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        例說數(shù)列與不等式的綜合題型

        2017-03-23 06:11:45湖南省長沙市周南雨花中學(xué)彭向陽
        關(guān)鍵詞:正整數(shù)通項題意

        ■湖南省長沙市周南雨花中學(xué) 彭向陽

        例說數(shù)列與不等式的綜合題型

        ■湖南省長沙市周南雨花中學(xué) 彭向陽

        一、不等式成立問題

        已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+ a3=3a2,且a3+2是a2與a4的等差中項。

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        (2)若bn=an-log2an,Sn=b1+b2+…+ bn,求使不等式Sn-2n+1+47<0成立的n的最小值。

        解析:(1)容易求得an=2n。

        (2)bn=2n-log22n=2n-n。

        故所求的n的最小值為10。

        點評:正確利用求和公式求解,得到關(guān)于n的不等式,解不等式時,注意n是正整數(shù)。

        二、不等式證明問題

        設(shè)n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)。

        (1)求數(shù)列{xn}的通項公式;

        解析:(1)第一問簡單,利用導(dǎo)數(shù)y'=(2n+ 2)x2n+1,求出切線方程y-2=(2n+2)· (x-1),再令y=0得到

        (2)第二問難度大一點,有以下兩種解法:

        解法1:利用單調(diào)性。

        說明{n Tn}單調(diào)遞增,于是nTn≥1·T1=,所以

        解法2:利用放縮法。

        放縮法一:

        放縮法二:

        放縮法三:

        變式1 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        (3)已知pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)… (1+b2n-1),求證:

        解析:(1)由題意知,則整理得到

        (3)原 不 等式 即為 pn=

        故原不等式成立。

        變式2 數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1,設(shè)bn=2(log2an+1),n∈N*。

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        (2)求數(shù)列{an·bn} 的前n項和Tn;

        (3)證明:對于任意n∈N*,不等式恒成立。

        解析:(1)由題意知Sn=2an-1。①

        當(dāng)n≥2時,Sn-1=2an-1-1。②

        由①-②得an=2an-1。

        由于S1=2a1-1,所以a1=1,an=2n-1。

        (2)bn=2(log2an+1)=2n。

        故Tn=2·20+4·21+6·22+…2n· 2n-1。③

        故2Tn=2·21+4·22+…+(2n-2)· 2n-1+2n·2n。④

        ③-④得:

        -Tn=2+2(21+22+…2n-1)-2n·2n= (2-2n)·2n-2。

        所以Tn=(2n-2)·2n+2=(n-1)· 2n+1+2。

        (3)待證不等式兩邊平方得:

        變式3 在數(shù)列{an}中,已知并且當(dāng)n≥2且n∈N*時,有an+1=

        (1)若bn=an+1-an(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

        解析:(1)當(dāng)n=1時

        由累加法得到:

        變式4 數(shù)列{an}的通項公式an=n+1。

        解析:(1)設(shè)f(x)=sin,則結(jié)合函數(shù)y=cosx的單調(diào)性,知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞增,在上遞減;又f(0)=,因此在上,恒有f(x)≥0,即sin

        (2)因為anan+1≥6,所以由(1)知故

        三、不等式恒成立問題

        已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2= 6,a5=12,數(shù)列{bn}的前n項和是Sn,且

        (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

        解析:(1)由題意容易求得an=2n+2,

        點評:數(shù)列中的恒成立問題,同函數(shù)中的恒成立問題一樣,m>an對任意的n∈N*都成立,則m大于an中的最大項;反之一樣。這樣轉(zhuǎn)化為考慮數(shù)列的單調(diào)性,來求解最大值(上界)或者最小值(下界)。

        變式1 已知數(shù)列{an}中,a1=2,anan-1-2n=0(n≥2,n∈N*)。

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        解析:(1)根據(jù)題意,利用累加法容易求得an=n(n+1)。

        變式2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式an;

        (2)若數(shù)列{bn}滿足數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,如果不等式(-1)nλ<Tn對一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍。

        解析:(1)對原等式兩邊取倒數(shù),得到令解得整理得

        所以λ的取值范圍是(-1,2)。

        四、不等式有解問題

        等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差d=-1,前n項和為Sn,a1∈{1,2,3}。

        (1)若存在n∈N*,使Sn=-5成立,求a1的值。

        (2)是否存在a1,使Sn<an對任意大于1的正整數(shù)n均成立?若存在,求出a1的值;不存在,請說明理由。

        解析: (1)由條件得Sn=na1+

        整理得n2-(2a1+1)n-10=0。

        由于n∈N*,所以Δ=(2a1+1)2+40必為完全平方數(shù)。

        由于a1∈{1,2,3},逐個檢驗得a1=1符合要求,此時n=5。

        (2)由Sn<an得:

        故不存在a1,使Sn<an對任意大于1的正整數(shù)n均成立。

        點評:不等式有解問題,同函數(shù)不等式的有解問題一樣,實質(zhì)也是最值問題。存在n∈N*使得m>an有解,則m大于an的最小項;m<an有解,m小于an的最大值。這樣轉(zhuǎn)化考慮數(shù)列的單調(diào)性,來求解最大值(上界)或最小值(下界)。

        (責(zé)任編輯 徐利杰)

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