雷 昊，楊海容，朱 牧，鈕賽賽，楊 堯

（1.上海航天控制研究所，上海201109；2.西北工業(yè)大學航天學院，陜西西安710072）

應用于紅外制導武器的動力隨動陀螺誤差分析

雷 昊1，楊海容1，朱 牧1，鈕賽賽1，楊 堯2

（1.上海航天控制研究所，上海201109；2.西北工業(yè)大學航天學院，陜西西安710072）

為減小紅外制導武器導引頭的動力隨動陀螺誤差，對陀螺的誤差進行了分析。用拉格朗日方法建立了動力陀螺完備的運動微分方程。將陀螺誤差分為結(jié)構(gòu)非理想化導致的漂移誤差和穩(wěn)速力矩與進動力矩耦合引起的控制誤差兩大類。其中：結(jié)構(gòu)非理想的誤差包括章動、摩擦力矩和非等彈性力引起的誤差。用逐次逼近求解法分析，發(fā)現(xiàn)陀螺受階躍力矩或沖擊后，除按章動頻率及高次諧波頻率高頻振動外，還會發(fā)生角速度為常值的漂移，且動力隨動陀螺漂移的角速度與初始的角速度和內(nèi)外環(huán)質(zhì)量有關(guān)。討論了由偏角、不平衡力矩和非等彈性力造成誤差的機理。給出了陀螺主要誤差的控制和調(diào)控方法：對漂移誤差，盡量減小內(nèi)外環(huán)質(zhì)量，減小陀螺階躍力矩后的初速；對工藝誤差，調(diào)試時先部件后總體，總體調(diào)試由內(nèi)及外；先大誤差項，再小誤差項；用力矩補償法消除力矩耦合偏差。研究為導引頭的誤差分析和控制系統(tǒng)設(shè)計提供參考。

紅外導引頭；動力隨動陀螺；拉格朗日方程；動力學模型；旋轉(zhuǎn)磁場；方位角效應；誤差補償；漂移誤差；控制誤差

0 引言

現(xiàn)代多種戰(zhàn)術(shù)武器系統(tǒng)廣泛采用了紅外導引系統(tǒng)［1］。在紅外導引系統(tǒng)動力隨動陀螺的設(shè)計調(diào)試中，陀螺的轉(zhuǎn)軸與視線總存在一定的偏差，且陀螺的進動力矩在大偏角時會存在衰減而無法控制陀螺進動，這些現(xiàn)象都是由陀螺誤差引起的，因此需要對動力隨動陀螺誤差進行研究，以尋求解決方案。對大部分種類陀螺的誤差建模，通常將陀螺簡化為帶阻尼的二階微分元件，這種簡化后的方程在某些工程領(lǐng)域被稱為陀螺技術(shù)方程。雖然陀螺技術(shù)方程便于設(shè)計，但簡化處理會忽略多個造成誤差的因素。傳統(tǒng)的誤差研究方法主要分兩類。一類是建立陀螺的漂移誤差模型，用系統(tǒng)辨識方法測定漂移系數(shù)［2］。但此法實現(xiàn)較復雜，不具在同類陀螺中使用的移植性，且陀螺在不同應用環(huán)境中誤差模型差異很大。另一類是利用新興工程方法分析誤差，文獻［3］利用鍵合圖方法分析了動力調(diào)諧陀螺誤差，但該法依靠新興理論，誤差的來源因素和物理意義不明顯，工藝上很難提出可行的消除誤差的統(tǒng)一標準和措施。針對紅外導引頭動力隨動陀螺的特殊結(jié)構(gòu)，本文考慮陀螺在大偏角工作狀態(tài)下，先用拉格朗日第二方程建立完備的陀螺運動微分方程，并基于此完備的運動微分方程，分析了影響陀螺精度的因素，并提出了對隨動陀螺主要誤差的調(diào)控方法。

1 位標器陀螺的完備動力學模型

根據(jù)動力隨動陀螺導引頭的結(jié)構(gòu)，基于文獻［4］提供拉格朗日方程的方法，考慮萬向支架內(nèi)外環(huán)的質(zhì)量和各干擾力造成的干擾力矩，建立動力隨動陀螺轉(zhuǎn)子模型為

式中：α，β，φ為三自由度陀螺廣義坐標系中的三個獨立轉(zhuǎn)角；Jcx，Jcy，Jcz，Jbx，Jby，Jbz，Jax，Jay，Jaz分別為進動陀螺轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)總體和外環(huán)總體相對內(nèi)環(huán)坐標系的轉(zhuǎn)動慣量；Mx，My，Mz為忽略偏角耦合的進動控制力矩；為內(nèi)環(huán)坐標系各向的隨時間和位置變化的干擾力矩總和。

動力隨動陀螺的轉(zhuǎn)子軸為oz軸，在oz軸用基準線圈提供力矩補償阻力矩，故理想狀態(tài)下可認為Mz＝0，則為常值。此處：H為陀螺轉(zhuǎn)子的動量矩。位標器動力隨動陀螺的轉(zhuǎn)子是高速旋轉(zhuǎn)，通常自轉(zhuǎn)角速度是每分鐘數(shù)千甚至數(shù)萬轉(zhuǎn)以上，而進動角速度則相對較小，涉及進動角速度的量多為小量可忽略不計。由此，式（1）可簡化為

式（2）即為導引頭動力隨動陀螺的運動微分方程。

2 導引頭位標器誤差

當陀螺被應用為慣性導航中的測量元件時，評價陀螺元件性能的最重要指標是陀螺漂移速度的大小。陀螺漂移指的是在外力矩等于零時，陀螺在微小的干擾力矩作用下，出現(xiàn)H緩慢偏離原方向的現(xiàn)象，陀螺漂移是陀螺誤差最直接的反映。對導引頭來說，動力隨動陀螺不僅是測量元件而且是一種執(zhí)行元件，在陀螺進動力矩和基準力矩的作用下，陀螺的縱向軸需時刻指向目標。因此，紅外導引頭動力隨動陀螺的誤差主要源于陀螺結(jié)構(gòu)非理想化導致的漂移誤差和力矩耦合引起的控制誤差。

2.1 陀螺結(jié)構(gòu)非理想化導致的漂移誤差

2.1.1 章動引起的誤差

在分析和設(shè)計初期，對動力隨動陀螺的模型只需參考陀螺技術(shù)方程，但在分析誤差并提高精度時，陀螺技術(shù)方程的推導過程所作的較多非線性小量線性化處理會導致實際結(jié)果與計算值存在一定的偏差。對理想動力隨動陀螺，可視作陀螺的重心與框架中心完全重合，且在內(nèi)外環(huán)上無干擾力矩。由陀螺的簡化技術(shù)方程，分析易得在沖擊力作用后陀螺的運動規(guī)律為高頻振幅的章動［5］，章動可被快速阻尼，將陀螺的軸視為方向不變的定軸，但此結(jié)論并不完善。本文由完備的陀螺微分方程，分析理想動力隨動陀螺在脈沖力矩干擾后的運動。

設(shè)陀螺初始狀態(tài)非零Jy＝Jcy＋Jby，Jx＝Jcx＋Jbx，A＝Jcy＋Jby－Jbz＝Jy－Jbz，內(nèi)外環(huán)上的干擾力矩為零，陀螺的初始位置為［α（0） β（0）］＝［α0β0］，設(shè)代入完備的陀螺運動學方程式（1）［6］。則

展開式（3），設(shè)Jy1＝Jbzsin2β0＋Jycos2β0＋Jay，略去α，β二階以上的高階微量項，整理到非線性非齊次方程

式（4）為非線性方程，用逐次逼近解法，忽略非線性部分構(gòu)造齊次方程，得

為簡化計算，簡化初始條件：α1（0）＝0；β1（0）＝10。根據(jù)初始條件，求得通解為

式（7）描述了陀螺在階躍力矩作用后的運動規(guī)律，式右側(cè)是陀螺運動微分方程非線性項引起的力矩。由式（7）可知：在陀螺無阻尼時，與章動具相同頻率ωn的周期力矩引起陀螺的強迫振動并且誘發(fā)的力矩很小，故陀螺總存在阻尼使之中和；頻率為章動頻率高倍的周期諧振力矩，這些高次諧波產(chǎn)生的振動幅值很小，因此無阻尼時影響亦不大。式（7）第二式最右端有一常數(shù)項，此常數(shù)項將造成陀螺的漂移。忽略高次諧波力矩，近似求得漂移角速度

由式（8）可知：陀螺在受到階躍力矩或沖擊后，除按章動頻率及高次諧波頻率高頻振動外，還會發(fā)生角速度為常值的漂移，此即章動引起的漂移誤差。由式（8）可發(fā)現(xiàn)：漂移誤差的角速度與陀螺偏角成正弦相關(guān)關(guān)系，與陀螺偏角的初值β0的平方成正比關(guān)系，且與導引頭動力隨動陀螺萬向支架的內(nèi)外環(huán)質(zhì)量有關(guān)。

由圖1可知：在穩(wěn)態(tài)下陀螺呈現(xiàn)出復雜的運動規(guī)律，可直觀認為是章動頻率振動與章動頻率高倍頻振動的疊加。由圖2可知：陀螺在非零初始的條件下存在一定漂移。由此表明，本文認為章動引起漂移的分析正確。

2.1.2 摩擦力矩引起的進動誤差

當動力隨動陀螺轉(zhuǎn)子在萬向支架的內(nèi)外環(huán)轉(zhuǎn)動過程中，由于陀螺轉(zhuǎn)子與各部件接觸，特別是在滾珠軸承等部件中，會產(chǎn)生摩擦力矩，摩擦力矩是動力隨動陀螺干擾力矩的主要來源。摩擦力矩由各接觸部件相互運動而產(chǎn)生，其大小與接觸的接觸面積、正壓力、摩擦因數(shù)和偏角等有關(guān)，且其方向與轉(zhuǎn)動方向有關(guān)。因陀螺內(nèi)部結(jié)構(gòu)的相互轉(zhuǎn)動有隨機性，故摩擦因數(shù)的大小和方向亦經(jīng)常變動，動力隨動陀螺的摩擦力矩是一個隨機干擾量，其引起的零漂誤差和進動誤差也是一個隨機的量而無法補償。

2.1.3 非等彈性力引起的進動誤差

在便攜紅外導彈的飛行段，導彈變加速度運動時將帶動基座的變加速運動，此時影響陀螺進動誤差的因素還有由非等彈性力矩引起的陀螺誤差。設(shè)當萬向支架的加速度為零時，動力隨動陀螺轉(zhuǎn)子的重心與萬向支架中心重合。當萬向支架加速運動時將會產(chǎn)生與加速度方向相反的慣性力作用于重心使重心產(chǎn)生偏移［7］。如導引頭中的動力隨動陀螺結(jié)構(gòu)在各方向上為等彈性結(jié)構(gòu)，此時陀螺轉(zhuǎn)子的重心剛好沿慣性力作用方向偏離支架中心，由于慣性力作用線通過支架重心，對內(nèi)、外環(huán)支架的力矩為零，不會造成誤差。但工程中由于動力隨動陀螺結(jié)構(gòu)的復雜性很難實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的等彈性，此時重心偏移不再沿慣性力的作用方向。由于慣性力作用線不再通過支架中心，慣性力就會產(chǎn)生對支架中心的力矩，從而引起誤差，如圖3所示。

由于動力陀螺結(jié)構(gòu)有多個部件復雜的質(zhì)系，非等彈性力矩的計算非常困難。為簡化計算考慮動力隨動陀螺內(nèi)外環(huán)均采用高強度合金支撐，與轉(zhuǎn)子相比其重量很輕但剛度很大，在慣性載荷作用下變形很小。本文采用以下近似：假定陀螺的內(nèi)外環(huán)為絕對剛性，忽略陀螺內(nèi)外環(huán)的質(zhì)量及變形；陀螺的重量集中于轉(zhuǎn)子上，支撐陀螺轉(zhuǎn)子的軸承沿徑向和軸向為彈性系數(shù)不同的軸承，剛度系數(shù)分別為Cx，Cz。因動力隨動陀螺的質(zhì)量主要集中于轉(zhuǎn)子，當萬向支架以加速度a運動時，有慣性力Q＝－ma作用于轉(zhuǎn)子的質(zhì)心產(chǎn)生位移

式中：m為陀螺轉(zhuǎn)子質(zhì)量；i，k為陀螺轉(zhuǎn)子坐標系與轉(zhuǎn)子軸垂直的兩個方向的單位矢量；ax，az為轉(zhuǎn)子兩個坐標矢量中加速度；Qx，Qz為轉(zhuǎn)子x、z軸向的慣性力。由于各方向剛度不等，質(zhì)心偏移r的方向與慣性力矩的方向不會重合，慣性力Q對支架重心產(chǎn)生力矩

式中：θ為加速度與z軸間的夾角。在此力矩下，陀螺的偏差

由式（11）可知：動力隨動陀螺的結(jié)構(gòu)非等彈性引起的陀螺誤差，與陀螺萬向支架即彈體加速度的二次方程成正比例關(guān)系。

2.2 穩(wěn)速力矩和進動力矩耦合引起的控制誤差

由文獻［8］可求得在轉(zhuǎn)子坐標系中，當轉(zhuǎn)子軸與彈體軸間存在偏角時，穩(wěn)速線圈和進動線圈對在轉(zhuǎn)子坐標系abs對轉(zhuǎn)子的作用力分別為由轉(zhuǎn)子磁場P與線圈磁場B間的感應力為其矢量積，可得

式中：Kt為基準線圈電流的力矩系數(shù)；It為基準線圈旋轉(zhuǎn)電流；KI為進動線圈電流力矩系數(shù)；I0為與目標視線角速度成比例的進動電流幅值；v為線圈分布角；α，β為轉(zhuǎn)子坐標系和彈體坐標系的歐拉角，且cos＝cosαcosβ。此處：

其中：Ω為陀螺轉(zhuǎn)子的角速度；R＝sinβcosαsinθsinαcosθ；T＝sinβcosαcosθ＋sinαsinθ。

式（13）中，sin（2Ωt）與cos（2Ωt）在一個積分周期內(nèi)數(shù)值為0，故進動力矩產(chǎn)生作用在一個周期內(nèi)可抵消為零。簡化式（13）可得

式（14）中，前兩項是進動力矩軸向分量，可合成為力矩P0kBi0cos／2，故的存在使進動力矩變?。荒╉桲II0（sinαcosθ＋sinβcosαsinθ）／2沿陀螺自轉(zhuǎn)軸為陀螺干擾力矩。穩(wěn)速線圈的作用是保持轉(zhuǎn)子按一定的角速度轉(zhuǎn)動，進動線圈的作用通過是控制線圈電流讓轉(zhuǎn)子進動從而跟蹤目標。由式（14）可知：存在偏角時進動線圈的力矩會使陀螺轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速改變，而穩(wěn)速線圈的力矩也會影響陀螺的進動。

3 導引頭位標器誤差控制機理

3.1 漂移誤差調(diào)控機理和過程

由章動漂移角速度式（8）可知：漂移角速度與陀螺內(nèi)外環(huán)的質(zhì)量有關(guān)，漂移誤差的角速度與β0的正弦值成正比，與β0的平方成正比。為減少章動引起的漂移提高導引頭動力隨動陀螺的精度，可用以下方法：使β0盡量小，因動力隨動陀螺導引頭的光學系統(tǒng)工作的角度范圍較大，故這較難實現(xiàn)；減小內(nèi)外環(huán)質(zhì)量，從而減小內(nèi)外環(huán)轉(zhuǎn)動慣量，當內(nèi)外環(huán)質(zhì)量可忽略不計時章動引起的漂移誤差亦可忽略不計；盡量減小陀螺階躍力矩后的初始速度。

3.2 工藝誤差調(diào)試機理

工藝誤差包括質(zhì)心偏心工藝誤差、非等彈性力誤差和摩擦力矩誤差等。其中：部分是無法根本消除而只能通過調(diào)整陀螺結(jié)構(gòu)和通過零部件工藝以減小，如非等彈性力和摩擦力矩的誤差只能通過改善零件制造工藝減少。對質(zhì)心偏心的誤差，可通過調(diào)試減少，具體包括動平衡調(diào)試、位標器漂移調(diào)試和位標器擾動調(diào)試。調(diào)試原則為：先調(diào)試部件再調(diào)試總體；總體調(diào)試亦遵循由內(nèi)及外的原則，先調(diào)試影響大的誤差項，然后在保證大的誤差項調(diào)試結(jié)果不變的情況下，再進行小誤差項調(diào)節(jié)。導引頭陀螺調(diào)試順序如圖4所示。

經(jīng)調(diào)試，可使陀螺的質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)軸心重合，陀螺質(zhì)心在縱向（z向）與支架軸心重合，但由于固定質(zhì)心調(diào)節(jié)陀螺轉(zhuǎn)軸與進動軸重合的過程中，旋轉(zhuǎn)軸心（質(zhì)心）與支架軸心可能存在一定的偏差。由于質(zhì)心固定、軸向固定，無法再通過調(diào)試消除此項誤差，僅能通過設(shè)計或后期補償以減小誤差提高精度。

3.3 控制力矩耦合偏差消除方法

由本文分析可知：當陀螺轉(zhuǎn)子軸與彈體軸存在一個偏角時，控制陀螺的進動力矩與保持轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)力矩會相互耦合，這對系統(tǒng)的跟蹤能力等性能有很大影響。對偏角形成的偏差文獻［9］提出力矩補償方法，即利用偏角線圈的輸出信號構(gòu)造補償信號，如圖5所示。圖5中：Ku，K1，KH分別為系統(tǒng)控制器、功率放大器和力矩器的放大倍數(shù)；K為位標器的恢復力矩系數(shù)；K′為人工補償環(huán)節(jié)。只要滿足K＋K′＝0，即可消除偏角的影響。

4 結(jié)束語

本文用拉格朗日第二類方程法，建立了紅外導引頭動力隨動陀螺完備的動力學方程，并基于此分析了導彈受到階躍力矩或沖擊后，除按章動頻率及高次諧波頻率高頻振動外，還會發(fā)生角速度為常值的漂移誤差，漂移誤差的角速度與內(nèi)外環(huán)質(zhì)量和初始的角速度有關(guān)。針對引起陀螺誤差的非等彈性力矩、摩擦力矩和陀螺制造誤差等因素，給出了漂移誤差的控制機理和方法。針對偏角造成的誤差，定量分析了誤差大小與偏角的關(guān)系，并給出了一種可行的力矩補償偏角誤差的方案。各種誤差來源的解決措施為：對章動引起漂移誤差（源于內(nèi)外環(huán)質(zhì)量），改善工藝、減小內(nèi)外環(huán)質(zhì)量；對摩擦力矩誤差（源于摩擦力矩），減小摩擦力；對非等彈性力引起誤差（源于支架撓性），改進萬向支架制造工藝；對結(jié)構(gòu)誤差（源于質(zhì)心與原點、轉(zhuǎn)軸與進動軸不重合），動平衡調(diào)試、陀螺擾動調(diào)試；對偏角控制誤差（源于線圈力矩的耦合），控制力矩補償。

在轉(zhuǎn)臺上模擬紅外目標視線，對轉(zhuǎn)臺施加一個角度，此時偏角大小固定，動力隨動陀螺系統(tǒng)進動穩(wěn)定后的跟蹤信號幅值反映了系統(tǒng)的偏差［10］。在模擬轉(zhuǎn)臺上，用本文的動力隨動陀螺系統(tǒng)改進工藝、平衡調(diào)試和力矩補償前后的輸出信號特性見表1。

表1 誤差補償前后系統(tǒng)輸出特性Fig.1 Output of system before and after compensation

由表1可知：經(jīng)誤差補償后跟蹤信號的幅值明顯變小，說明此時陀螺系統(tǒng)的誤差變??；同時補償后的單位時間內(nèi)輸出脈沖數(shù)增多，玫瑰線光機掃描系統(tǒng)可描到更多的紅外脈沖信號，表明陀螺轉(zhuǎn)子軸對紅外目標的指向更精準。采用本文的誤差抑制措施，不僅可提高進動系統(tǒng)的跟蹤精度，減小靜差，而且能識別到更多的目標脈沖信號，利于后期抗干擾算法的實現(xiàn)［11］。

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Errors Analysis of Dynamical Servo Gyro in IR Guided Weapons

LEI Hao1，YANG Hai－rong1，ZHU Mu1，NIU Sai－sai1，YANG Yao2
（1.Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology，Shanghai 201109，China；2.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi，China）

To reduce error of dynamic servo gyro of seeker for infrared guidance weapon，the gyro errors were analyzed in this paper.The complete dynamical model was established by Lagrangian method.The gyro error was divided into two parts which were drift error caused by non－ideal structure and control error caused by coupling of speed stabilization moment and procession moment.The structure errors were composed of errors caused by nutation，friction moment and unequal elastic moment.The successive approximation method was applied for analysis.It found that the gyro also made an excursion with a changeless angle rate after the gyro－stabilized seeker came in for an impact except for high frequently libration.The angular speed was depended on the initial angular speed and mass of inner and outer ring.The mechanism of errors caused by drift angle，non－balance moment and unequal elastic moment were given.The control and debugging method of main errors of gyro was given.For drift errors，the mass of inner and outer ring should be as small as possible and initial angle speed should be reduced.For process errors，first was component and then was system for debugging，and the large errors should be debugged ahead the small errors.The moment coupling error was compensated by moment compensation.The study is benefit to guidance for error analysis of seeker and design of control system.

infrared seeker；servo gyro；Lagrangian equations；dynamical model；spin magnetic field；azimuth effect；error compensation；drift error；control error

V241.5

A

10.19328／j.cnki.1006－1630.2017.01.014

1006－1630（2017）01－0086－06

2016－06－13；

2016－08－07

國家973計劃資助（613271010204）；上海航天科技創(chuàng)新基金資助（SAST2016073）

雷 昊（1989—），男，碩士，主要研究方向為紅外制導。