■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 王焰宇(指導(dǎo)老師:孟召臣)

用構(gòu)造函數(shù)法解一類(lèi)導(dǎo)數(shù)壓軸題

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 王焰宇(指導(dǎo)老師:孟召臣)

構(gòu)造函數(shù)法是在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),根據(jù)問(wèn)題的條件或目標(biāo),構(gòu)造一種新的函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題在新函數(shù)關(guān)系下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決。構(gòu)造函數(shù)解題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程,具有較大的靈活性和技巧性,如果能掌握相應(yīng)的構(gòu)造技巧,必定能大大提高同學(xué)們的臨場(chǎng)解題效率,下面舉例說(shuō)明。

題目:設(shè)定義在(0,+∞)上函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:2016f(x)＜f'(x)＜2017f(x),則( )。

解析:本題中的四個(gè)選項(xiàng)與題設(shè)的關(guān)系不很明顯,符合題意的特殊函數(shù)不易找到。如何利用題目中的條件構(gòu)造函數(shù),這讓很多同學(xué)在考場(chǎng)上花費(fèi)了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間還是無(wú)從下手。對(duì)本題的解答進(jìn)行整理,可得到以下三種解法:

解法一:據(jù)題可知2016f(x)＜f'(x)＜2017·f(x),f(x)＞0。

解法三:特殊函數(shù)法:令f(x)=eax, 2016＜a＜2017均可,不妨令a=2016.5,易知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足題設(shè)的一切條件,代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知只有A是正確的。

針對(duì)考試中常出現(xiàn)的幾類(lèi)函數(shù),進(jìn)行如下總結(jié):

1.對(duì)于f'(x)±g'(x),構(gòu)造h(x)= f(x)±g(x),若遇到f'(x)＞a(a≠0),則可構(gòu)造h(x)=f(x)-ax。

2.對(duì)于xf'(x)+f(x),構(gòu)造h(x)= xf(x),若遇到xf'(x)+nf(x),可構(gòu)造h(x)=xnf(x)。

3.對(duì)于xf'(x)-f(x),構(gòu)造h(x)=若遇到xf'(x)-nf(x),可構(gòu)造h(x)

4.對(duì)于f'(x)+f(x),構(gòu)造h(x)= exf(x)或h(x)=lnf(x)+x,若遇到f'(x)+ nf(x),則可構(gòu)造h(x)=enxf(x)或h(x)= lnf(x)+nx。

5.對(duì)于f'(x)-f(x),構(gòu)造h(x)=若遇到f'(x)-nf(x),則可構(gòu)造或h(x)= lnf(x)-nx。

如果同學(xué)們能熟練掌握以上這些常見(jiàn)的構(gòu)造技巧,必定能收到不錯(cuò)的效果。

(責(zé)任編輯 徐利杰)