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        含體力的邊界元法研究及在大壩力學(xué)分析中的應(yīng)用

        2017-03-22 03:38:40張浩東
        中國(guó)農(nóng)村水利水電 2017年5期
        關(guān)鍵詞:積分法元法細(xì)分

        李 響,張浩東,王 橋,周 偉

        (武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430072)

        0 引 言

        邊界元法[1]作為有限元法的一個(gè)重要補(bǔ)充,對(duì)于某些有限元法不能很好解決的問(wèn)題具有先天的優(yōu)勢(shì)。邊界元法只需要對(duì)求解問(wèn)題的邊界進(jìn)行離散,將求解問(wèn)題的維度降低一維,并且由于采用了求解問(wèn)題的基本解,它是一種半解析半數(shù)值的計(jì)算方法,因此能得到較高的計(jì)算精度。對(duì)于裂紋擴(kuò)展問(wèn)題,邊界元法只需要在裂紋尖端增加少量網(wǎng)格,極大地減少了工作量。對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu),例如含有細(xì)小孔洞的結(jié)構(gòu),含有細(xì)小水管的大壩結(jié)構(gòu)和顆粒增強(qiáng)的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)等,采用邊界元法只需要對(duì)構(gòu)成其幾何結(jié)構(gòu)的邊界進(jìn)行離散,減少了網(wǎng)格劃分的困難程度和計(jì)算自由度。由于采用了基本解,邊界元法非常適用于求解無(wú)限域和半無(wú)限域的問(wèn)題,使得其在巖土工程和地下結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用前景非常巨大。

        對(duì)于齊次方程,邊界元法得到的積分方程只含有邊界積分,然而,對(duì)于非齊次方程,即右端項(xiàng)不為零的方程,邊界元法得到的積分方程除了含有邊界積分外,還含有域積分。如果利用劃分體網(wǎng)格的方法來(lái)計(jì)算域積分,邊界元法便喪失了只對(duì)邊界進(jìn)行離散的巨大優(yōu)勢(shì),因此邊界元法不適合求解非線性問(wèn)題。而實(shí)際工程中的問(wèn)題最終提煉得到的方程往往是非齊次方程,例如力學(xué)問(wèn)題一般都會(huì)考慮重力,這便極大地限制了邊界元法在工程中的應(yīng)用。

        基于體網(wǎng)格的方法主要包括直接域積分法[2],該方法需要對(duì)整個(gè)求解域進(jìn)行離散,即需要?jiǎng)澐煮w單元,導(dǎo)致邊界類型算法失去了只對(duì)邊界進(jìn)行離散的這一主要優(yōu)勢(shì)。對(duì)于一些較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu),體單元的劃分也比較困難和耗時(shí)。

        為了消除域積分需要的體網(wǎng)格,國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者提出了各種將域內(nèi)積分轉(zhuǎn)化為邊界積分的方法[3],常用的方法主要基于互易定理和散度定理。基于互易定理的方法主要包括雙互易法和多互易法等。雙互易法(dual reciprocity method, DRM)[4]是應(yīng)用較為廣泛的一種方法,在一些無(wú)網(wǎng)格法[5]和邊界面法[6-8]中都有應(yīng)用。該方法的基本思想是通過(guò)再一次的互易定理將域內(nèi)積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。為了達(dá)到這一目的,可以將控制方程的非齊次項(xiàng)采用一系列函數(shù)插值,常用的插值函數(shù)有徑向基函(radial basic function, RBF),需要在域內(nèi)布置節(jié)點(diǎn),在計(jì)算過(guò)程中往往需要先求解一個(gè)線性方程組,該線性方程組的系數(shù)矩陣一般是一個(gè)病態(tài)滿陣,在布置的域內(nèi)節(jié)點(diǎn)不均勻或者節(jié)點(diǎn)數(shù)量很多的情況下,可能導(dǎo)致求解結(jié)果的不穩(wěn)定性[9-11]。

        基于散度定理的方法是近年來(lái)才被提出的處理域積分的新方法,其具有代表性的方法為徑向積分法(radial integration method, RIM)[12,13],該方法最近得到了較為廣泛的研究。該算法也是一種只需要對(duì)邊界進(jìn)行離散的方法,其基本思想是通過(guò)散度定理將域積分轉(zhuǎn)化為包含一維徑向積分的邊界積分。該方法除了能夠?qū)⒂蚍e分轉(zhuǎn)化為邊界積分之外,還能夠非常有效的處理邊界元法中的一些奇異積分?;谏⒍榷ɡ淼姆椒ㄟ€包括直線積分法(line integration method, LIM)[14],該方法非常適合與快速多極算法結(jié)合求解大規(guī)模問(wèn)題[15,16]。

        本文擬提出一種新的域積分計(jì)算方法----自適應(yīng)背景網(wǎng)格積分法。該方法將域積分近似為背景網(wǎng)格積分,只需要對(duì)邊界進(jìn)行單元離散,非常適合應(yīng)用于邊界元法中。數(shù)值算例表明,本文提出的方法具有較高的計(jì)算精度。本文將該方法應(yīng)用于二維彈性力學(xué)問(wèn)題,并對(duì)大壩結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真計(jì)算,取得了較好的結(jié)果。

        1 自適應(yīng)背景網(wǎng)格積分法

        1.1 自適應(yīng)背景網(wǎng)格

        在自適應(yīng)背景網(wǎng)格積分法中,只需要將求解域的邊界離散為邊界單元,通過(guò)邊界單元得到背景網(wǎng)格,在該過(guò)程中需要應(yīng)用到二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)。在詳細(xì)介紹自適應(yīng)背景網(wǎng)格的構(gòu)造前,先定義如下參數(shù):

        網(wǎng)格大?。憾x網(wǎng)格的大小為過(guò)正方形的邊長(zhǎng);單元大?。憾x單元大小為單元的長(zhǎng)度;單元等級(jí):初始單元的等級(jí)設(shè)為1,每個(gè)單元可以進(jìn)一步細(xì)分為兩個(gè)子單元,每個(gè)子單元的等級(jí)增加1,即等級(jí)為l+1的單元由等級(jí)為l的單元細(xì)分得到;預(yù)定義的最大網(wǎng)格大?。汗潭ㄖ?,為事先定義的值來(lái)控制葉子網(wǎng)格的大??;預(yù)定義的最大單元等級(jí):固定值,如果邊界單元的等級(jí)大于該預(yù)定值,停止對(duì)該單元的進(jìn)一步細(xì)分。

        有了以上定義,構(gòu)造自適應(yīng)背景網(wǎng)格的主要步驟如下:

        (1)將計(jì)算域離散為邊界單元。邊界單元可以直接采用邊界元法中的單元。找到一個(gè)盡可能小的正方形覆蓋求解域,該正方形為四叉樹(shù)的根節(jié)點(diǎn),稱為根網(wǎng)格,所有的邊界單元須在根網(wǎng)格之內(nèi)。

        (2)細(xì)分網(wǎng)格。將每個(gè)網(wǎng)格細(xì)分為4個(gè)相同大小的子正方形,稱為子網(wǎng)格。如果父網(wǎng)格中的邊界單元的部分或全部在子網(wǎng)格內(nèi),將該單元分配到該子網(wǎng)格內(nèi)。每個(gè)單元可以同時(shí)在多個(gè)網(wǎng)格內(nèi)(見(jiàn)圖1)。

        圖1 一個(gè)單元在兩個(gè)網(wǎng)格中Fig.1 A unit element in two grids

        (3)重新細(xì)分網(wǎng)格或網(wǎng)格內(nèi)的單元。首先得到每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)每個(gè)單元大小,如果單元的大小不比網(wǎng)格小,細(xì)分該單元并將每個(gè)新單元的等級(jí)增加1(圖2)。重復(fù)該步驟,直到該網(wǎng)格內(nèi)每個(gè)單元的大小均小于該網(wǎng)格的大小。如果單元的大小比網(wǎng)格大小的一半還小,回到第二步,即細(xì)分網(wǎng)格(圖3)。該步驟可確保網(wǎng)格大小和該網(wǎng)格內(nèi)的所有單元的大小較為接近。

        圖2 細(xì)分單元Fig.2 Subdivision unit element

        圖3 細(xì)分網(wǎng)格Fig.3 Mesh refinement

        (4)判斷網(wǎng)格位置(見(jiàn)圖4)。如果網(wǎng)格在計(jì)算域外,刪掉該網(wǎng)格,如果在計(jì)算域內(nèi),進(jìn)行(5),否則,進(jìn)行(6)。

        (5)細(xì)分域內(nèi)網(wǎng)格。如果域內(nèi)網(wǎng)格大小大于域定義的最大網(wǎng)格大小,將該網(wǎng)格細(xì)分為四個(gè)相同大小的網(wǎng)格;重復(fù)該步驟直到網(wǎng)格大小小于域定義的最大網(wǎng)格大小。

        (6)細(xì)分邊界網(wǎng)格。如果該邊界網(wǎng)格大小大于域定義的最大網(wǎng)格大小,回到(2);否則,如果網(wǎng)格內(nèi)單元的最小等級(jí)大于預(yù)定義的最大單元等級(jí),停止細(xì)分,否則,回到(2)。

        通過(guò)以上步驟即可構(gòu)造基于邊界單元的自適應(yīng)背景網(wǎng)格,可以發(fā)現(xiàn),該方法只需要邊界單元的信息,區(qū)別于其他域積分方法。邊界網(wǎng)格的大小通過(guò)邊界單元的大小進(jìn)行控制,邊界單元大小越小或邊界單元等級(jí)越高,得到的邊界網(wǎng)格的大小便越小,而小的邊界網(wǎng)格可以更好地接近原計(jì)算域。圖4(b)是一個(gè)最終的網(wǎng)格細(xì)分例子。

        圖4 自適應(yīng)背景網(wǎng)格構(gòu)造過(guò)程Fig.4 Process of adaptive cell-based domain mesh

        在(4)中,需要判斷網(wǎng)格的位置。在該方法中,有3種網(wǎng)格:域外網(wǎng)格,邊界網(wǎng)格和域內(nèi)網(wǎng)格。如果網(wǎng)格中包含邊界單元,稱為邊界網(wǎng)格,該類型的網(wǎng)格容易區(qū)分。域外網(wǎng)格和域內(nèi)網(wǎng)格均不包含邊界單元,區(qū)分較為困難,涉及點(diǎn)相對(duì)于幾何體的位置問(wèn)題。從以上步驟中,可以知道,在這種情況下該網(wǎng)格的父網(wǎng)格必然為邊界網(wǎng)格,即其包含邊界單元,通過(guò)這些邊界單元,便可判斷子網(wǎng)格在域內(nèi)還是域外。在父網(wǎng)格內(nèi)布置m個(gè)臨時(shí)點(diǎn),這些臨時(shí)點(diǎn)分布于父網(wǎng)格內(nèi)的邊界單元上,那么可采用如下公式判斷點(diǎn)x的位置:

        (1)

        式中:yi和ni為臨時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和外法向量。

        如果K>0,可認(rèn)為x在域外,否則,可認(rèn)為x在域內(nèi)。

        應(yīng)用式(1),在子網(wǎng)格中布置N個(gè)點(diǎn)(見(jiàn)圖5),于是可采用下式來(lái)判斷網(wǎng)格的位置。

        (2)

        式中:xj為網(wǎng)格中的N個(gè)點(diǎn)。

        圖5 子網(wǎng)格位置Fig.5 Sub-grid position

        1.2 背景網(wǎng)格積分法

        考慮如下二維問(wèn)題中的域積分:

        (3)

        式中:Ω為積分域;f(y)為被積函數(shù);y{y1,y2}為二維空間中的一點(diǎn)。

        采用背景網(wǎng)格積分時(shí),邊界網(wǎng)格往往有一部分在域外,因此可定義如下新的方程:

        (4)

        式(3)便可采用背景網(wǎng)格積分近似為:

        (5)

        式中:Ck為第k個(gè)葉子網(wǎng)格。

        式(5)可采用高斯積分法計(jì)算。

        2 邊界元法求解包含體力的彈性力學(xué)問(wèn)題

        二維彈性力學(xué)問(wèn)題的控制方程為如下幾個(gè)方程:

        σij,j+bi=0

        (6)

        (7)

        σij=Cijklεkl

        (8)

        式中:σij為應(yīng)力張量分量;bi為體力分量;εij為應(yīng)變張量分量;ui為位移分量;ui,j為位移分量的導(dǎo)數(shù)。

        i,j,k,l均為1到2,且:

        Cijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)

        (9)

        式中:μ為剪切模量;λ=2vμ/(1-2v)為拉梅常數(shù),v是泊松比。于是可以得到如下求解彈性力學(xué)問(wèn)題的正則化積分方程:

        (10)

        式中:x和y分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn);u和t分別位移和面力張量;U(x,y)和T(x,y)為基本解,對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題,有:

        (11)

        (1-2v)(rkni-rink)}

        (12)

        式中:r(x,y)為x和y之間的距離;n為邊界上單位外法向量。

        于是式(10)中的域積分可以寫為:

        (13)

        其中:

        (14)

        3 邊界元法在重力壩中的應(yīng)用

        本節(jié)給出了兩個(gè)數(shù)值算例,驗(yàn)證了本文提出的方法的可行性和計(jì)算精度,并將該方法應(yīng)用于重力壩的靜力分析中,計(jì)算結(jié)果與有限元法進(jìn)行了對(duì)比。

        3.1 方法精度驗(yàn)證

        該數(shù)值算例是一開(kāi)孔的方板(圖6),其尺寸見(jiàn)圖,采用無(wú)量綱單位,其體力為:

        b1=ex2sinx1+ex2cosx1-

        ex1sinx2-ex1cosx2

        (15)

        b2=ex1sinx2+ex2sinx1-

        ex1cosx2-ex2cosx1

        (16)

        其中位移解析解為:

        (17)

        圖6 圓孔方板Fig.6 Square plate with round hole

        設(shè)該問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題,泊松比v=0.25,彈性模量E=1.0。外邊界法向方向位移已知,切向方向和內(nèi)邊界面力已知,在邊界上總共布置400個(gè)單元。圖6和圖7為以幾何體中心為原點(diǎn)的極坐標(biāo)下圓曲線r=1.5上的點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果,橫坐標(biāo)為計(jì)算點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)組成的向量相對(duì)x軸的角度。從圖中可以發(fā)現(xiàn),計(jì)算結(jié)果與解析解吻合較好,具有較高的計(jì)算精度。

        圖7 圓孔方板的位移計(jì)算結(jié)果Fig.7 The displacement calculation results of Fquare plate with round hole

        圖8 圓孔方板的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果Fig.8 Stress calculation results of round hole square plate

        3.2 重力壩計(jì)算

        該算例考慮如圖9所示的重力壩,其具體尺寸見(jiàn)圖,單位為m,泊松比為v=0.2,彈性模量E=3.0 萬(wàn)MPa,大壩單位重量為25×103N/m3,左邊水位高45 m,右邊水位高13 m,水的單位重量為9.8×103N/m3,大壩底部完全約束。

        圖9 重力壩模型(單位:m)Fig.9 Gravity dam model

        該問(wèn)題可采用平面應(yīng)變問(wèn)題求解。由于缺乏解析解,本文與有限元軟件Abaqus的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖10和圖11為直線x1=2.5上的位移u2應(yīng)力σ2的計(jì)算結(jié)果,從圖中可以看出,位移計(jì)算結(jié)果與有限元非常接近,應(yīng)力計(jì)算結(jié)果本文方法只需要少量的邊界單元便可得到較好的結(jié)果,而有限元法需要大量單元才能得到較好結(jié)果。

        圖10 重力壩位移計(jì)算結(jié)果Fig.10 The displacement calculation results of gravity dam model

        圖11 重力壩應(yīng)力計(jì)算結(jié)果Fig.11 Stress calculation results of gravity dam model

        4 結(jié) 語(yǔ)

        本文提出了一種邊界元法中新的計(jì)算域積分的方法,稱為自適應(yīng)背景網(wǎng)格積分法。該方法只需要對(duì)邊界進(jìn)行單元離散,通過(guò)單元構(gòu)造積分背景網(wǎng)格。在構(gòu)造過(guò)程中需要引入樹(shù)結(jié)構(gòu),對(duì)于二維問(wèn)題為四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)。本文將該方法應(yīng)用于二維力學(xué)分析中,數(shù)值結(jié)果與解析解吻合較好。最后應(yīng)用該方法對(duì)重力壩進(jìn)行了仿真分析,并與有限元方法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明,本文的方法計(jì)算精度較高,采用較少的單元便可以獲得較高的精度。

        該方法的計(jì)算復(fù)雜度為O(NM),其中N為計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)量,M為背景網(wǎng)格數(shù)量,因此對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題計(jì)算量較大。為了克服這一問(wèn)題,可采用快速算法,例如快速多極算法進(jìn)行加速,該內(nèi)容正在研究過(guò)程中,成果將在后續(xù)工作中報(bào)道。

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