的下界，并根據(jù)系統(tǒng)偏差的下界計(jì)算導(dǎo)航系統(tǒng)的反饋增益，對最終的估計(jì)狀態(tài)進(jìn)行校正。該方法不需要增加系統(tǒng)模型的維度，保證了系統(tǒng)的可觀測性。只需要利用當(dāng)前時刻的觀測量，利用矩陣不等式計(jì)算系統(tǒng)偏差協(xié)方差的界，并對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正，取得較高的定位精度。

本文內(nèi)容安排如下:第1節(jié)闡述星歷表誤差產(chǎn)生的原因及對脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的影響進(jìn)行分析。第2節(jié)介紹脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的軌道動力學(xué)模型和量測模型，并提出RKF方法。第3節(jié)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真分析，驗(yàn)證RKF方法的有效性。第4節(jié)給出結(jié)論。

1 脈沖星導(dǎo)航星歷表誤差分析

1.1 脈沖星導(dǎo)航

根據(jù)前文中介紹的脈沖星導(dǎo)航原理可知，脈沖星導(dǎo)航的量測量Δt是X射線脈沖星發(fā)出的光子到達(dá)航天器的時間和太陽質(zhì)心 (Solarsystem barycenter，SSB)之差，如圖1所示。RSC是在SSB坐標(biāo)系下航天器的位置向量。因此，觀測量Δt表示的是航天器位置向量RSC在第i顆脈沖星方向ni上的投影。因此關(guān)于時間差Δt的量測量可以表示為:

式中:c代表光速，ni表示脈沖星的方向向量，ni=［cosδisinαicosδicosαisinδi］，α和 δ分別代表SSB坐標(biāo)系下的赤經(jīng)和赤緯。航天器位置向量RSC可以通過該航天器繞飛的行星位置獲得:

式中:r表示航天器相對于行星的位置矢量，rE表示行星相對于SSB的位置，由JPL提供的星歷表預(yù)報得到。但是，由于測量技術(shù)條件的限制以及天體復(fù)雜攝動的影響，星歷表所提供行星的預(yù)報位置和真實(shí)位置存在誤差，如圖1所示。行星位置變?yōu)椋教炱飨鄬τ谛行堑奈恢米優(yōu)?，與真實(shí)的航天器位置r存在誤差。因此，需要分析星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

1.2 星歷表誤差分析

由于在1997年到2007年之間的航天任務(wù)中增加了新的觀測手段，并提高了量測的精度，DE421星歷表可以獲得比DE405星歷表更準(zhǔn)確的行星位置。表1中給出了DE405和DE421兩種星歷表在1997年內(nèi)24小時和1年的誤差變化值。

從表中可以看出，地球相對于太陽的位置坐標(biāo)較準(zhǔn)確，誤差在較小。但是，火星的位置坐標(biāo)誤差較大，由于其他天體對火星會產(chǎn)生復(fù)雜的攝動影響，使得誤差增大［9］。

表1 行星星歷表平均誤差

為了進(jìn)一步分析星歷表誤差的變化，本文以兩種具有代表性的行星(地球和火星)進(jìn)行具體分析。圖2和圖3中分別給出了地球和火星在24小時和一年內(nèi)的星歷表誤差隨著時間變化關(guān)系。隨著時間的增加，星歷表誤差不斷增加，長期運(yùn)行的繞飛航天器，需要考慮星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

根據(jù)圖1定義星歷表誤差為:

在圖4中，橫坐標(biāo)表示星歷表誤差ΔrE的值，縱坐標(biāo)表示導(dǎo)航系統(tǒng)利用UKF濾波方法［12］的誤差估計(jì)值，所使用的軌道為已知繞飛地球的OPS_5111，其軌道參數(shù)、所采用脈沖星參數(shù)以及UKF濾波算法的實(shí)驗(yàn)條件在第4.1節(jié)給出。通過對不同誤差值的分析可知，隨著誤差值ΔrE的增加，UKF算法的估計(jì)誤差值不斷變大，假設(shè)ΔrE每增加100米，UKF濾波算法的估計(jì)誤差會增大150米左右。當(dāng)星歷表誤差達(dá)到1000米時，UKF的估計(jì)誤差達(dá)到了1500米。由于星歷表誤差ΔrE的存在，會使得量測殘差變大，對導(dǎo)航結(jié)果造成影響。因此，需要重新設(shè)計(jì)相對應(yīng)的濾波器增益來校正星歷表誤差對系統(tǒng)的影響。

2 濾波方法

2.1 軌道動力學(xué)模型

繞飛行星航天器的軌道動力學(xué)模型可以用二體運(yùn)動方程來表示。在以行星的為中心的慣性坐標(biāo)系(J2000.0)下，系統(tǒng)的狀態(tài)向量x為:

式中:r=［x y z］T為航天器相對于行星的位置向量，v=［vxvyvz］T為速度向量。因此，根據(jù)二體運(yùn)動方程，軌道動力學(xué)模型可以表示為:

式中:R為行星的半徑，μ為行星的引力常數(shù)，J2為攝動項(xiàng)系數(shù)。

2.2 量測模型

根據(jù)脈沖星導(dǎo)航原理可知，系統(tǒng)的量測模型可以表示為:

式中:h(xk) =［h(1)(xk)，h(2)(xk)，…，h(i)(xk)］T，根據(jù)公式(1)的幾何關(guān)系可知:h(i)(xk) =ni(rk+E，k)，E，k代表星歷表預(yù)報的行星位置，由DE405星歷表預(yù)報得到。i代表使用脈沖星的數(shù)量，在本文中，i=3。

2.3 導(dǎo)航算法

根據(jù)第2.1節(jié)和第2.2節(jié)的介紹，脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)可以寫為:

式中:wk為系統(tǒng)噪聲矩陣，=Qk。Vk為量測噪聲矩陣，，對于公式(7)中給定的導(dǎo)航系統(tǒng)，根據(jù)Kalman濾波算法，可以得到:

預(yù)測:

更新:

式中:Kk是需要確定的增益矩陣。

進(jìn)一步展開可得:

最終整理可得:

假設(shè) Pk/k－1的上界為 ∑k/k－1，即:Pk/k－1≤∑k/k－1;則協(xié)方差 ∑k/k－1定義為: ∑k/k－1=。將∑k/k－1展開可得:

將式(14)進(jìn)一步展開可得:

最終整理可得:

式中:Hk=［n3×303×3］T，Bk代表星歷表誤差。定義誤差矩陣為:Bk=［B1，k，B2，k，…，Bi，k］T。其中，Bi，k=niΔrE=ni(rE－)。

假設(shè)Pk的上界為∑k，即:Pk≤∑k;則協(xié)方差∑

k定義為:進(jìn)一步整理可得:

當(dāng)∑k達(dá)到上界時，求導(dǎo)可得增益Kk的值。令:，則有:

由于存在大于1的正數(shù)ε使得不等式成立:

展開可知:

根據(jù)公式(20)和(22)可得:

否則

因此，本文提出的RKF算法流程圖如圖5所示。預(yù)測過程，可以根據(jù)式(8)和(13)得到。由于UKF方法中的UT變換對線性化誤差具有很好的處理效果。因此，預(yù)測階段的式(8)和(13)可以由文獻(xiàn)［12］中的UKF預(yù)測階段代替。更新過程，可以根據(jù)式(9)和(17)得到。首先根據(jù)式(25)、(26)算出的值，再根據(jù)式(18)算出的值，最后根據(jù)式(9)和(17)算出最終的估計(jì)值和誤差協(xié)方差。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

為了驗(yàn)證本文中所提方法的有效性，本文給出了已知衛(wèi)星繞飛地球軌道OPS_5111［11］和繞飛火星軌道Mars［12］的軌道參數(shù)，如表2所示。在本文中，根據(jù)傳統(tǒng)脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案［2－7］，選擇三顆脈沖星作為導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測量，所選脈沖星的觀測參數(shù)如表3所示。所用的 X射線背景流量為Bx=0.005 ph·cm－2·s－1，探測器面積為 A = 1 m2，觀測頻度為500秒/次。

對于濾波器仿真輸入條件，本文根據(jù)脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的取值方法做如下設(shè)置［2－7］:

1)初始誤差為:

2)初始誤差協(xié)方差為:

3)系統(tǒng)噪聲協(xié)方差為:

4)觀測噪聲協(xié)方差為:

Rk=diag［1092，3252，3402］。濾波中的周期為500秒。由于真實(shí)的行星位置無法準(zhǔn)確的得到，本文利用DE421星歷表提供的行星位置來近似的模擬真實(shí)的行星位置，利用DE405星歷表在導(dǎo)航濾波過程中預(yù)報行星的位置。本文引入均方根誤差(Root mean square error，RMSE)作為評價導(dǎo)航濾波算法的定位性能指標(biāo)，RMSE的定義如下:

式中:Δrk表示第k時刻真實(shí)的軌道位置rk與濾波器估計(jì)的軌道位置k之間的距離。為了證明RKF方法的有效性，本文通過與RKF和傳統(tǒng)UKF以及另外兩種ASUKF和TDUKF導(dǎo)航濾波方法的RMSE的值進(jìn)行對比，對四種濾波算法的性能進(jìn)行系統(tǒng)的分析和評價。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖6給出了繞飛地球軌道分別利用 UKF，ASUKF，TDUKF和RKF的位置估計(jì)誤差結(jié)果。其中，RKF算法中的調(diào)節(jié)參數(shù)ε=1000。四種算法在1×105s后都可以收斂，但是UKF的估計(jì)誤差結(jié)果明顯大于其他三種方法，這表明使用UKF方法不能夠消除星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。對于其他三種方法，RKF的估計(jì)誤差精度要明顯好于ASUKF和TDUKF方法。這表明，RKF可以更好的解決星歷表誤差問題。此外，ASUKF方法需要將系統(tǒng)偏差增廣到系統(tǒng)狀態(tài)中，增大了系統(tǒng)的維度，會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響。對于TDUKF方法，由于需要用到兩個相鄰時刻的觀測量，增大了脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的存儲空間。因此，本文提出的RKF方法可以克服上述缺點(diǎn)，滿足復(fù)雜航天任務(wù)的需要。

為了進(jìn)一步證明本文提出方法的有效性，本文給出了4種算法在繞飛火星軌道的濾波結(jié)果，RKF算法中的調(diào)節(jié)參數(shù) ε=100。如圖7所示。由于DE405星歷表預(yù)報火星位置的誤差較大，四種方法的估計(jì)誤差都有增大，但是UKF方法的估計(jì)誤差結(jié)果明顯比ASUKF，TDUKF和RKF的誤差大。為了展示ASUKF，TDUKF，RKF的估計(jì)誤差的細(xì)節(jié)，將圖7放大。由于繞飛火星軌道的周期較短，三種濾波算法經(jīng)過5×104秒后開始收斂。但是ASUKF和TDUKF仍然要比本文中的RKF算法的估計(jì)誤差大。因此，在星歷表誤差較大的情況下，RKF方法仍然可以有效地解決星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

表2中給出了UKF和RKF在兩條軌道中的位置誤差估計(jì)結(jié)果，對于軌道1，本文所選擇的穩(wěn)定區(qū)間為1×105秒到6×105秒，從表中可知，UKF的位置誤差估計(jì)結(jié)果明顯高于ASUKF，TDUKF和RKF。其他三種濾波方法的定位精度分別提高了61.7%，64.1%，67.4%。對于軌道2，本文中選擇的穩(wěn)定區(qū)間為5×104到2.5×105秒，三種濾波方法的定位精度分別提高了96.6%，97.5%和98.3%。這是由于在UKF計(jì)算的過程中，星歷表的誤差會使得量測殘差增大，使得系統(tǒng)的導(dǎo)航精度降低。在軌道2中，星歷表誤差增大到5×104m左右，使得UKF濾波過程中的量測殘差急劇的增大，進(jìn)而導(dǎo)致UKF的估計(jì)誤差增大。而對于ASUKF方法，雖然通過分析設(shè)定系統(tǒng)偏差，但是由于小行星帶產(chǎn)生的復(fù)雜攝動影響，使得系統(tǒng)偏差的模型不準(zhǔn)確，導(dǎo)致ASUKF估計(jì)誤差變大。在TDUKF方法中，雖然相鄰時刻的星歷表誤差變化不大，可以利用觀測量差分將星歷表誤差消除，但是差分會增加量測方程的噪聲，使得TDUKF的誤差變大。而本文提出的RKF方法，通過量測殘差確定出星歷表誤差引起的系統(tǒng)偏差的下界，并通過設(shè)計(jì)反饋增益及時對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正，最終減小星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

表2 四種方法的估計(jì)誤差Table 2 Estimation error for four methods

由于本文中真實(shí)的星歷表數(shù)據(jù)是由DE421星歷表提供的，而DE421星歷表提供的和真實(shí)的星歷表數(shù)據(jù)仍然存在一定的誤差。為了證明在真實(shí)條件下，RKF方法仍然有效，本文給出在不同的星歷表誤差下，四種方法的導(dǎo)航性能曲線，如圖8所示。隨著星歷表誤差的增加，UKF的估計(jì)誤差急劇增大，而其他三種算法，估計(jì)誤差值較小。ASUKF，TDUKF，RKF三種方法都可以消除星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。其中，RKF的方法可以取得比ASUKF和TDUKF方法更高的定位精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在不同星歷表誤差下，RKF算法仍然可以得到更好的定位效果并有效減小星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。即使DE421星歷表的近似行星位置和真實(shí)行星位置有誤差，本文提出的RKF方法，仍然可以通過真實(shí)的觀測量計(jì)算量測殘差，并利用不等式準(zhǔn)確計(jì)算出系統(tǒng)偏差的下界，校正星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。

表3 軌道參數(shù)Table 3 Parameters of orbit

表4 脈沖星參數(shù)Table 4 Parameters of pulsars

為了進(jìn)一步體現(xiàn)所提RKF方法的有效性，本文給出了RKF濾波算法中星歷表估計(jì)誤差的評價指標(biāo)。根據(jù)公式(23)中給出的推導(dǎo)公式，定義星歷表估計(jì)誤差協(xié)方差評價指標(biāo)為:

4 結(jié) 論

本文提出一種針對星歷表誤差的RKF導(dǎo)航濾波方法，該方法通過分析星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響，建立帶有星歷表誤差的量測模型。根據(jù)量測殘差和矩陣不等式設(shè)計(jì)導(dǎo)航濾波器的增益，及時校正最終的狀態(tài)估計(jì)值。與UKF，ASUKF，TDUKF方法相比，RKF方法可以有效的消除星歷表誤差對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響。本文中所提出的方法適用于繞飛行星探測的自主導(dǎo)航，具有較高的定位精度。

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通信地址:黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)西大直街92號哈工大主樓602(150001)

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金 晶(1980－)，女，博士，副教授，主要從事信號處理及導(dǎo)航方法研究。本文通信作者。

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(編輯:張宇平)

RKF Method for Pulsar Based Navigation with Emphasis Error Correction

LI Xiao-yu1，JIANG Yu1，JIN Jing1，HE Liang2，SHEN Yi1
(1.Dept.Control Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China 2.Shanghai Aerospace Control Technology Institute，Shanghai 200233，China)

In order to reduce the influence of the emphasis error to the X-ray pulsar navigation system performance，a RKF based method for dealing the emphasis error is proposed.Through analyzing the emphasis error，the relationship between emphasis error and time is obtained.The measurement model with emphasis error is established and calculated with the principle of Kalman filter.The estimation error covariance is dealing with the matrix inequality due to the emphasis error is contained in the estimation error covariance.The proposed RKF method is tested on the Earth and Mars rotation orbit and compared with UKF and other filtering method which can deal with the emphasis error.The simulation results shows the proposed method can achieve higher positioning accuracy than UKF and the other two filtering methods，the RKF based method can greatly reduce the impact of emphasis error for XNAV.

Autonomous navigation;X-ray pulsar based navigation(XNAV);Emphasis error

V448.25+3

A

1000-1328(2017)01-0026-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.004

李曉宇(1984－)，男，博士生，主要從事X射線脈沖星信號處理及導(dǎo)航方法研究。

2016-06-03;

2016-10-27

中國航天科技集團(tuán)－哈爾濱工業(yè)大學(xué)聯(lián)合技術(shù)創(chuàng)新中心創(chuàng)新基金(CASC－HIT15－1C04)