李登仟 蒲利春

(重慶理工大學光電信息學院應用物理系,重慶 400054)

基于質(zhì)能方程的溫度與質(zhì)量關系的研究

李登仟 蒲利春

(重慶理工大學光電信息學院應用物理系,重慶 400054)

為了進一步地研究熱力學中質(zhì)量與溫度的關系，通過質(zhì)能方程與熱力學的結合推導出宏觀物體因自身溫度升高而吸收熱量，其質(zhì)量將呈指數(shù)增加；因溫度的降低而放出熱量，質(zhì)量將呈指數(shù)減少。而這也將會對熱力學與相對論結合的研究提供一定的理論依據(jù)。

質(zhì)能公式；溫度；質(zhì)量；熱量；熱容

1905年，愛因斯坦在研究經(jīng)典物理學的基礎上提出了狹義相對論，得到了著名的質(zhì)能公式以及其他有關于時空變換的公式。在1906年，愛因斯坦和普朗克又試圖將相對論應用到熱力學上，進而得出一系列關于熱力學變換的公式。事實上，在1963年，人們對相對論應用于熱力學存在著一些爭議，主要來自運動參考系間變換造成的，所以，繆勒曾稱其為物理學史中的一起罕見的意外事件[1]。

我們在應用物理學理論時，能夠?qū)С鲆粋€有

趣的物理現(xiàn)象：裝有氣體的封閉系統(tǒng)，只能與外界交換能量即熱量而不能交換粒子數(shù)，封閉系統(tǒng)吸收或釋放熱量后，其溫度必然要升高或降低。按照愛因斯坦的質(zhì)能公式理論分析，封閉系統(tǒng)的質(zhì)量會變化嗎？引起這種質(zhì)量變化的原因是什么？文章將質(zhì)能方程與熱力學結合，運用狹義相對論和物理學理論來解釋上述兩個問題。對上述問題的研究及其結論，有助于研究凝聚態(tài)中物體因溫度變化而引起的質(zhì)量變化等物理現(xiàn)象。

1 質(zhì)能方程暨能量的內(nèi)涵

能量的內(nèi)涵主要指質(zhì)量時空分布可能變化程度的度量，用來表征物質(zhì)系做功的本領。質(zhì)量和能量是物質(zhì)的兩種固有屬性，而質(zhì)能方程揭示了物質(zhì)這兩種固有屬性的的聯(lián)系和對應關系[3]。

質(zhì)能關系E=mc2表明，描述物質(zhì)慣性與活性的質(zhì)量與它所具有的能量是相互關聯(lián)的，是以愛因斯坦理論基本假設之光速不變性c=3×108m·s-1即c2為關聯(lián)系數(shù)的，即兩者同步增減，不存在兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，但可以按照質(zhì)能方程“相應變化”[2，5-7]。綜上所述，質(zhì)量與能量是共存的、不相替代的、相互關聯(lián)而又不相轉(zhuǎn)換的，可把質(zhì)能關系描述為：質(zhì)量與能量共軛。在狹義相對論中存在靜止質(zhì)量與動質(zhì)量之說，與之對應的是物體的靜能m0c2與“動能”mc2，除此之外，這兩種能量還可以分得更細：對于一個系統(tǒng)，其總能量等于內(nèi)在能與外在能的總和(不考慮系統(tǒng)的外部勢能)。內(nèi)在能指的是包括與靜質(zhì)量m0在內(nèi)的靜能E0；外在能指的是物質(zhì)宏觀運動的動能Ek即：

E=E0+Ek=m0c2+Ek

(1)

系統(tǒng)的外在能即動能可通過測量得到，與之對應的質(zhì)量可以通過質(zhì)能關系算出；內(nèi)在能常采用測量系統(tǒng)的靜質(zhì)量m0，由E=m0c2算出。系統(tǒng)的內(nèi)在能與靜質(zhì)量對應，它的組成十分復雜，包括：(1)熱能：吸放熱時此能改變；(2)化學能：分子及分子間的勢能；(3)原子勢能：當原子吸收或放出輻射時此能改變；(4)原子核勢能：在核反應中此能改變[4]；(5)被束縛的與基本粒子靜質(zhì)量對應的靜能：在基本粒子反應或結合時此能改變，造成內(nèi)在能改變的主要因素是與基本粒子靜質(zhì)量共軛的靜能[2]。

事實上，物質(zhì)的靜能約99%都是存儲在構成物質(zhì)的基本粒子中的[3]，而基本粒子在適當?shù)那闆r之下可以轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，例如正負電子的湮滅可產(chǎn)生2個光子。由于光子是沒有靜止質(zhì)量的，所以正負電子湮滅釋放所產(chǎn)生能量全部轉(zhuǎn)化為2個光子的能量(動量)[5，8]。

2 宏觀分析

在上面我們已經(jīng)知道一個靜止的物體的內(nèi)在能m0c2是包括熱能的，現(xiàn)在我們就來看看系統(tǒng)溫度的改變怎樣使靜止質(zhì)量改變。必須聲明：我們所指的系統(tǒng)是一個封閉系統(tǒng)，此系統(tǒng)可以同外界交換能量但不能交換質(zhì)量即無粒子數(shù)遷移。

2.1 質(zhì)量隨溫度的改變

假設某一系統(tǒng)因為周圍溫度的升高而吸收熱量，從宏觀的角度來看：系統(tǒng)的動能改變量為零，只有靜能m0c2中的熱能的改變，而溫度的改變在宏觀上看來就只有熱量的改變。于是在這一溫度改變的過程中必然存在：

ΔE=Δm0c2=ΔQ

(2)

式(2)是顯然成立的，當然也可由方程組定量來證明式(2)的正確性，如下：

因為 ΔE=Δm0c2(物體A的動能改變?yōu)榱?，即ΔEk=0)

Δm0c2=ΔE熱(熱能是靜能的一部分，宏觀只表現(xiàn)為熱能的改變)

ΔE熱=ΔQ(熱力學第一定律：在體積不變的情況下熱能(內(nèi)能)的改變即熱量的改變)

所以ΔE=Δm0c2=ΔQ成立，即靜能的改變等于熱量的改變。如果熱量變化足夠小，將式(2)寫成微分形式(把m0換做m表示)

dQ=c2dm

(3)

cVmdT=c2dm

(4)

將上式m移項并積分得：

(5)

如果實際問題所涉及的溫度變化范圍不大時，將定容比熱容cV視為常量并記ΔT=T1-T0，則有：

(6)

上式表明：靜止物體因溫度升高而吸收熱量，其質(zhì)量按指數(shù)增加；物體因溫度降低而放出熱量，質(zhì)量按指數(shù)減少。將式(6)按冪級數(shù)展開得：

(7)

(8)

我們只需將式(8)移項并且等式兩邊同時乘以c2就回到了式(2)，可見這在理論上是協(xié)調(diào)的。

2.2 熱量的修正

上一節(jié)啟發(fā)我們熱量的改變式(2)應該是能用物體的靜止初始質(zhì)量m0和定容比熱容cV來具體表述的。果然，將式(7)的兩邊同時乘以c2得到：

(9)

這就是關于熱量與溫度之間的函數(shù)。式(9)中展開的第一項，是熱力學中熱量與溫度之間的關系，后面的高階項則是由質(zhì)能方程的修正得到的熱量與溫度改變的表達式，當然由于后面的展開式的分母中含有光速c的多次方的，使得整個式子趨近于零，所以我們平常忽略了這種微不足道的變化。

3 宏觀與微觀一致性

接下來，我們來對某一系統(tǒng)(此系統(tǒng)可以同外界交換能量但不能交換質(zhì)量即無粒子數(shù)遷移)進行研究。為了從微觀角度驗證在第二節(jié)中所得結果的正確性，我們將根據(jù)第二節(jié)中所得結果分別從宏觀和微觀角度來求溫度的表達式，以比較二者的一致性。

3.1 微觀溫度的相對論修正

(10)

因為宏觀的熱量(靜能)的改變量應該與微觀總分子的動能的改變量相同，所以由式(9)和式(10)得

(11)

并考慮到存在CV=cVm，經(jīng)計算有

(12)

不難看出，宏觀物體溫度的升高來自于微觀中分子速率的增加，而速率的增加也會引起質(zhì)量的增加(相對論效應)，這也就解釋了式(6)中質(zhì)量增加的成因了。

3.2 宏觀角度的溫度表達式

上面得到的式(12)，是將微觀與宏觀相結合得到的，為了進一步說明式(12)在微觀意義上的正確性，同樣也可以單純地從宏觀角度導出式(12)。只需取T0→0并將其移項，有

(13)

(14)

考慮到CV=cVm，將式(14)代入式(13)，經(jīng)過簡單計算化簡即得

(15)

這結果與上面從微觀角度得到的結果式(12)完全一樣，也再次證明在第二節(jié)中通過質(zhì)能方程的修正在理論上的完備性。

(16)

或

(17)

很明顯式(17)就是平常在非相對論情況下所見到的一個單原子分子的平均能量的表達式[10]，也再次論證了式(15)在v ?c的非相對論情況下的正確性。

從上面看得出：對于式(6)和式(9)的得到，我們在討論過程中是做了一些近似處理的，假設了比熱容c與系統(tǒng)的體積均不發(fā)生改變，所以上面的結論適用于在溫度變化不大的情況。對于式(6)、式(9)和式(12)由實驗來驗證不是不可能的，當然我們也期待有人能夠從對麥氏速度分布律的相對論效應修正后來研究理想氣體，從微觀的角度來證明上述的討論。

4 結語

致謝: 特別感謝筆者在參加《第三屆全國統(tǒng)計物理與復雜系統(tǒng)會議》期間，北京師范大學的郭文安教授對本文提出從微觀角度來輔證的幾點建設性的建議和意見；感謝《物理與工程》審稿人提出的寶貴的意見與建議。

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THE RELATION BETWEEN TEMPERATURE AND QUALITY WAS OBTAINED BASED ON MASS-ENERGY EQUATION

Li Dengqian Pu Lichun

(School of Optoelectronic Information, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054)

In order to further study the relationship between mass and temperature in thermodynamics，according to the combination between the mass energy equation and thermodynamics,quality increases with increasing temperature is deduced, and quality present the exponentially increasing. Because of the decrease of the temperature, quality reduced and quality reduction present the exponentially decreasing. But the quality increase or decay is very small.This will also provide a theoretical basis for the combination of thermodynamics and the theory of relativity.

mass-energy equation; temperature; quality; heat; heat capacity

2015-12-08；

2016-05-12

教育部科學技術研究重點項目：多用戶光載超寬帶無線通信系統(tǒng)關鍵組件及其光子集成基礎研究(編號：211149)。

李登仟，男，重慶理工大學應用物理系2013級本科生,13452070171@163.com。

蒲利春，男，教授，主要從事物理學、非線性光學研究,cqplc@cqut.edu.cn。

李登仟,蒲利春. 基于質(zhì)能方程的溫度與質(zhì)量關系的研究[J]. 物理與工程，2017，27(1)：98-101.