■甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

探析高二數(shù)學(xué)中蘊藏的數(shù)學(xué)文化

■甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

2017年考試大綱修訂后,在能力要求內(nèi)涵方面,增加了對數(shù)學(xué)文化的要求——展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值。下面通過賞析歷年高考真題中的數(shù)學(xué)文化試題,來探析高考數(shù)學(xué)文化試題命題的視角。

一、取材于中國古代數(shù)學(xué)名著的高考數(shù)學(xué)試題

《九章算術(shù)》是我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著,《九章算術(shù)》全書共246道算術(shù)應(yīng)用題,分為九章:方田,粟米,衰分,少廣,商功,均輸,盈不足,方程,勾股。以《九章算術(shù)》中的問題為材料背景的高考真題,為高考注入了新的活力,很好地考查了同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng),也潛移默化地增加了同學(xué)們的愛國主義情懷。

(2011年湖北卷理科第12題)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為____升。

分析:設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列,根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項和公差的方程,聯(lián)立即可求出首項和公差,再根據(jù)求出的首項和公差,利用等差數(shù)列的通項公式即可求出第5節(jié)的容積。

解:設(shè)該數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,依題意得:

點評:此題源于《九章算術(shù)》第六章《均輸》,考查了等差數(shù)列的通項公式,也考查了同學(xué)們的創(chuàng)新意識和應(yīng)用知識能力。

這類數(shù)學(xué)文化試題,命題者直接取材于古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著中同學(xué)們能夠理解并且容易解決的簡單問題,編制成數(shù)學(xué)試題,大多可以利用相關(guān)的基本知識輕松解決,通過這些試題體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)成果的燦爛輝煌,也考查了同學(xué)們的理解能力和創(chuàng)新意識。

二、與黃金分割有關(guān)的高考數(shù)學(xué)試題

(1)雙曲線的離心率e=____。

(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值

圖1

解析:(1)由題意知|OA|=|OA2|,所以

所以e4-3e2+1=0。

(2)菱形F1B1F2B2的面積S1=

記∠B2F2O=θ,則sin

點評:本題以黃金雙曲線為載體,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系和雙曲線的離心率以及數(shù)形結(jié)合的思想。

2010年遼寧卷理科數(shù)學(xué)第9題同樣以黃金雙曲線為背景。

以黃金分割比為背景的高考數(shù)學(xué)試題,主要考查了同學(xué)們對高中有關(guān)基本知識的掌握情況,命題者通過這類試題,體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中的美學(xué)。

三、與斐波那契數(shù)列有關(guān)的高考數(shù)學(xué)試題

斐波那契(意大利數(shù)學(xué)家,約1170-1250)數(shù)列是由一個“兔子問題”引起的,即:假定一對大兔子每個月可以生一對小兔子,而小兔子出生后兩個月就有生殖能力,問從一對大兔子開始,一年后能繁殖成多少對兔子。這就產(chǎn)生斐波那契數(shù)列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…。

其規(guī)律是從第三項起,每一項都是前兩項的和。用遞推公式表達就是:

(2009年福建卷理科第15題)5位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù),規(guī)定:

(1)第一位同學(xué)首次報數(shù)為1,第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報數(shù)的都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和。

(2)若報出的數(shù)為3的倍數(shù),則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次。

已知甲同學(xué)第一個報數(shù),當(dāng)5位同學(xué)依次循環(huán)報到第100個數(shù)時,甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為____。

分析:根據(jù)題意可確定5位同學(xué)所報數(shù)值為斐波那契數(shù)列,可找到甲所報的數(shù)的規(guī)律,進而可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的知識來解題。

解:(1)將每位同學(xué)所報的數(shù)排列起來,即是“斐波那契數(shù)列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377,610,987,…。

(2)該數(shù)列的一個規(guī)律是,第4,8,12, 16,…,4n項均是3的倍數(shù)。

(3)甲同學(xué)報數(shù)的序數(shù)是1,6,11, 16,…,5m-4。

(4)問題可化為求數(shù)列{4n}與{5m-4}的共同部分?jǐn)?shù)。

易知,當(dāng)m=4k,n=5k-1時,5m-4= 20k-4=4n。

又1＜4n≤100,故20k-4＜100,k≤5。

因此,甲拍手的總次數(shù)為5次,即第16, 36,56,76,96次報數(shù)時拍手,故答案為5。

點評:本題主要考查斐波那契數(shù)列、等差數(shù)列的知識。

(責(zé)任編輯 徐利杰)