■鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 楊春波

數(shù)學(xué)篇

淺談拋物線幾何性質(zhì)的幾何證明

■鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 楊春波

拋物線的一些幾何性質(zhì)想必大家是熟悉的:如圖1,拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l。過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為α(0＜α＜π)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M為AB的中點(diǎn),由A、M、B向準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為D、N、C,連接圖中剩余各線段,則有:

圖1

(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。

(5)點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線,點(diǎn)B、O、D三點(diǎn)共線。

證明拋物線的以上幾何性質(zhì)時(shí)多用代數(shù)方法(即聯(lián)立直線與拋物線的方程),既然是幾何性質(zhì),為何不用幾何證法呢?而且,相對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō),拋物線的定義自有優(yōu)勢(shì):平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(定直線不經(jīng)過(guò)定點(diǎn))距離相等的點(diǎn)的軌跡?，F(xiàn)把拋物線幾何性質(zhì)的幾何證明,展示如下。

證明:

因此,|AB|≥2p,當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=1,即時(shí),等號(hào)成立。這就是“通徑在過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中弦長(zhǎng)最短,其長(zhǎng)度為2p”。(3)得證。

由AD∥BC及AF=AD,BF=BC,易證∠DFC=90°。在Rt△DFC中,FE為斜邊上的高,由射影定理知EF2=ED·EC,即y1y2=-p2。

Rt△DFC中,FN為斜邊上的中線,則FN=NC=ND,從而易證△ADN≌△AFN (或△BCN≌△BFN),得∠NFM=90°,即NF為Rt△ANB斜邊上的高,則NF2= AF·BF,從而:

易知|AB|=x1+x2+p。

由|AF|=|AD|=|EF|+|AF|cosα= p+|AF|cosα,得

設(shè)G為AN與DF的交點(diǎn),H為BN與CF的交點(diǎn),則G、H分別為DF和CF的中點(diǎn)。在△DEF中,G為DF的中點(diǎn),O為EF的中點(diǎn),故OG為△DEF的中位線,OG∥DE,點(diǎn)G在y軸上。同理,點(diǎn)H也在y軸上。而且易知G、H分別是OJ和OK的中點(diǎn)。

兩式相乘,得AJ·BK·(OF)2= (OG·OH)2=(OF)4,AJ·BK=(OF)2,即至此(1)得證。

設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為O',則:

因此,|O'E|=|O'F|,O'為EF的中點(diǎn),則O'與O重合,A、O、C三點(diǎn)共線。同理, B、O、D三點(diǎn)也共線,(5)得證。

值得一提的是,對(duì)于圖1,有同學(xué)挖掘出了另外一些相關(guān)的幾何性質(zhì)和幾何證明,補(bǔ)充在這里與大家分享。

(6)設(shè)L為MN與拋物線的交點(diǎn),則L為MN的中點(diǎn)。

證明:在Rt△NFM中,由拋物線的定義知|LF|=|LN|,從而易證FL為斜邊上的中線,則|LM|=|LN|,L為MN的中點(diǎn)。

(7)EF平分∠AEB。

證明:由知 Rt△ADE∽R(shí)t△BCE,則∠AED=∠BEC,∠AEF=∠BEF,EF是∠AEB的平分線。(8)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切。

證明:設(shè)M1為AF的中點(diǎn),則:

故以AF為直徑的圓與y軸相切。同理,可證以BF為直徑的圓也與y軸相切。

(9)NA、NB均是拋物線的切線。

證明:如圖1,由∠FAN=∠DAN=∠1,結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)(從焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后,反射光線平行于拋物線的軸),知NA是拋物線的切線。同理,NB也是拋物線的切線。

由此可見(jiàn),拋物線的焦點(diǎn)弦在兩端點(diǎn)處的切線互相垂直,且兩切線的交點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上,而且由NF⊥AB可知,兩切線的交點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的連線與焦點(diǎn)弦垂直。

眾所周知,解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題,其最基本的研究方法為坐標(biāo)法。但是,事物是一分為二的,如果過(guò)分強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法,久而久之,人們就會(huì)習(xí)慣于將解析幾何與繁難的運(yùn)算等價(jià)起來(lái),這樣的認(rèn)識(shí)是片面的。我們應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到,解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形,因此,在解答解析幾何問(wèn)題時(shí),要注重挖掘問(wèn)題的幾何特征,不妨用幾何的眼光審視解析幾何問(wèn)題。更多的例證留給同學(xué)們?nèi)ヌ剿?、去發(fā)現(xiàn)。

練一練:

1.已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2, y2),則的值一定等于( )。

A.-4 B.4 C.p2D.-p2

2.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點(diǎn),則|AB|等于( )。

3.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|AF|·|BF|的最小值為( )

4.設(shè)拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且P恰為AB的中點(diǎn),則|AF|+|BF|=____。

參考答案:1.A2.C3.C4.8

(責(zé)任編輯 徐利杰)