■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學 梅 磊

瞄準高考方向 學好空間向量

■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學 梅 磊

空間向量是解決立體幾何問題的有力工具,下面以近三年高考數(shù)學全國Ⅰ卷中的立體幾何解答題為例,帶你瞄準高考方向,學好空間向量。

(2014年全國Ⅰ卷理第19題)如圖1,三棱 柱 ABCA1B1C1中,側面BB1C1C為菱形, AB⊥B1C。

圖1

(1)證明:AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB= BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解析:(1)連接BC1,交B1C于點O,連接AO。因為側面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點。

又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO。由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO。

又B1O=CO,故AC=AB1。

(2)因為AC⊥AB1,且O為B1C的中點,所以AO=CO。又因為AB=BC,所以△BOA≌△BOC。故OA⊥OB,從而OA, OB,OB1兩兩互相垂直。

圖2

因為∠CBB1=60°,所以△CBB1為等邊三角形。又AB=BC,則:

設n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則即

設m=(x,y,z)是平面A1B1C1的法向量,則

二面角A-A1B1-C1的余弦值為

點評:本題中以橫放的三棱柱ABCA1B1C1為基本圖形,側面BB1C1C為菱形,有利于建立空間直角坐標系。

圖3

(2015年全國Ⅰ卷理第18題)如圖3,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一側的兩點,BE⊥平面ABCD, DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。

(1)證明:平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值。

解析:(1)連接BD,設BD∩AC=G,連接EG,FG,EF。

在菱形ABCD中,不妨設GB=1。由∠ABC=120°,可得AG=GC=。

由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC。

從而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG。

又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC。

又EG?平面AEC,則平面AEC⊥平面AFC。

圖4

故

點評:本題以同學們熟悉的菱形為載體,利用添加平面垂線段的方法構建空間幾何圖形,使大家感覺到“似曾相識”之中有新意。本題的立體圖形情境是同學們在學習立體幾何中的有關概念和線面關系的過程中所熟悉的,同學們可以根據(jù)題意,按部就班地解題。90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°。

(2016年全國Ⅰ卷理第18題)如圖5,在以A、B、C、D、E、F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形, AF=2FD,∠AFD=

圖5

(1)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值。

解析:(1)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC。

又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC。

(2)過D作DG⊥EF,垂足為G,由(1)知DG⊥平面ABEF。

由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE= 60°,則|DF|=2,可得A (1,4,0),B(-3,4,

圖6

因為AB∥EF,所以AB∥平面EFDC。

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF。

由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°。從而可得C(-2,0

設n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則滿足:

點評:解立體幾何問題,關鍵在于建立空間直角坐標系,把空間中的點用空間坐標表示出來。利用空間向量可解決平行、垂直關系的證明問題,其理論依據(jù)為向量的共線和數(shù)量積公式。

(責任編輯 徐利杰)