郭鵬飛周順華 楊龍才 肖軍華

(同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201804)

考慮橫向慣性效應(yīng)的非飽和土中單樁的豎向動(dòng)力響應(yīng)1)

郭鵬飛2)周順華 楊龍才 肖軍華

(同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201804)

基于非飽和土的動(dòng)力控制方程，考慮橫向慣性效應(yīng),建立了三相非飽和介質(zhì)中嵌巖樁的豎向動(dòng)力響應(yīng)連續(xù)介質(zhì)模型，對(duì)樁側(cè)非飽和土的動(dòng)力控制方程進(jìn)行Laplace變換，在頻域內(nèi)，通過引入勢(shì)函數(shù)、算子分解等手段對(duì)控制方程進(jìn)行解析，得到了樁側(cè)土體剪應(yīng)力及豎向振動(dòng)位移的表達(dá)式.結(jié)合樁基的豎向振動(dòng)方程及樁–土接觸面的連續(xù)性條件，使樁土耦合振動(dòng)系統(tǒng)得以解答，最終在頻域內(nèi)得到了樁頂復(fù)剛度、導(dǎo)納、樁–土系統(tǒng)振動(dòng)位移及應(yīng)力的解析解，借助Laplace逆變換得到了半正弦激勵(lì)載荷下樁頂?shù)乃俣葧r(shí)程曲線.最后，通過算例分析驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，分析了橫向慣性、泊松比、飽和度、長徑比、樁土模量比等因素對(duì)樁基動(dòng)力響應(yīng)的影響.結(jié)果表明：(1)單樁動(dòng)剛度、阻尼、導(dǎo)納等變量隨頻率變化發(fā)生周期性振蕩，在樁基各階固有頻率處發(fā)生共振；(2)泊松比、飽和度、長徑比、樁土模量比等因素對(duì)樁基的動(dòng)力響應(yīng)有較大影響，且頻率越大，影響越明顯；(3)泊松比越大，單樁動(dòng)剛度、阻尼、導(dǎo)納的波動(dòng)幅值及對(duì)應(yīng)的頻率越小，樁頂時(shí)程曲線中的樁底反射信號(hào)越弱；(4)飽和度越大，對(duì)應(yīng)各動(dòng)力響應(yīng)的波動(dòng)幅值越大，且樁底反射信號(hào)的波峰越大.

非飽和土，算子分解，橫向慣性，樁基動(dòng)力響應(yīng)

引言

作為常見的地基結(jié)構(gòu)，樁基具有承載力大、穩(wěn)定性好、沉降量小、工程適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，在大跨橋梁、動(dòng)力廠房、風(fēng)力發(fā)電、高層建筑等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.樁基在使用期間，除靜力載荷外，樁基往往還要承受上部結(jié)構(gòu)帶來的交通、風(fēng)、海浪、重型吊車等動(dòng)力載荷作用[1].對(duì)于靜載作用下的樁基，研究多關(guān)注于樁基的承載及沉降特性，成果較多且理論完備.而對(duì)于動(dòng)力載荷下的樁基，仍有較多問題亟待解決，如抗震設(shè)計(jì)中樁基的動(dòng)剛度、動(dòng)阻尼取值，動(dòng)力廠房及大跨度橋梁引起的周邊環(huán)境振動(dòng)，樁基的完整性檢測(cè)及長期沉降計(jì)算等問題.樁基的振動(dòng)理論即求解動(dòng)力載荷作用下樁基的動(dòng)力響應(yīng)，包括樁基的剛度、阻尼、位移幅頻及導(dǎo)納等，其核心是樁基與樁周土的動(dòng)力相互作用，是解決樁基動(dòng)力問題的基礎(chǔ)[2].

對(duì)此，許多學(xué)者對(duì)單相彈性介質(zhì)或飽和兩相土中樁基的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究.Berger[3]用ALUSH有限元程序進(jìn)行了地震作用下的樁–土相互作用數(shù)值分析，對(duì)樁頂振動(dòng)位移進(jìn)行了分析.Hu等[4-5]建立了樁周介質(zhì)的黏彈性流體多孔介質(zhì)模型，模型考慮為軸對(duì)稱問題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架內(nèi)構(gòu)建了飽和土中樁–土的耦合系統(tǒng)控制方程，在空間域內(nèi)采用DQM方法對(duì)控制方程進(jìn)行離散，在時(shí)域內(nèi)得到了樁及樁周介質(zhì)振動(dòng)的數(shù)值解.王奎華等[6]基于連續(xù)介質(zhì)理論，將樁周土視為飽和兩相介質(zhì)，構(gòu)建了單樁豎向振動(dòng)的虛土樁模型，通過Laplace變換對(duì)勢(shì)函數(shù)進(jìn)行求解，得到了有關(guān)樁基振動(dòng)的解析解.

在數(shù)值解方面，常用方法有有限元、邊界元及兩者的耦合等.Blaney[7]采用一致邊界矩陣的有限元公式代表自由場(chǎng)，利用軸對(duì)稱有限元對(duì)樁的振動(dòng)特性進(jìn)行了三維有限元分析，Sen等[8-9]采用邊界元法(BM)，將樁體劃分為許多圓柱形邊界元，得到了群樁豎直振動(dòng)的位移場(chǎng)，對(duì)非均質(zhì)土中群樁基礎(chǔ)的橫向和縱向動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析.Mamoon等[10]則采用有限元、邊界元耦合算法，計(jì)算了單相半空間彈性介質(zhì)中單樁、群樁的豎向動(dòng)力阻抗.有限元及邊界元方法在處理復(fù)雜邊界問題方面具有優(yōu)勢(shì)，但其屬于數(shù)值解或半解析解，需要較大的計(jì)算量和較長的計(jì)算時(shí)間，且計(jì)算誤差較大.

在解析解方面，對(duì)半空間介質(zhì)中樁基的豎向振動(dòng)，可歸結(jié)為軸對(duì)稱問題，即將半空間介質(zhì)沿徑向進(jìn)行離散，通過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化及邊界條件處理，可以獲得較為完整的解析解.Novak[11]將土視為線性黏彈性體，考慮樁土界面的應(yīng)力、位移連續(xù)，首先運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法，建立了彈性樁–土作用的二維模型，計(jì)算了單樁的豎向動(dòng)力響應(yīng)并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.隨后，Nogami等[12-13]從三維波動(dòng)方程出發(fā)，通過構(gòu)造勢(shì)函數(shù)，獲得了自由場(chǎng)水平動(dòng)力阻抗，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合邊界條件對(duì)樁的水平振動(dòng)方程進(jìn)行了求解.李強(qiáng)等[14-16]將Novak的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法拓展到飽和土領(lǐng)域，引入Biot飽和土的動(dòng)力方程，樁周視為飽和土，樁假定為一維Bernoulli彈性桿，通過邊界條件的處理求得了飽和土層的豎向動(dòng)力阻抗，并得到了單樁豎向動(dòng)力響應(yīng)的解析解.此外,吳文兵等[17-18]在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展了相應(yīng)的虛土樁模型，分析了變截面樁的豎向動(dòng)力響應(yīng)，胡昌斌等[19-20]采用該方法對(duì)樁基的扭轉(zhuǎn)問題進(jìn)行了研究，陸建飛[21]基于Muki等[22]提出的虛土樁法，求解了飽和地基中單樁的水平動(dòng)力響應(yīng).

通過上述分析，早期的研究一般將樁周土假定為單相的彈性連續(xù)介質(zhì)或飽和的兩相多孔介質(zhì).但由于非飽和土中樁基的動(dòng)力響應(yīng)問題的復(fù)雜性，有關(guān)研究成果尚不多見.而非飽和土在地球上分布廣泛，且性質(zhì)與飽和土存在差異，因此有關(guān)非飽和土的研究得到了高度重視.目前考慮各相相互運(yùn)動(dòng)與作用的三相非飽和土的動(dòng)力控制方程已經(jīng)建立[23]，文獻(xiàn)[24]對(duì)非飽和土中樁基的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了初步研究，但其忽略了振動(dòng)中樁基的徑向振動(dòng)位移，與實(shí)際情況存在偏差.本文結(jié)合非飽和土的動(dòng)力控制方程，將樁周介質(zhì)視為非飽和土，樁視為Rayleigh-Love桿，建立相應(yīng)的連續(xù)介質(zhì)模型，通過三角函數(shù)和Bessel函數(shù)對(duì)非飽和土的控制方程進(jìn)行離散，結(jié)合樁土界面的連續(xù)性條件，得到樁土系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)解.

1 樁土相互作用的連續(xù)介質(zhì)模型

如圖1所示，非飽和土中的樁頂作用有激勵(lì)載荷F(t)，樁長為H，樁基半徑r0，樁周土為彈性均勻的三相非飽和介質(zhì)，土層表面自由，正應(yīng)力和剪應(yīng)力均為零，土層底部為基巖剛性支撐，樁土緊密接觸，樁與樁側(cè)土應(yīng)力與位移連續(xù)，樁土變形為小變形.

圖1 樁–土相互作用模型Fig.1 The pile-soil model

傳統(tǒng)的樁基縱向振動(dòng)理論將樁視為一維的彈性桿，即Bernoulli桿，不考慮樁身材料的側(cè)向振動(dòng)，這與實(shí)際情況存在明顯偏差.若將樁視為嚴(yán)格的三維柱體則又太過復(fù)雜，Rayleigh和Love從能量原理出發(fā)，對(duì)三維桿進(jìn)行簡(jiǎn)化修正，得到了較為實(shí)用的Rayleigh-Love理論[25-26]，根據(jù)此理論,樁的豎向振動(dòng)方程為

其中，Ep為樁身的彈性模量，ρp為樁身材料密度，υp為樁身材料的泊松比，f(z)為樁側(cè)阻力,wp為樁身豎向振動(dòng)位移.

地表透水透氣、正應(yīng)力為零

其中，下標(biāo)r代表徑向，z代表豎向，τzr,σz則分別為樁側(cè)土體的剪應(yīng)力和正應(yīng)力，e,ε,ξ分別代表土骨架、氣相、液相的體應(yīng)變，pl為樁側(cè)孔隙液壓力，pg為孔隙氣壓力.

剛性基底底部豎向位移為零

樁土完全接觸，無相對(duì)滑移脫離且邊界不透水

接觸面土體剪應(yīng)力與樁身摩阻力相等

樁頂?shù)倪吔?/p>

樁端豎向振動(dòng)位移為零

式中，ui(i=r,z)為固相位移，wi,vi(i=r,z)分別為液相、氣相與土骨架間的相對(duì)位移.

2 非飽和土的動(dòng)力控制方程求解

引入徐明江[23]建立的非飽和土動(dòng)力控制方程，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，結(jié)合空間平均化方法，采用非飽和土的水土特征曲線V-G模型推導(dǎo)了非飽和土的實(shí)用波動(dòng)方程.該方程基于Mualem理論考慮孔隙流體的滲透系數(shù).引入方程并將其轉(zhuǎn)化為u,v,w的矢量形式有

滲流連續(xù)性方程為

方程中ρ為非飽和多孔介質(zhì)的平均密度

v為孔隙水與固體骨架的相對(duì)位移

w氣體與固體骨架間的相對(duì)位移

其余各變量及意義見附錄.

將矢量控制方程(10)展開為柱坐標(biāo)系下的形式，并將樁–土耦合作用模型考慮為軸對(duì)稱問題并進(jìn)行無量綱化，得到的控制方程為

其中,拉普拉斯算子為

固體骨架、液體及氣體的體應(yīng)變分別為

王星華等[24]曾采用直接對(duì)方程(12)進(jìn)行變換處理的方法對(duì)非飽和土的動(dòng)力控制方程進(jìn)行解析，這里將采用勢(shì)函數(shù)分解的方法進(jìn)行解析.首先引入相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，將固體骨架位移和液體、氣體與固體骨架的相對(duì)位移寫成勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式

式中，φs,ψs,φl,ψl,φg,ψg分別為固、液、氣三相的位移勢(shì)，且都是坐標(biāo)r,z與時(shí)間t的函數(shù)，將勢(shì)函數(shù)(15)代入方程(12)且對(duì)方程進(jìn)行Laplace變換后得到

將上述方程進(jìn)行無量綱化，并寫為矩陣的形式后有

若上述微分方程組(17a)有非零解，則需滿足方程組的系數(shù)行列式矩陣等于零的條件，則有

方程(18)中的各系數(shù)分別為

對(duì)于方程(18a)，先將方程分解為

由于R1(r),Z1(z)互不相關(guān)，則方程(21)左右兩側(cè)均等于一常數(shù).因此其可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)零階虛宗量Bessel函數(shù)(22a)，與一個(gè)二階常系數(shù)微分方程(22b)

其中，I0(cr)和K0(cr)分別為第一類和第二類零階虛宗量Bessel函數(shù)，E1,F1,G1,H1為待定系數(shù).

基于同樣的求解方法，則由方程 (20b)、方程(20c)可得

由徑向無限遠(yuǎn)處土體的位移、應(yīng)力及應(yīng)變?yōu)榱?以及零階第一類Bessel函數(shù)的性質(zhì)知E1,E2,E3,E4均等于零.

因此有

根據(jù)同樣的方法可以得到

將方程(24a)～方程(24c)代回方程組(17a)可得到關(guān)系式

將方程(24d)～方程(24f)代回方程組(17b)可得到關(guān)系式

根據(jù)方程(25)、方程(24)、方程(14)可以得到各相介質(zhì)的豎向和徑向位移表達(dá)式以及土體骨架正應(yīng)力、剪應(yīng)力的表達(dá)式

根據(jù)邊界條件方程(2)可知地表正應(yīng)力為零且K0(c11r),K0(c21r),K0(c31r)線性不相關(guān)，得到

為了進(jìn)一步對(duì)表達(dá)式 (26)進(jìn)行化簡(jiǎn)，將方程(26d)與方程(26f)代入樁–土邊界條件方程(6)可以得到

方程中的G11,G12,G13,G14均為待求變量，通過推導(dǎo)可以將G13,G14表達(dá)為

其中θ=H/r0為樁基的長徑比.

為了表述方便，令

則進(jìn)一步可以得到

至此，通過對(duì)非飽和土動(dòng)力控制方程的解析，得到了樁側(cè)各相介質(zhì)的振動(dòng)位移及應(yīng)力表達(dá)式(見式(32)～式(34)，表達(dá)式中仍有G11,G12兩個(gè)未知量尚未確定，下面將借助樁–土界面的連續(xù)性條件，通過對(duì)樁基豎向振動(dòng)方程的求解，最終確定各未知量的表達(dá)式并求得系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng).

3 樁–土耦合系統(tǒng)求解

將樁基視為Rayleigh-Love桿，對(duì)方程(1)進(jìn)行Laplace變換并通過無量綱化后得到

根據(jù)邊界條件(6)，將(32)代入上述二階常系數(shù)微分方程，得到樁基豎向振動(dòng)位移的解為

此時(shí)，樁基的橫向振動(dòng)位移為

根據(jù)樁土接觸面位置的位移連續(xù)性條件，將方程(33)、式(34)、式(36)、式(37)代入邊界條件(4)可以得到如下等式

此外將方程(36)、方程(37)代入樁頂與樁底的邊界條件方程(8)、方程(9)可以得到

令s=iω，則根據(jù)樁基的樁頂復(fù)剛度的定義有

Z′(ω)為無量綱復(fù)阻抗

樁頂無量綱復(fù)剛度為

式中，Kd代表樁基的復(fù)剛度，K為動(dòng)剛度的實(shí)部，反映樁基抵抗變形的能力，虛部C為樁基的阻尼，反映樁–土系統(tǒng)的能量耗散特性.

樁頂位移頻域響應(yīng)函數(shù)為

位移頻域響應(yīng)函數(shù)的相位差為

樁頂導(dǎo)納(速度頻域響應(yīng)函數(shù))為

此外，通過傅里葉逆變換可以得到樁基的單位脈沖時(shí)域響應(yīng)函數(shù)

當(dāng)在樁頂施加半正弦的脈沖激振力時(shí)，即樁頂載荷F(t)=Fmaxsin(πt/t0)，其中t∈(0,t0)，t0為載荷持續(xù)時(shí)間.通過傅里葉逆變換和卷積定律可以得到樁頂?shù)臒o量綱時(shí)域響應(yīng)函數(shù)

方程中的a0為無量綱頻率，a0=ωTp，Tp為波從樁頂傳播到樁底所用時(shí)間，為無量綱脈沖寬度因子，無量綱時(shí)間

本節(jié)求得的各物理量表達(dá)式均為無量綱化后的結(jié)果，實(shí)際應(yīng)用時(shí)只需通過相應(yīng)的轉(zhuǎn)化關(guān)系將無量綱量轉(zhuǎn)化為實(shí)際結(jié)果即可.

4 豎向振動(dòng)特性分析

樁基的豎向振動(dòng)特性主要包括動(dòng)剛度、阻尼及導(dǎo)納等[25-27]，上文已根據(jù)連續(xù)介質(zhì)模型得到了各動(dòng)力響應(yīng)的解析表達(dá)式.通過推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，樁基的動(dòng)力響應(yīng)與載荷特性、材料性質(zhì)及幾何尺寸等多種因素有關(guān)，例如飽和度Sr、樁土模量比Ep/μ、長徑比H/r0等因素都會(huì)對(duì)樁基的振動(dòng)特性產(chǎn)生較大影響[26]，本節(jié)結(jié)合文獻(xiàn)[24]，分別計(jì)算在考慮和不考慮橫向慣性效應(yīng)兩種情況下的樁基動(dòng)力響應(yīng)，分析各樁土參數(shù)對(duì)單樁動(dòng)力響應(yīng)的影響.

選用文獻(xiàn)[23]中給出的有關(guān)非飽和土的材料參數(shù)，樁身材料的物理力學(xué)參數(shù)按文獻(xiàn)[24]進(jìn)行選取，如表1所示.由于結(jié)果較多，本文僅對(duì)單樁的剛度、阻尼、導(dǎo)納及樁頂速度時(shí)程進(jìn)行分析.結(jié)果中的剛度、阻尼在樁基的抗震及動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中具有重要作用，而導(dǎo)納和速度時(shí)程則是樁基小應(yīng)變及樁身完整性檢測(cè)的理論基礎(chǔ).圖中的橫坐標(biāo)a0=ωr0/cp為載荷的無量綱頻率，其中代表樁身材料的等效振動(dòng)波速[28-29].

表1 樁及樁周土物理力學(xué)性質(zhì)Table 1 Parameters of pile and soil

首先分析樁身泊松比對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響并驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，作為對(duì)照，計(jì)算時(shí)取Sr=0.6,κ=1.0×106，H=20 m，其中不考慮橫向慣性效應(yīng)為文獻(xiàn)[24]的結(jié)果，圖2對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的無量綱化處理，從圖2可以發(fā)現(xiàn)，υp=0時(shí)，本文結(jié)果能完整地退化為不考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)的樁基振動(dòng)解，進(jìn)而驗(yàn)證了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性.圖2(a)～圖2(c)分別為樁基的無量綱動(dòng)剛度、阻尼及速度幅頻(導(dǎo)納)曲線，圖中阻尼由徑向輻射阻尼與各相介質(zhì)間相互運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的阻尼組成，可以發(fā)現(xiàn)，樁基各變量隨頻率變化發(fā)生周期性振蕩，在各固有頻率處發(fā)生共振.頻率較小時(shí)，樁基動(dòng)剛度近似等于靜剛度，動(dòng)阻尼近似為零，當(dāng)頻率增大時(shí)，動(dòng)剛度波動(dòng)幅度不斷增大，動(dòng)阻尼的波峰和波谷也不斷增大，而導(dǎo)納波動(dòng)幅度則基本不變.圖2(d)代表半正弦激勵(lì)載荷下樁頂?shù)乃俣葧r(shí)程曲線，計(jì)算時(shí)無量綱脈沖寬度因子取0.25，可以發(fā)現(xiàn)，載荷作用下，樁頂無量綱速度近似為1，一定間隔后樁頂收到樁底的反射信號(hào)，且隨著能量耗散，信號(hào)幅值不斷減小.

混凝土泊松比對(duì)樁基動(dòng)力響應(yīng)有明顯影響，圖2(a)～圖2(c)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)，隨頻率的增大，剛度、阻尼及導(dǎo)納的波動(dòng)幅度不斷減小，同時(shí)各幅值對(duì)應(yīng)的載荷頻率(自振頻率)也不斷減小，且泊松比越大，規(guī)律越明顯；圖2(c)中，隨頻率的增加，速度幅值不斷減小，即頻率越大，樁身振動(dòng)的能量耗散越大，考慮泊松比能更真實(shí)的反應(yīng)樁身振動(dòng)過程中的能量耗散.在時(shí)程曲線圖2(d)中，考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)的樁底反射值明顯小于不考慮橫向慣性效應(yīng)的反射值，且樁底反射對(duì)應(yīng)的時(shí)間也有所偏差，此外，考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)，樁底反射值出現(xiàn)了明顯的振蕩現(xiàn)象，且泊松比越大振蕩越明顯.

圖3為飽和度對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響，分析時(shí)Sr分別取0.3,0.9，υp=0.25，從圖3(a)～圖3(c)中可以發(fā)現(xiàn)，與不考慮橫向慣性效應(yīng)規(guī)律相似，考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)，飽和度對(duì)樁基系統(tǒng)的固有頻率影響不大，即飽和度發(fā)生變化時(shí)，樁基剛度、阻尼、導(dǎo)納達(dá)到波動(dòng)幅值時(shí)的頻率沒有變化，這主要是因?yàn)橄到y(tǒng)的固有振型主要由樁基的物理性質(zhì)決定，飽和度變化對(duì)系統(tǒng)的參振質(zhì)量影響不大，因此主頻變化不大.飽和度對(duì)各動(dòng)力響應(yīng)的振動(dòng)幅值有明顯影響，且頻率越大，飽和度對(duì)其影響程度也越大.圖3(d)為飽和度對(duì)樁頂速度時(shí)程的影響，可以發(fā)現(xiàn)，飽和度對(duì)樁頂速度幅值有明顯影響，飽和度越大，樁底反射峰值越小，飽和度對(duì)樁底反射波出現(xiàn)的時(shí)間沒有影響.

圖2 樁身泊松比對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響Fig.2 The e ff ect of pile Poisson ratio on dynamic response

圖2 樁身泊松比對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響(續(xù))Fig.2 The e ff ect of pile Poisson ratio on dynamic response(continued)

圖3 飽和度對(duì)單樁動(dòng)力響應(yīng)的影響Fig.3 The e ff ect of saturation on dynamic response

圖4為長徑比對(duì)樁基動(dòng)力響應(yīng)的影響.計(jì)算時(shí)Sr=0.6，保持樁基截面不變，θ分別取10,20，可以發(fā)現(xiàn)無論考慮橫向慣性與否，長徑比都是影響樁基動(dòng)力響應(yīng)的最主要因素，長徑比越大，剛度、阻尼及導(dǎo)納的震蕩幅值越小，但對(duì)應(yīng)的各階主頻卻逐漸減小.長徑比越大，樁基的剛度幅值越小，其主要原因是，本文的研究對(duì)象為嵌巖樁，樁基越短，基巖埋深越淺，則樁基的剛度越大；長徑比越大，阻尼的波動(dòng)幅度減小，但樁基的整體阻尼卻不斷增大，樁基的阻尼主要由樁側(cè)土提供，即樁側(cè)土越厚，樁基的阻尼越大.圖4(d)為樁頂速度時(shí)程曲線，可以發(fā)現(xiàn)，樁基越長，樁底反射越不明顯，長徑比差別越大，樁底反射幅值的差距越大，長徑比為60時(shí)，樁底第二次反射已非常微弱，即長徑比越大，能量在樁身傳播的能量耗散越大.

圖5為樁–土模量比對(duì)樁基動(dòng)力響應(yīng)的影響，計(jì)算時(shí)θ=20，Sr=0.6，保持樁身模量不變改變土的剪切模量，參照工程實(shí)際，模量比分別取1 000,500，可見，隨著模量比的增大，剛度、阻尼等的波動(dòng)幅值不斷增大，而波長(固有頻率)卻逐漸減小，模量比對(duì)各變量的波動(dòng)幅度有較大影響，但對(duì)波長影響較小.可見當(dāng)樁側(cè)土的模量較大時(shí)，有利于提高樁基的抗震性能.從圖5(d)中可以發(fā)現(xiàn)，模量比越大，能量在樁身傳播工程中耗散越多，輻射出去的能量越大，樁底反射越微弱.

圖4 長徑比對(duì)單樁動(dòng)力響應(yīng)的影響Fig.4 The e ff ect of pile length-diameter ratio on dynamic response

圖5 樁土模量比對(duì)單樁動(dòng)力響應(yīng)的影響Fig.5 The e ff ect of pile-soil modulus ratio on dynamic response

圖5 樁土模量比對(duì)單樁動(dòng)力響應(yīng)的影響(續(xù))Fig.5 The e ff ect of pile-soil modulus ratio on dynamic response(continued)

5 結(jié)論

本文將樁周介質(zhì)視為三相非飽和土，假定樁為Rayleigh-Love桿，考慮樁基的橫向慣性效應(yīng)，根據(jù)樁土接觸的連續(xù)性條件，建立了非飽和土中嵌巖樁豎向動(dòng)力響應(yīng)的理論求解模型.通過勢(shì)函數(shù)、算子分解等手段對(duì)模型進(jìn)行解析，得到了周期載荷作用下，單樁的動(dòng)剛度、阻尼、導(dǎo)納等解析表達(dá)式.借助Laplace逆變換得到了樁頂?shù)乃俣葧r(shí)程曲線.通過案例分析得到如下結(jié)論：

(1)單樁動(dòng)剛度、阻尼、導(dǎo)納等變量隨頻率發(fā)生周期性振蕩，在樁基各階固有頻率處發(fā)生共振.當(dāng)頻率較小時(shí)，動(dòng)剛度近似等于靜剛度，動(dòng)阻尼近似為零，當(dāng)載荷頻率增大時(shí)，動(dòng)剛度波動(dòng)幅度不斷增大，動(dòng)阻尼整體不斷增大，而導(dǎo)納的波動(dòng)幅度則基本穩(wěn)定.

(2)混凝土泊松比為零時(shí)，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[24]相吻合，驗(yàn)證了本文計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性；考慮樁基的橫向慣性效應(yīng)時(shí)，隨頻率的增大，剛度、阻尼及導(dǎo)納的波動(dòng)幅度不斷減小，各幅值的對(duì)應(yīng)頻率(自振頻率)也不斷減小，泊松比越大，規(guī)律越明顯；泊松比對(duì)速度時(shí)程曲線影響較大，泊松比越大，樁底反射越弱，波形的振蕩越明顯，反射波的對(duì)應(yīng)時(shí)間也會(huì)有所偏差.

(3)飽和度對(duì)樁基的動(dòng)力響應(yīng)幅值有明顯影響，且頻率越大，影響越明顯；飽和度對(duì)樁基的固有頻率影響較??；對(duì)樁頂?shù)乃俣葧r(shí)程影響較大，飽和度越小，速度時(shí)程的樁底反射越弱.

(4)與不考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)規(guī)律相似，長徑比和樁–土模量比對(duì)單樁的動(dòng)力響應(yīng)影響較大，尤其長徑比，不僅對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的波動(dòng)幅值產(chǎn)生明顯影響，當(dāng)長徑比改變時(shí)，系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率也會(huì)發(fā)生明顯變化.

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23 徐明江.非飽和土地基與基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)研究.[博士論文].廣州：華南理工大學(xué),2010(Xu Mingjiang.Investigation on dynamic response of unsaturated soils and foundation.[PhD Thesis]. Guangzhou:South China University of Technology,2010(in Chinese))

24 王星華,章敏.非飽和土半空間中單樁豎向振動(dòng)特性研究.巖土工程學(xué)報(bào),2013,35(7):1210-1220(Wang Xinghua,Zhang Min. Dynamical response of vertically loaded pile in half-space of unsaturated porous media.Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013,35(7):1210-1220(in Chinese))

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27 呂述暉,王奎華,張鵬.梁–樁–土豎向耦合振動(dòng)特性分析.力學(xué)學(xué)報(bào),2015,47(1):169-173(LShuhui,Wang kuihua,Zhang Peng. Vertical coupling virbration of beam-pile-soil system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(1):169-173(in Chinese))

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附錄

Sr和Sw0分別代表流體飽和度和束縛飽和度；γ為有效應(yīng)力系數(shù)，通常等于Sr，n為土體孔隙率，λ,μ分別為土骨架的拉梅常數(shù)，ηl和ηg分別代表流體和空氣的黏滯系數(shù)；krl和krg分別代表流體和空氣的滲透系數(shù)；κ為土的固有滲透系數(shù)，Ks,Kl,Kg,Kb分別是土顆粒、流體、空氣及土骨架的體積壓縮模量；α,m,d分別為擬合參數(shù)，符號(hào)s,l,g分別表示非飽和土體中的固、液、氣三相.

ANALYTICAL SOLUTION OF THE VERTICAL DYNAMIC RESPONSE OF ROCK-SOCKED PILE CONSIDERING TRANSVERSE INERTIAL EFFECT IN UNSATURATED SOIL1)

Guo Pengfei2)Zhou Shunhua Yang Longcai Xiao Junhua
(Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education,Tongji University,Shanghai201804,China)

Based on the dynamic governing equations of unsaturated soil,a continuous medium model regarding vertical dynamic response of rock-socked pile in three-phase unsaturated medium was established in this paper,taking the transverse inertial e ff ect into consideration.The Laplace transformation is then used to solve the dynamic governing equations. In frequency domain,potential function and operator decomposition methods are also used to resolve the governing equations,thus obtained the expressions of soil vertical vibration displacement and shear stress.To solve the soil-pile coupling system,the vertical vibration equation of pile foundation and the continuity conditions are both adopted.Eventually,complex sti ff ness and admittance of the pile butt,vertical vibration displacement and shear stress of the model are obtained in frequency domain.And the travel curve of vibration velocity under half sine excitation load has also been deductedwith the help of Laplace inverse transformation.The model is verifie through the comparison with the saturated models. Finally,a case study of dynamic response of a pile in unsaturated soil is presented.The influence of transverse inertial effect,Poisson’s ratio,saturation,pile length-diameter ratio and pile-soil modulus ratio on response of pile are investigated. The results show that:(1)Dynamic sti ff ness,damping and admittance oscillate with the frequency,and the pile resonance occur at the natural frequency of pile.(2)Dynamic response of the pile is sensitive to Poisson’s ratio,saturation,pile length-diameter ratio and pile-soil modulus,while the sensitivity with higher frequency.(3)Larger Poisson’s ratio causes smaller amplitude of dynamic sti ff ness,damping and admittance,as well as smaller reflectio signal at bottom of the pile in its speed history curve.(4)Larger saturation leads to larger amplitude of pile response and peak value of reflectio signal from the pile bottom.

unsaturated soil,operator decomposition,transverse inertial e ff ect,response of pile

TU45

A

10.6052/0459-1879-16-286

2016–10–17收稿，2017–01–03錄用,2017–01–04網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51478353,41472247).

2)郭鵬飛，博士研究生，主要研究方向：樁基動(dòng)力學(xué).E-mail：tjdxgpf@163.com

郭鵬飛，周順華，楊龍才，肖軍華.考慮橫向慣性效應(yīng)的非飽和土中單樁的豎向動(dòng)力響應(yīng).力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):344-358

Guo Pengfei,Zhou Shunhua,Yang Longcai,Xiao Junhua.Analytical solution of the vertical dynamic response of rock-socked pile considering transverse inertial e ff ect in unsaturated soil.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):344-358