邱云翔，劉國東，王 亮，李世鈺

(1.四川大學 水利水電學院，成都 610065；2.四川大學 水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室，成都 610065)

0 引 言

在地下水資源開發(fā)利用的過程中，導水系數(shù)T和貯水系數(shù)S等水文地質參數(shù)是非常重要的基礎數(shù)據(jù)。為獲得符合實際情況的T和S，需對非穩(wěn)定流抽水試驗數(shù)據(jù)進行分析。常用的分析方法有配線法和直線圖解法。數(shù)學模型的優(yōu)化方法因其能高效模擬配線分析和Theis求解也成為反演T和S的分析方法，主要有高斯—牛頓迭代算法[1]，非線性最小二乘法[2]，遺傳算法(GA)[3]，梯度法[4]，粒子群算法(PSO)[5]，GA優(yōu)化BP神經網絡法[6]等。上述方法均能反演出滿足一定精度要求的T和S，但對T和S的初始取值范圍取較大區(qū)間的情形研究較少。2006年，伊朗德黑蘭大學的C Lucas和A R Mehrabian首次提出入侵雜草優(yōu)化算法(Invasive Weed Optimization,IWO)[7]，該算法具備廣度搜索的優(yōu)勢，目前已被應用于函數(shù)優(yōu)化，模式識別，自動控制，數(shù)據(jù)挖掘，決策分析等諸多領域[8-10]。基于此，本文對IWO算法作適當改進，探討其在T和S的初始取值范圍取較大區(qū)間時反演T和S的有效性與穩(wěn)定性。

1 IWO算法

IWO算法的實現(xiàn)步驟如下[7,8]：

(1)確定初始種群大小N0、最大迭代次數(shù)itmax、問題的求解維數(shù)dim、最大種群數(shù)量pmax、最大種子數(shù)zmax、最小種子數(shù)zmin、非線性調制指數(shù)n、初始標準差σinitial、最終標準差σfinal、自變量初始搜索空間xini，根據(jù)N0、dim、xini隨機產生初始解。

(2)依據(jù)適應度函數(shù)計算初始解(父代種群)的適應度值，確定父代種群的最優(yōu)適應度值和最劣適應度值。

(3)在具備初始解(父代種群)的基礎上依據(jù)其適應度值計算繁殖種子的數(shù)量，種子數(shù)量與其適應度值呈線性關系，適應度值最優(yōu)個體繁殖出zmax個種子，適應度值最劣個體繁殖出zmin個種子。

(4)父代種群中所有個體種子產生完成后，根據(jù)當前所處迭代次數(shù)產生標準差σiter，σiter按下式計算：

(1)

(5)種子依據(jù)σiter，按照正態(tài)分布N(0,σ2)隨機擴散分布在父代個體的周圍形成子代種群。

(6)子代種群形成后，判斷是否達到pmax。若父代種群與子代種群的個體數(shù)量之和未達到pmax，則重復(2)～(5)，若超過pmax，將父代和子代個體按適應度值優(yōu)劣排序，保留適應度值優(yōu)秀的個體，使種群數(shù)量控制在pmax以內。

(7)判斷是否達到itmax，若未達到，則重復(2)～(6)，反之，將適應度值最優(yōu)個體的信息輸出作為結果。

2 改進的IWO算法運用Theis公式

2.1 算法改進

IWO算法在廣度搜索空間中運用Theis公式時，搜索空間的下限值一般設置為零，為實現(xiàn)算法從廣度搜索逐漸過渡到深度搜索，算法參數(shù)中的σinitial和σfinal須分別設置成較大值與較小值。較大的σinitial常使算法在迭代初期擴散分布時產生負解，違背了水文地質參數(shù)的非負性，導致算法無法完成深度搜索，難以獲得接近實際的T和S。為此，本文嘗試引入兩個新的算法參數(shù)：初始擴散指數(shù)ninitial，最終擴散指數(shù)nfinal，以擴散指數(shù)niter的計算公式代替σiter的計算公式變IWO算法σiter的靜態(tài)設置為動態(tài)調整。改進的IWO算法步驟如下：

(1) 確定初始種群大小N0、最大迭代次數(shù)itmax、問題的求解維數(shù)dim、最大種群數(shù)量pmax、最大種子數(shù)zmax、最小種子數(shù)zmin、初始擴散指數(shù)ninitial、最終擴散指數(shù)nfinal、自變量初始搜索空間xini，根據(jù)N0、dim、xini隨機產生初始解。

(2)～(3)同IWO算法。

(4)父代種群中所有個體種子產生完成后，根據(jù)當前所處迭代次數(shù)產生擴散指數(shù)niter，niter按下式計算：

(2)

(5)種子以父代個體除以niter的商作為σiter，按照正態(tài)分布N(0,σ2)隨機擴散分布在父代個體的周圍形成子代種群。

(6)～(7)同IWO算法。

2.2 模型設計

2.2.1 求解公式

根據(jù)非穩(wěn)定流抽水試驗資料，選擇Theis公式進行求解，其公式為：

(3)

(4)

(5)

式中：s為抽水影響范圍內任一點任一時刻的水位降深，m；Q為抽水井的流量，m3/s；T為導水系數(shù)，m2/s；t為自抽水開始到計算時刻的時間，s；r為計算點到抽水井的距離，m；S為含水層的貯水系數(shù)。

從式(4)可以看出，計算W(u)時，需要進行廣義積分，這將極大增加算法運行時間。故本文采用Rajesh Srivasiava[11]給出的W(u)近似表達式計算，其相對誤差小于0.001%，足以滿足生產上允許相對誤差2%左右的要求[12]。該近似表達式為：

u≤1:W(u)=-Inu+a0+a1u+a2u2+a3u3+a4u4+a5u5

(6)

(7)

式中，a0=-0.577 22；a1=0.999 99；a2=-0.249 91；a3=0.055 19；a4=-0.009 76；a5=0.001 08；b0=0.267 77；b1=8.634 76；b2=18.059 02；b3=8.573 33；c0=3.958 50；c1=21.099 65；c2=25.632 96；c3=9.573 32。

2.2.2 適應度函數(shù)

以算法搜索的T和S結合求解公式計算各時刻模擬降深值，以各時刻實測降深值與模擬降深值的離差平方和的均值為適應度值[5]：

(8)

T≥0,S≥0

(9)

式中：J為觀測時刻的個數(shù)；si為第i個觀測時刻的實測降深值。

2.3 模型測試

2.3.1 測試方法

2.3.2 參數(shù)設置

測試采用統(tǒng)一的參數(shù)設置標準：導水系數(shù)搜索空間下限值Tmin=0，導水系數(shù)搜索空間上限值Tmax取隨機值的500倍，貯水系數(shù)搜索空間下限值Smin=0，貯水系數(shù)搜索空間上限值Smax=0.5。經調試，改進的IWO算法參數(shù)取值如下：N0=5；pmax=30；zmax=4；zmin=0；ninitial=4；nfinal=100；itmax=200。GA參數(shù)取值如下：種群規(guī)模(M=100)；交叉概率(Pc=0.9)；變異概率(Pm=0.7)；遺傳代數(shù)(G=400)。

2.3.3 結果分析

圖1展示隨機生成的1 000組T和S，圖2和圖3分別展示改進的IWO算法和GA所計算的1 000組T和S的相對誤差值(大量數(shù)據(jù)點在坐標原點附近聚集)，表2對改進的IWO算法和GA的測試結果進行了分析。

圖2 1 000組相對誤差值(改進的IWO算法)Fig.2 1 000 relative errors (The modified IWO)

圖3 1 000組相對誤差值(GA)Fig.3 1000 relative errors (GA)

測試指標方 法改進的IWO算法GA相對誤差最小值1.38×10-72.32×10-10相對誤差最大值37.9597.81相對誤差合格率/%92.573.2單組運算時間/s1.093.53

從上述理論測試的表達結果可以看出，當T和S的初始取值范圍取較大區(qū)間時，改進的IWO算法合格率較GA更高，單組運算時間更短，相對誤差波動區(qū)間更小，說明改進的IWO算法在廣度搜索空間中運用Theis公式是有效的。

3 實例應用

3.1 數(shù)據(jù)來源

為開展實例應用，選取3個不同尺度的非穩(wěn)定流抽水試驗。依次為文獻[12]、[13]和[14]中抽水10 min以后的實測降深等數(shù)據(jù)。

3.2 應用開展

為進一步展現(xiàn)改進的IWO算法在廣度搜索空間中運用Theis公式的優(yōu)越性，將搜索空間進行擴展：Tmin=0，Tmax取配線法確定結果的1 000倍，Smin=0，Smax=0.5。為判別算法在廣度搜索空間中運用Theis公式的穩(wěn)定性，將算法在每組實例應用中均運行100次。仍新增GA與改進的IWO算法在同等搜索空間下反演T和S的對比。經調試，改進的IWO算法參數(shù)設置如表3，GA參數(shù)設置如表4。

表3 改進的IWO算法參數(shù)設置Tab.3 Parameters of the modified IWO

表4 GA參數(shù)設置Tab.4 Parameters of the GA

3.3 結果分析

改進的IWO算法與其他方法求解結果的對比見表5與圖4，與GA處理上述3組抽水試驗的成果分別見圖5、6。

表5 不同方法的求解結果對比Tab.5 Results of different methods

圖4 82組實測降深的相對誤差值Fig.4 82 relative errors of drawdowns

從表5可以看出，當T與S較小時，本文方法的適應度值(fitness)略低于常用配線法及直線圖解法，各觀測時刻實測降深的平均相對誤差(MRE)與常用方法接近，當T與S較大時，fitness和MRE均較常用方法明顯降低。從圖4可以看出，在文獻[13]中，本文方法的多數(shù)觀測時刻實測降深的相對誤差(RE)介于最小值與最大值之間，在文獻[12]和[14](尤其文獻[14])中，多數(shù)RE的最小值由本文方法獲得。綜上所述，改進的IWO算法可以在廣度搜索空間中反演T和S，并且當T和S較大時其求解結果較常用方法更符合實際情況。

圖5 300個適應度值(改進的IWO算法)Fig.5 300 fitness values (The modified IWO)

圖6 300個適應度值(GA)Fig.6 300 fitness values (GA)

從與GA的對比還可看出，當T和S的初始取值范圍取較大區(qū)間時，GA需要更大的種群規(guī)模及更多的迭代次數(shù)(更長的運行時間)來完成相應的求解，且在100次的運算中適應度值存在明顯波動，尤其當T和S較小時(文獻[12])，這種波動更為顯著。改進的IWO算法在廣度搜索空間中反演T和S時較GA運行時間更短，所求適應度值更低，并且100次的運算結果更穩(wěn)定。

4 結 語

改進的IWO算法能在廣度搜索空間中高效模擬配線分析和Theis求解，反演出接近實際的T和S，降低了預估T和S初值范圍的難度。算法編程較易實現(xiàn)，更換算法程序中抽水試驗的數(shù)據(jù)部分和對算法參數(shù)略作調整可處理不同尺度的非穩(wěn)定流抽水試驗。在理論測試中，改進的IWO算法較GA更快更多地搜尋出滿足一定精度要求的參數(shù)。實例應用中，當T和S較大時，改進的IWO算法比常用配線法和直線圖解法求解精度更高，在廣度搜索空間的條件下，改進的IWO算法較GA更優(yōu)更穩(wěn)定?；谏鲜鎏攸c，改進的IWO算法可作為在廣度搜索空間中反演T和S的一種新方法。

隨著搜索空間的擴展和對參數(shù)求解精度要求的提高，如何進一步改善算法搜索原理，提高算法運行效率需要進一步的研究。如何將其他算法引入本算法并拓展應用需要進一步的嘗試。

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