李 恪，姚崇斌，周 勃，尚吉揚(yáng)

（上海航天電子技術(shù)研究所，上海201109）

基于數(shù)值方法的三維激光海面漫反射特性研究

李 恪，姚崇斌，周 勃，尚吉揚(yáng)

（上海航天電子技術(shù)研究所，上海201109）

為提高衛(wèi)星海色遙感技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的效率，對(duì)不同海況下不同入射角度的三維激光海面漫反射特性進(jìn)行了建模仿真計(jì)算，并在實(shí)驗(yàn)室條件下對(duì)激光入射波動(dòng)水面后產(chǎn)生的散射場(chǎng)能量分布特性進(jìn)行了研究。根據(jù)麥克斯韋爾方程和邊界條件分析了散射場(chǎng)在各向分量間的耦合關(guān)系，矢量分解后得到了6個(gè)標(biāo)量方程并用矩量法進(jìn)行離散，給出了離散后的矩陣方程。用稀疏矩陣規(guī)則網(wǎng)格法（SMCG）求解矩陣方程，求解時(shí)采用共軛梯度法（CGM）計(jì)算。在對(duì)有限照射區(qū)域進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為減少邊界效應(yīng)產(chǎn)生的誤差，用能量強(qiáng)度服從高斯分布的三維錐形波模擬入射激光束。仿真計(jì)算了不同粗糙度海面的三維雙站散射系數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：對(duì)相同粗糙度海面模型，入射角度越小，粗糙面對(duì)激光的漫反射就越大，散射場(chǎng)的能量分布也越均勻。用實(shí)驗(yàn)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：與基爾霍夫近似（KA）和二維前后向迭代法（FBM）相比，該方法能準(zhǔn)確表示波動(dòng)水面的三維激光漫反射特性，為進(jìn)一步研究三維激光海面漫反射特性奠定了基礎(chǔ)。

粗糙海面；海色；激光；漫反射；三維雙站散射系數(shù)；稀疏矩陣規(guī)則網(wǎng)格法；三維錐形波；快速傅里葉變換

0 引言

海洋占地球表面積的約70%。伴隨人類對(duì)海洋的開(kāi)發(fā)、利用和保護(hù)進(jìn)程的加快，海洋的資源和環(huán)境狀況都發(fā)生了顯著變化。各國(guó)對(duì)海洋的可持續(xù)發(fā)展越來(lái)越重視，紛紛采用各種高新技術(shù)對(duì)海洋進(jìn)行監(jiān)測(cè)和監(jiān)視。海洋水色衛(wèi)星主要用于探測(cè)海洋水色環(huán)境要素，包括葉綠素濃度、懸浮泥沙、海面溫度、污染物，以及淺海水深與水下地形等。由于入射激光束經(jīng)粗糙海面漫反射后，不同偏振狀態(tài)的激光在各方向上有復(fù)雜的耦合關(guān)系，因此針對(duì)不同海況，獲得準(zhǔn)確的三維激光海面漫反射特性，對(duì)提高衛(wèi)星海色遙感的準(zhǔn)確率有重要意義。因存在耦合關(guān)系，為便于計(jì)算，以往求解方法多基于一定的近似條件，如KA法［1］。這些近似條件不但對(duì)粗糙面的參數(shù)有一定的限制，而且會(huì)由其固有的物理近似必定帶來(lái)誤差，使計(jì)算結(jié)果達(dá)不到理想效果。FBM雖然是數(shù)值計(jì)算方法，但其是將三維粗糙界面簡(jiǎn)化為二維界面后得出的數(shù)值模擬，因建立的二維粗糙界面與現(xiàn)實(shí)粗糙界面差別較大，故仿真計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性較差［2］。為獲得準(zhǔn)確的激光在波動(dòng)水面上的漫反射能量分布特性，本文采用SMCG計(jì)算激光在波動(dòng)水面上的雙站散射系數(shù)（BSC），該算法可減小對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的需求，而且在每步迭代過(guò)程中矩陣與向量的運(yùn)算采用快速傅里葉變換（FFT）算法，能進(jìn)一步減少計(jì)算時(shí)間。

1 激光漫反射原理

假設(shè)一束激光入射到波動(dòng)水面S上，三維激光漫反射的剖面如圖1所示。圖1中：ki，ks分別為入射激光束和散射激光束的波矢；θi，θs分別為入射角和散射角；ξ（x，y）為波高函數(shù)；n為局部法向矢量；k0，k1分別為激光在大氣和水中的波數(shù)；η0，η1分別為大氣和水中的阻抗，且。此處：ε0，μ0和ε1，μ1分別為激光在大氣和水中的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率。

令散射場(chǎng)中的接收點(diǎn)r＝［x y z］，源點(diǎn)r′＝［x′ y′ z′］，則r，r′的距離

式中：Δx，Δy，Δz分別為r，r′在x、y、z向的坐標(biāo)值之差，Δx＝x－x′，Δy＝y(tǒng)－y′，Δz＝ξ（x，y）－ξ（x′，y′）。則，根據(jù)Stratton－Chu公式，以及由麥克斯韋爾方程推導(dǎo)得到散射場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的積分方程與邊界條件，對(duì)粗糙海面散射場(chǎng)切向和法向進(jìn)行分析［35］?？傻?/p>

式中：n′為源點(diǎn)處的局部法向矢量；S′為源點(diǎn)處的局部曲面單元；Hinc（r），Einc（r）分別為入射磁場(chǎng)和入射電場(chǎng)的場(chǎng)量；H，E分別為散射磁場(chǎng)和散射電場(chǎng)的場(chǎng)量；ω為激光在大氣中的角頻率；i為虛數(shù)單位；g0，g1分別為大氣和海水中的標(biāo)量格林函數(shù)；為哈密頓算子，且

2 矩陣離散

將光斑在x－y平面上的投影區(qū)域Sxy均勻劃分成網(wǎng)格Nx×Ny個(gè)，該區(qū)域的每個(gè)采樣點(diǎn)位于每個(gè)網(wǎng)格的中心處。在x、y方向上，每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)分別為Δlx＝Lx／Nx，Δly＝Ly／Ny。令m，n分別為該點(diǎn)在網(wǎng)格中的橫向和豎向序號(hào)，則該區(qū)域上的積分順序如圖2所示。由圖2可知：采樣點(diǎn)的排序是從下到上，再?gòu)淖笾劣摇?/p>

令Fx，F(xiàn)y分別為n×H在x、y向的分量，F(xiàn)n為H的法向分量，則

式中：x，y分別為x、y向單位矢量。

同理，令I(lǐng)x，Iy分別為n×E在x、y向的分量，In為E的法向分量，則

經(jīng)矢量分解后，由式（2）～（5）可得6個(gè)關(guān)于標(biāo)量場(chǎng)的方程。為便于數(shù)值計(jì)算，本文用矩量法（MOM）離散6個(gè)標(biāo)量方程，離散后的矩陣方程為

式中：p＝1，2，3，…，6，表示6個(gè)標(biāo)量方程的序號(hào)；ZAp，…，ZFp分別為第p個(gè)方程中不同變量相應(yīng)的系數(shù)矩陣；Up為6個(gè)標(biāo)量方程中的已知量，p＝1， 2，3時(shí)，Up＝0，p＝4，5，6時(shí)，Up分別為。此處：分別為n× Hinc在x、y向的分量；為Einc的法向分量。

3 稀疏矩陣規(guī)則網(wǎng)格法（SMCG）

因源點(diǎn)與接收點(diǎn)的水平距離越近，源點(diǎn)對(duì)接收點(diǎn)的貢獻(xiàn)就越大，故離接收點(diǎn)近的區(qū)域?yàn)閺?qiáng)區(qū)，反之為弱區(qū)。SMCG是一種高效率的數(shù)值計(jì)算方法，它對(duì)強(qiáng)區(qū)源點(diǎn)的貢獻(xiàn)進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算，對(duì)弱區(qū)源點(diǎn)的貢獻(xiàn)則采取近似計(jì)算，在保證準(zhǔn)確度的同時(shí)，極大地節(jié)約了計(jì)算成本［6］。

令源點(diǎn)與接收點(diǎn)的水平距離Rρ＝為區(qū)分強(qiáng)弱區(qū)域的臨界距離，則Rρ＜rd的區(qū)域?yàn)閺?qiáng)區(qū)，Rρ≥rd的區(qū)域?yàn)槿鯀^(qū)。設(shè)第（m，n）個(gè)點(diǎn)為場(chǎng)點(diǎn)，由圖2給出的rd，則圖2中的陰影區(qū)域?yàn)閺?qiáng)區(qū)，空白區(qū)域?yàn)槿鯀^(qū)。

為便于說(shuō)明，設(shè)存在方程

式中：Z（s），Z（w）分別為強(qiáng)區(qū)和弱區(qū)矩陣。用稀疏矩陣表示強(qiáng)區(qū)矩陣Z（s）；對(duì)Z（w）的元素，將其中的格林函數(shù)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)求和的方式近似表示，即

式中：am，bm分別為用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)G（R），g（R）進(jìn)行展開(kāi)時(shí)的第m級(jí)系數(shù)；下標(biāo)或上標(biāo)中的0表示大氣中的相應(yīng)參數(shù)，1代表水中的相應(yīng)參數(shù)。

在數(shù)值計(jì)算中，為獲得理想精度，將泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)至第6項(xiàng)，M＝5。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，可將Z（w）表示為級(jí)數(shù)求和的形式，即

令式（20）中的第1項(xiàng)為x－y平面的貢獻(xiàn)Z（FS），即

則SMCG的迭代過(guò)程可簡(jiǎn)單表述為

定義第n次迭代過(guò)程結(jié)束后的相對(duì)誤差

具體求解過(guò)程中，本文采用共軛梯度法（CGM）計(jì)算［7］。因Z（FS）是一個(gè)滿矩陣，故CGM在每步的迭代過(guò)程中，通過(guò)大量計(jì)算與向量的乘積。由Z（FS）的表達(dá)式可知：這是一個(gè)分塊托普利茲矩陣，它與向量的乘積滿足卷積運(yùn)算可用FFT實(shí)現(xiàn)。令T為Z（FS）的一個(gè)分塊矩陣，T的第1列為T(mén)1，則具體的計(jì)算方法為

4 錐形入射波

在對(duì)有限照射區(qū)域進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，為減少邊界效應(yīng)產(chǎn)生的偏差，用具有能量強(qiáng)度服從高斯分布的錐形波模擬入射激光束。設(shè)一束激光波數(shù)為k0，以方向ki照射在粗糙海面上，則入射電場(chǎng)Einc和入射磁場(chǎng)Hinc可分別表示為

式中：k＝xkx＋yky＋zkz；kx，ky，kz分別為能量在x、y、z向的分量；ETE，ETM分別為光波的水平和垂直偏振狀態(tài)參數(shù)，入射光束為水平偏振時(shí)ETE＝1，ETM＝0，入射光束為垂直偏振時(shí)ETE＝0，ETM＝1；

其中：kix，kiy分別為ki在x、y向的分量；gx，gy為三維錐形入射波的照射區(qū)域控制參數(shù)［8］。

入射激光束的總能量

5 數(shù)值計(jì)算

假設(shè)波動(dòng)水面是一種分布式的隨機(jī)過(guò)程，則采用歸一化微分散射截面即散射系數(shù)表征粗糙面角度性的散射特征。定義三維激光漫反射在不同偏振狀態(tài)下的雙站散射系數(shù)

式中：α，β分別為散射激光和入射激光的偏振狀態(tài)，α，β＝h表示水平偏振，α，β＝v表示垂直偏振；為不同偏振狀態(tài)時(shí)的散射光強(qiáng)。

通過(guò)對(duì)雙站散射系數(shù)進(jìn)行立體角的積分求和，可得不同偏振狀態(tài)的入射激光以角度θi入射時(shí)產(chǎn)生的散射場(chǎng)的總能量與入射能量的比值，具體可表示為

本文用基于高斯譜的高斯隨機(jī)過(guò)程模擬二維隨機(jī)粗糙海面［9］。為模擬粗糙海面不同粗糙度，建立了A、B兩種海面模型模擬不同粗糙度的波動(dòng)水面。其中：模型A的均方高度hx＝hy＝0.5cm，相關(guān)長(zhǎng)度lx＝ly＝6cm；模型B的hx＝hy＝1cm，lx＝ly＝5cm。

為說(shuō)明三維激光海面漫反射的能量分布特性，以水平偏振為例仿真計(jì)算了三維激光海面漫反射的雙站散射系數(shù)（γ＝γhh）。仿真計(jì)算中，分別取θi分別為20°，60°，入射方位角i均為0°。由于激光的能量相當(dāng)集中，為保證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，計(jì)算了光斑的全部面積，取參與散射的粗糙面的面積為光斑面積的16倍，則相應(yīng)的錐形波照射區(qū)域的參數(shù)和粗糙水面的參數(shù)分別為gx1＝gy1＝0.01cm，Lx1＝Ly1＝0.04cm，gx2＝0.02cm，gy2＝0.04cm，Lx2＝0.08cm，Ly2＝0.16cm。令激光波長(zhǎng)λ＝0.532μm，為保證激光的電磁特性，在x、y向的采樣間隔Δlx＝Δly＝λ／10。

用SMCG進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，當(dāng)θi＝20°時(shí)，區(qū)分強(qiáng)弱區(qū)域的臨界距離rd1＝40λ；當(dāng)θi＝60°時(shí)，用于區(qū)分強(qiáng)弱區(qū)域的臨界距離rd2＝100λ。為獲得散射場(chǎng)能量分布的統(tǒng)計(jì)特性，用蒙特卡羅法進(jìn)行仿真，仿真500次，所得三維激光海面漫反射雙站散射系數(shù)仿真結(jié)果分別如圖3、4所示。因Matlab軟件中沒(méi)有直接繪制三維極坐標(biāo)系中數(shù)據(jù)圖形的命令，直接用θs、散射方位角s作為直角坐標(biāo)系的變量時(shí)，當(dāng)θs相同時(shí)，s＝0°，360°的雙站散射系數(shù)無(wú)法重合。為形象而直觀描述散射場(chǎng)三維能量分布的角度特性，將θs，s轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值Px＝sinθs× coss，Py＝sinθssins。

由圖3、4可知：當(dāng)界面的粗糙度相對(duì)較小時(shí)，散射場(chǎng)的能量分布相對(duì)集中，鏡面反射方向的峰值能量相對(duì)較大，鄰近區(qū)域的能量相對(duì)較??；當(dāng)界面的粗糙度適度增加時(shí)，鏡面反射方向的峰值能量減少，鄰近區(qū)域的能量有所增長(zhǎng)，散射場(chǎng)的能量分布更均勻，即散射場(chǎng)能量的覆蓋范圍變得更大，但在散射場(chǎng)的邊緣處，能量衰減速度仍非?？?。

隨著入射角度的增大，在粗糙面上的光斑面積和粗糙面的截?cái)鄥^(qū)域面積都會(huì)隨之增加，因此就同一粗糙面而言，入射角度不同，粗糙面對(duì)激光的漫反射程度亦不同，散射場(chǎng)的能量分布也存在較大差別。比較圖3（b）、圖4（b）可知：與θi為60°的散射場(chǎng)相比，θi為20°時(shí)散射場(chǎng)的能量分布峰值能量相對(duì)較弱，總體能量分布更均勻。這說(shuō)明對(duì)相同粗糙度的粗糙面模型，入射角度越小，粗糙面對(duì)激光的漫反射程度就會(huì)越大，散射場(chǎng)的能量分布就越均勻。

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證本文三維激光海面漫反射雙站散射系數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。取θi分別為20°，60°，i為0°，入射高度H＝0.1m；采用功率P＝100mW、光束發(fā)散角1mrad、λ＝0.532μm的綠光水平偏振連續(xù)激光器。為獲得較準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由造波器生成模型A、B兩種不同粗糙度的波動(dòng)水面，用147型激光功率計(jì)對(duì)散射場(chǎng)中不同方位的采樣點(diǎn)的能量進(jìn)行多次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果經(jīng)處理后與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)中，激光以θi＝60°，H＝0.1m入射在不同粗糙度的波動(dòng)水面上時(shí)，將散射場(chǎng)的能量變化呈現(xiàn)在背景墻上，所得散射場(chǎng)的漫反射能量分布如圖5所示。

比較圖5（a）、（b）可知：圖5（b）的光斑面積明顯增大，整個(gè)光斑的亮度分布是前向鏡面反射方向附近的亮度最高，越靠近邊緣，亮度越低，但相對(duì)圖5（a）而言，光斑中心的亮度明顯降低，且在邊緣處的能量衰減速度也相對(duì)較慢。這說(shuō)明粗糙度較大的水面使散射場(chǎng)的能量分布更均勻，散射場(chǎng)的覆蓋面積明顯增大。

由直接觀察獲得的激光漫反射能量分布特性，與仿真所得激光漫反射能量分布特性是一致的。為獲得更客觀、量化的激光漫反射能量分布特性，用多次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，對(duì)KA，2DFBM，3DSMCG三種方法得到的散射場(chǎng)能量分布特性進(jìn)行驗(yàn)證、對(duì)比和分析。為更清晰地表示散射場(chǎng)能量在前后向上的分布，令s＝0°時(shí)的散射角為正，即為前向，s＝180°時(shí)的散射角為負(fù)，即為后向，則三種不同方法所得的漫反射率以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖6、7所示。

由圖6、7可知：用三維數(shù)值計(jì)算仿真算得的漫反射率與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更接近。因KA是一種解析算法，只能大致估算散射場(chǎng)的能量分布特性，故是三種方法中最不準(zhǔn)確的，甚至在圖6（b）中，并未體現(xiàn)出散射場(chǎng)的后向增強(qiáng)現(xiàn)象。二維數(shù)值計(jì)算的仿真結(jié)果大于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從理論上分析，這主要是因?yàn)槎S數(shù)值計(jì)算的仿真結(jié)果代表的能量之和是粗糙面上所有源點(diǎn)的貢獻(xiàn)之和，即二維散射場(chǎng)的總能量。三維數(shù)值計(jì)算的仿真結(jié)果與真實(shí)情況最接近（圖6、7中三維漫反射率代表的能量之和只是粗糙面上所有源點(diǎn)產(chǎn)生的貢獻(xiàn)的一部分，并非三維散射場(chǎng)的總能量）。雖然三種計(jì)算方法的準(zhǔn)確度存在差異，但反映的散射場(chǎng)的能量分布特性是相近的。

分析了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與三維雙站散射系數(shù)存在偏差的原因，認(rèn)為主要因素是：實(shí)驗(yàn)條件不可避免會(huì)出現(xiàn)誤差；粗糙海面的理論模型與真實(shí)水面還有一定差距。

7 結(jié)論

本文用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)激光在波動(dòng)水面上的三維漫反射特性進(jìn)行了研究，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。與其它方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較后，認(rèn)為三維數(shù)值計(jì)算方法獲得的三維BSC是最能準(zhǔn)確反映散射場(chǎng)能量分布特性的。研究發(fā)現(xiàn)：散射場(chǎng)的能量分布與入射角度和水面粗糙度有密切的關(guān)系，區(qū)分散射場(chǎng)能量前后向分布大小的入射角度隨粗糙度而變，粗糙度越大，入射角的分界點(diǎn)就越大，且較粗糙的水面會(huì)使散射場(chǎng)的能量分布更均勻，在散射場(chǎng)的邊緣處能量迅速衰減。研究為進(jìn)一步研究三維激光海面漫反射特性奠定了基礎(chǔ)。

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Study on 3DCharacteristics of Laser Diffusion from Rough Sea Surface Based on Numerical Method

LI Ke，YAO Chong－bin，ZHOU Bo，SHANG Ji－yang
（Shanghai Aerospace Electronic Technology Institute，Shanghai 201109，China）

To improve the application efficiency of ocean color remote sense technology，the characteristics of scattered field of laser from sea surface in different roughness and incident angles were studied.And the energy distribution characteristic of scattered field was analyzed in the lab when laser was incident into sea.The coupling relationships among components of scattering field in different directions were analyzed using Maxwell equation and boundary conditions.Six scalar equations were obtained after vector resolution.The discrete matrix equation was given.The matrix equation was solved by sparse matrix canonical grid method（SMCG）in which conjugate gradient method（CGM）was used in computation.For the calculation of the finite illumination region，the 3Dmodel of incident laser beam was established with 3Dtapered wave to decrease the boundary effect.The 3Dbistatic scattering coefficient（BSC）under different rough sea surface was obtained by simulation.It found that the smaller incident angle，the larger diffusion of the laser and more uniform energy distribution of scattering field for the same rough sea surface.The simulation results were verified by experiment.The result demonstrated that the 3DBSC was enough accurate to express the characteristics of laser diffusion from water surface comparing with Kirchhoff approach and 2Dforward－backward method.The study is useful to the further study about the characteristics of laser diffusion from sea surface.

rough sea surface；ocean color；laser；diffusion；3Dbistatic scattering coefficient；sparse matrix canonical grid method；3Dtapered wave；fast Fourier transform

O451

A

10.19328／j.cnki.1006－1630.2017.01.003

1006－1630（2017）01－0020－07

2016－08－10；

2016－12－20

國(guó)家青年科學(xué)基金資助（616050110）

李 ?。?980—），男，博士，主要研究方向?yàn)楣怆娺b感技術(shù)。