何 超周順華 狄宏規(guī) 肖軍華

(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804)

飽和土-隧道動力響應的2.5維有限元-邊界元耦合模型1)

何 超2)周順華 狄宏規(guī) 肖軍華

(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804)

針對飽和土中異形隧道的三維動力響應問題，建立了2.5維有限元與邊界元耦合模型.將隧道結構視為彈性體，采用2.5維有限元建立隧道模型;將地基土視為飽和多孔介質，采用2.5維邊界元建立飽和土體模型.借助組合輔助問題基本解消除了邊界積分方程的奇異性.利用飽和土與隧道接觸面的位移、面力連續(xù)和完全透水或完全不透水邊界條件，實現2.5維有限元和邊界元模型的耦合求解.模型具有計算效率高、適用范圍廣的優(yōu)點.通過與完全透水和完全不透水邊界條件下軸對稱問題的半解析解以及單相介質的2.5維有限元與邊界元耦合模型對比，驗證了本文模型的正確性.最后利用該模型計算了飽和土體中類矩形隧道在移動載荷作用下的三維動力響應，分析了不同土體滲透性下位移及孔隙水壓力沿隧道軸向、環(huán)向和深度的分布規(guī)律.結果表明：(1)孔隙水壓力隨土體滲透性增大而顯著減小，位移受土體滲透性影響?。?2)位移及孔隙水壓力在隧道環(huán)向主要分布在距載荷作用點兩側約2 m的范圍內；(3)孔隙水壓力沿深度的衰減比土體位移快，且孔隙水壓力和軸向位移沿深度的分布受土體滲透性影響大.

飽和土，異形隧道，動力響應，有限元與邊界元耦合，Fourier變換

引言

隨著地鐵建設的快速發(fā)展，一方面，軟土地區(qū)(如長三角、珠三角等沿海地區(qū))地鐵隧道的長期沉降問題越發(fā)凸顯，影響線路運營和維修費用[1-4].其中地鐵運行引起的車載累積沉降占比大，而列車運行引起的地基動應力計算是預測車載累積沉降的基礎；另一方面，地鐵運行引起的環(huán)境振動問題日益嚴重，而環(huán)境振動問題的關鍵在于地鐵運行引起的自由場振動預測.而無論是地基動應力計算還是自由場振動預測均是土與隧道的動力相互作用問題.

對此，部分學者將地基考慮為單相介質進行求解.Mettrikine等[5]將隧道假定為歐拉梁，利用解析法探討了隧道及地表的振動響應.Forrest等[6]構建了三維的隧道與地基振動分析模型，即PiP模型.隨后，Forrest等[7]和Hussein等[8]又將PiP模型與浮置板軌道模型進行耦合求解分析.

在數值法上，Chua等[9]建立了二維有限元模型，分析地鐵運行引起地表建筑的動力響應.Gardien等[10]建立了三維有限元模型，考慮了振動產生與傳播的整個過程.而劉維寧等[11]、宮全美等[12]和錢春宇等[13]利用車輛-軌道-隧道-地層系統(tǒng)的三維有限元模型，分析地鐵運行引起的三維動力響應.而利用地鐵隧道及土層在隧道縱向上的一致性，謝偉平等[14]和Bian等[15]采用2.5維有限元法，研究了列車運行引起的隧道與地基振動.2.5維有限元法又稱波數有限元法，通過對三維計算域進行縱向坐標Fourier變換，可實現在波數域內對橫向二維區(qū)域進行計算，最后將波數域內求解的結果通過反變換得到三維空間中的解答.該法求解土與隧道動力相互作用問題的優(yōu)點在于僅需對隧道和土層進行二維離散，便可得到三維響應，較三維有限元計算效率高.

而考慮到有限元仍需對結構及土層進行離散，且需要采用人工邊界截斷無限域，存在一定的計算誤差.Sheng等[16]提出了2.5維有限元與邊界元耦合模型，用有限元模擬結構，用邊界元模擬土體，計算了地下隧道的振動響應.Franc?ois等[17]和Galv′?n等[18]又在此基礎上采用了層狀半空間問題的基本解和正則化的邊界積分方程，提高了計算精度和效率.Degrande等[19]則提出了周期性有限元與邊界元耦合模型，研究隧道和地基的動力相互作用問題. Gupta等[20]比較了PiP模型和周期性有限元與邊界元耦合模型，指出有限元與邊界元耦合模型能考慮異形斷面隧道.

然而，我國沿海經濟發(fā)達地區(qū)，如長江三角洲、珠江三角洲和渤海灣等均屬飽和土地基，飽和土地基在地鐵載荷作用下產生的動力響應與單相介質不同，采用飽和多孔介質理論進行研究更合理.對此，Senjuntichai等[21]得到了飽和土中圓柱孔洞內表面作用軸對稱載荷和流體壓力下的瞬時響應解答；劉干斌等[22]研究了黏彈性飽和土中隧道受軸對稱載荷和流體壓力作用下的響應問題；黃曉吉等[23]和Hasheminejad等[24]分別研究了飽和土與襯砌完全透水和完全不透水條件下環(huán)向移動載荷作用下系統(tǒng)的響應，但上述模型均針對軸對稱問題.

為獲得土與隧道系統(tǒng)的三維動力響應，曾晨等[25-26]在PiP模型基礎上結合Biot理論，研究了簡諧載荷及移動載荷作用下飽和土和隧道的三維動力響應；狄宏規(guī)等[27]用雙層圓柱殼模擬隧道和壁后注漿層，分析了注漿層對動應力的影響.鄒炎[28]用三維有限元方法分析了飽和土中箱型隧道的地震反應；而高廣運等[29]和袁宗浩等[30]則采用2.5維有限元模型，研究了列車載荷作用下隧道和飽和土地基的三維動力響應.

由以上文獻分析可知，研究飽和土與隧道的三維動力相互作用問題的方法有修正的PiP模型[25-27[28-30]，前者屬于半解析法，計算效率高，然而受假設限制，僅能分析圓形隧道的振動響應.而有限單元法在計算土與隧道的三維動力相互作用問題上計算耗時長，且會因截斷無限域而導致一定的計算誤差.

對此，本文基于彈性理論和Biot理論，建立了2.5維有限元與邊界元耦合模型.采用2.5維有限元法建立隧道模型，采用2.5維邊界元法建立飽和土體模型.利用飽和土與隧道接觸面的邊界條件，實現2.5維有限元和2.5維邊界元的耦合求解.模型能夠考慮隧道幾何斷面和載荷的非對稱性，且只需對隧道結構進行二維離散，計算效率高.通過與現有計算模型對比，驗證了本文模型的正確性.最后利用該模型，對飽和土體中的類矩形隧道在移動載荷作用下的三維動力響應問題進行了分析.

1 隧道的2.5維有限元模型

將隧道視為彈性體，對于作用在隧道結構Ωt上的虛位移δt，應用虛功原理得

式中，頂標“∧”表示變量位于頻域內；St為Ωt對應的邊界；和為隧道的位移張量和應力張量；為隧道所受外載荷；為虛應變；ω為圓頻率；和iz為基向量；λt,μt為隧道的Lam′e常數；ρt為隧道密度.

彈性體的物理方程和幾何方程為

式中，D為彈性矩陣，B1和B2為應變矩陣

假設隧道結構沿z向(隧道軸線方向)無限長，且橫斷面At保持一致.對位移t(x,ω)在xy平面內進行離散，得

式中，Nt(x⊥)為形函數;為坐標在xy平面的分量.用相同的形函數表示虛位移

將式(7)代入式(6)，并對式(6)在縱向z向進行Fourier變換

式中，頂標“～”表示變量位于頻率-波數域；kz表示沿z方向的波數.

最終獲得離散后的2.5維有限元方程

2 飽和土體的2.5維邊界元模型

2.1 飽和土體的2.5維邊界積分方程

根據Biot理論[31-32]，飽和多孔介質的物理方程為

式中，σij為土體總應力；εij為土體固相應變；e=ui,i；ζ=-wi,i為單位體積的流體體積變化量；w為孔隙流體相對固體骨架的平均位移；λ,μ為土骨架的Lam′e常數；α,M為Biot常數.

式中，ρg=ρb-β4;αg=α-β4;β1=M/(mω2-iωb);β2=1/(β1ω2);β3=ρfω2-αM/β1;β4=ρfω2β1/M；Fgi=Fi-β4fi;m=a∞ρf/φ;b=η/k反應土體黏性耦合的參數，η為流體的動力黏滯系數，k為流體的滲透系數；a∞為曲折度；ρb=(1-n)ρs+nρf，ρb為飽和土體密度，ρs為土骨架密度,ρf為孔隙流體密度；n為孔隙率；Fi和fi為飽和土以及孔隙流體的體力項.

考慮飽和土體任意2個狀態(tài)(狀態(tài)1和狀態(tài)2)，根據互易定理可得

式中，Ωs為飽和土區(qū)域，Ss為Ωs對應的邊界；為邊界上的面力；為孔隙流體相對于土骨架的位移沿邊界外法線方向的分量，nj為邊界外法線的方向余弦；

假設狀態(tài)1為真實狀態(tài)，并忽略體力，狀態(tài)2的位移、孔隙水壓力和應力是由飽和全空間內作用一單位點載荷或者單位流相點源引起的.則當在點x處沿i軸(i=1,2,3，對應于x,y,z方向)作用單位點載荷時的飽和多孔介質Somigliana等式為

式中，ξ=ξ1ix+ξ2iy+ξ3iz，為場點坐標.

同理，當單位流相點源作用于點x處時，飽和多孔介質的Somigliana等式為

為推導方便，定義廣義位移、廣義面力向量和廣義格林函數

根據文獻[33]的方法，當載荷的作用點向邊界無限趨近時，可得到飽和多孔介質在頻域內的邊界積分方程

式中，積分自由項cij(x)取決于邊界的幾何形狀，對于光滑邊界[33]：cij=0.5δij.

假設飽和土體在z向上無限長且橫斷面保持不變.將dSs寫成dΓsdz，其中Γs為飽和土在xy平面內的邊界，對空間坐標z進行式(8)所示的Fourier變換，最終可獲得飽和多孔介質的2.5維邊界積分方程

2.2 移動載荷問題的2.5維邊界積分方程

當載荷以頻率ω0、恒定速度v沿z軸移動時，引起的土體響應可表達為

對式 (25)進行時間t和空間坐標z的雙重Fourier變換，可得

式中

將式(27)代入式(24)，可得移動載荷作用下飽和土體的2.5維邊界積分方程

2.5 維有限元方程式(9)適用于移動載荷問題，只需將方程中的ω改為ω0+kzv即可.

2.3 邊界積分方程的奇異性處理

當場點ξ⊥趨于源點x⊥時，式(24)中的格林函數存在奇異性.對此，基于動態(tài)和靜態(tài)格林函數在源點處的奇異性同階，可借助組合輔助問題基本解來消除此奇異性.

輔助問題包括彈性靜態(tài)Kelvin解與Laplace方程解，輔助問題與原問題具有相同的邊界，但外法線方向相反.假設輔助問題的位移為剛體平動位移，則輔助問題在邊界上的應力為0，故對應的邊界積分方程為

由于式(32)中動態(tài)和靜態(tài)格林函數在源點處的奇異性同階，因此上述積分中格林函數的奇異性被消除.

2.4 2.5維邊界元離散

將邊界Γs離散為Ne個1維等參單元，每個單元有Nn個節(jié)點.并保持在飽和土與隧道接觸面上，兩者的結點劃分保持一致，則單元位移和面力可表示為

將式(33)代入式(32)便可得到離散后的2.5維飽和土體邊界元方程

式中，U(-kz,ω)和T(-kz,ω)為邊界單元系統(tǒng)矩陣，由式(32)中的積分計算確定，I為式(32)中的積分自由項.

3 2.5維有限元與邊界元耦合模型

設有限元區(qū)域和邊界元區(qū)域公共邊界上的節(jié)點位移、面力、孔隙水壓力、孔隙流體相對土骨架的位移沿邊界外法線方向的分量和節(jié)點力分別用uI，tI，pbeI，wnbeI和FI表示.有限元區(qū)域其余節(jié)點的位移和節(jié)點力用ufeR和FfeR表示.邊界元區(qū)域其余節(jié)點的廣義位移和面力用ubeR和tbeR表示.

為研究飽和土與隧道的動力相互作用，對飽和土與隧道接觸面引入如下邊界條件：

（1）飽和土與隧道接觸面位移、面力連續(xù)；

（2）飽和土與隧道接觸面的水力條件考慮完全透水和完全不透水兩種情況，完全透水條件下，隧道與飽和土接觸面處的孔隙水壓力為零，即：pbeI=0；完全不透水條件下，則孔隙流體相對土骨架的位移沿邊界外法線方向的分量為零[36]，即wnbeI=0.

然后對有限元節(jié)點進行重新排列，使得2.5維有限元方程式(9)寫成分塊形式

同理，對邊界元自由度進行重新排列，使得2.5維邊界元方程式(34)寫成分塊形式

式中，對于完全透水條件：ubeI=wnbeI；對于完全不透水條件：ubeI=pbeI.

有限元區(qū)域和邊界元區(qū)域在公共界面上的相互作用力為面力.在邊界元中，該面力被表達為節(jié)點面力的形式，而在有限元中，該面力被表達為等效節(jié)點力的形式.對此，利用虛功原理，可得有限元中的等效節(jié)點力與邊界元中的節(jié)點面力之間的關系

結合式(35)～式(37)以及飽和土與隧道接觸面的邊界條件，可得2.5維有限元與邊界元耦合系統(tǒng)方程

一旦利用式(38)求出邊界上的位移和面力，則土體中的響應可利用離散后的式(22)進行求解.采用快速Fourier逆變換，可將頻域-空間域內的解轉換到時間-空間域中.

4 模型驗證

4.1 與完全透水條件下的半解析解對比

為了驗證本文計算模型的正確性，采用本文模型計算了文獻 [23]軸對稱法向載荷移動速度v=0.1v0(v0=(μ/ρb)0.5)和v=0.9v0時，r=1.5處的土體位移和孔隙水壓力.其中飽和土與隧道的接觸面完全透水.結果如圖1和圖2所示.圖中z′=z-vt.由圖可知，兩者的計算結果吻合很好，驗證了本文方法的正確性.

圖1 v=0.1v0時本文計算模型與完全透水條件下的半解析解[23]的結果對比Fig.1 Comparison between presented model with the semi-analytical solution[23]of permeable interface forv=0.1v0

圖2 v=0.9v0時本文計算模型與完全透水條件下的半解析解[23]的結果對比Fig.2 Comparison between presented model with the semi-analytical solution[23]of permeable interface forv=0.9v0

4.2 與完全不透水條件下的半解析解對比

為了驗證隧道和飽和土體接觸面完全不透水條件下本文計算模型的正確性，采用本文模型計算了文獻[24]中軸對稱法向載荷移動速度v=10 m/s、土體為軟土(soft soil)時，r=R2和r=1.5R2處的徑向位移ur.R2為隧道外徑.結果如圖3所示，兩者的計算結果吻合很好，驗證了本文方法的正確性.

圖3 本文計算模型與完全不透水條件下的半解析解[24]的結果對比Fig.3 Comparison between present model with the semi-analytical solution[24]of impermeable interface

4.3 與單相介質的2.5維耦合模型對比

將土體參數ρf,α,M,m,b取10-4，將飽和土體退化為單相介質土體.對此，采用本文模型計算了文獻[16]中隧道底部作用頻率f=200 Hz的豎向單位點載荷時，隧底的豎向位移.結果如圖4所示，兩個模型結果吻合很好，驗證了本文方法的正確性.

圖4 本文計算模型與單相介質的2.5維有限元與邊界元耦合模型[16]的結果對比Fig.4 Comparison between presented model with the 2.5D coupled FE-BE model[16]for single-phase media

5 算例和分析

相對于圓形隧道，類矩形隧道擁有更高的空間利用率，更適用于城市核心區(qū)和舊城區(qū)的地鐵建設. 2015年，寧波地鐵3號線類矩形盾構隧道工程正式開始，標志著我國類矩形盾構隧道邁向了一個新階段.本文以寧波地鐵3號線類矩形隧道工程為背景，采用本文模型計算飽和土地基中類矩形隧道在移動載荷作用下的動力響應.

如圖5所示，隧道斷面由四段圓弧組成，上下兩段圓弧外徑R1=15.45 m，內徑R2=15 m，左右兩段圓弧外徑R3=3.2 m，內徑R4=2.75 m，襯砌厚0.45 m，中隔柱厚0.35 m.隧道共劃分為84個四邊形單元.隧道及飽和土參數取值如表1和表2所示,其中隧道和土體的阻尼比取為0.05.為了研究土體滲透性對動力響應的影響，b取1010～106N·s/m4，根據定義可知，b值越小，土體滲透性越大.載荷移動速度為v=0.1v0.

圖5 類矩形盾構斷面形式及網格劃分Fig.5 Section form and element mesh of the quasi-rectangular tunnel

表1 隧道參數Table 1 Parameters of tunnel

表2 飽和土體參數Table 2 Parameters of saturated soil

圖6給出了b取不同值時，載荷作用位置下方隧底處的位移及孔隙水壓力沿軸向的分布，由圖6(a)和6(b)可知，土體滲透性對豎向位移uy和軸向位移uz影響小.隨著b值的減小，豎向和軸向位移略有增大；豎向位移最大值位于載荷作用平面z′=0附近，呈對稱分布，而軸向位移在載荷作用平面z′=0幅值為0，呈反對稱分布.而由圖6(c)可知，土體滲透性對孔隙水壓力影響很大，隨著b值由1010N·s/m4減小至106N·s/m4，孔隙水壓力迅速減小，且孔隙水壓力最大值的位置也向載荷前方移動.

圖6 載荷作用位置正下方的隧道底部處位移及孔隙水壓力沿軸向分布Fig.6 Soil displacement and pore pressure at tunnel invert where loads acting varied withz′

圖7 不同b值時位移及孔隙水壓力沿隧道環(huán)向分布Fig.7 Soil displacement and pore pressure varied with tunnel ring for dif f erent values ofb

圖7給出了位移及孔隙水壓力沿隧道環(huán)向的分布情況，由圖可知，位移及孔隙水壓力在載荷作用點兩側約2 m范圍(節(jié)點15～節(jié)點28)內較大，最大值位于載荷作用點處，豎向位移和孔隙水壓力僅在載荷作用點附近出現峰值，而軸向位移除載荷作用點附近的峰值外，在節(jié)點13和節(jié)點30附近還產生了峰值，但量值較小.不同b值下，位移及孔隙水壓力沿隧道環(huán)向分布規(guī)律基本一致.

圖8 不同b值時位移及孔隙水壓力沿深度分布Fig.8 Soil displacement and pore pressure varied beneath the tunnel invert for dif f erent values ofb

為了分析土體不同滲透性條件下，位移及孔隙水壓力隨深度的衰減情況，圖8給出了載荷作用位置正下方到隧道底部不同距離的點的位移和孔隙水壓力分布情況.由圖可知，隨著距離的增加，位移和孔隙水壓力逐漸衰減，豎向位移和軸向位移在距離隧底3 m左右范圍內衰減了80%以上，豎向位移衰減規(guī)律基本不受土體滲透性的影響.對于軸向位移而已，當b值減小至1×106N·s/m4時，其隨深度的衰減加快，說明土體滲透性對軸向位移的衰減影響較大；而孔隙水壓力隨深度的衰減更快，在2 m范圍內基本衰減完全，隨著b值的減小，相同位置處的孔隙水壓力幅值迅速減小.

6 結論

本文建立了2.5維有限元與邊界元耦合模型，用于分析飽和土中異形隧道的三維動力響應.模型計算效率高，能夠考慮隧道幾何斷面和載荷的非對稱性.通過與完全透水和完全不透水條件下軸對稱問題的半解析解以及單相介質的2.5維有限元與邊界元耦合模型對比，驗證了本文模型的正確性.

以寧波地鐵3號線類矩形隧道工程為背景，對飽和土體中類矩形隧道在移動載荷作用下的三維動力響應進行了計算，并根據結果分析了不同土體滲透性下位移及孔隙水壓力沿隧道軸向、環(huán)向和深度的分布規(guī)律，得到如下結論：

(1)孔隙水壓力隨土體滲透性增大而顯著減小，位移幅值受土體滲透性影響小.

(2)位移及孔隙水壓力沿隧道環(huán)向主要分布在載荷作用點兩側約2 m范圍內，受土體滲透性影響小.

(3)孔隙水壓力沿深度的衰減比土體位移快，且孔隙水壓力和軸向位移沿深度的分布受土體滲透性影響大.

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A 2.5-D COUPLED FE-BE MODEL FOR THE DYNAMIC INTERACTION BETWEEN TUNNEL AND SATURATED SOIL1)

He Chao2)Zhou Shunhua Di Honggui Xiao Junhua
(Key Laboratory of Road and Traf fic Engineering of the Ministry of Education,Tongji University,Shanghai201804,China)

This paper presents a 2.5-D coupled FE-BE model to simulate the three-dimensional dynamic interaction between saturated soils and tunnels with arbitrary sections.The tunnel is modeled using 2.5-D FEM and the ground is modeled using 2.5-D BEM for saturated porous media.The auxiliary problems are introduced to eliminate the Cauchy singularity of the 2.5-D boundary integral equation.The coupled FE-BE equations are obtained using the continuity conditions on the soil-tunnel interface.The presented model is appropriate for tunnels with arbitrary sections and high computational efficiency.The model is verifie through the comparison with the existing models.Finally,a case study of dynamic responses of a quasi-rectangular tunnel in saturated soil due to moving loads is presented.The ef f ects of soil permeability on displacements and pore pressure are investigated.The results show that：(1)The pore pressure decreases drastically with the increment of soil permeability,while displacements are not susceptible to soil permeability;(2)thepore pressure and displacements are mainly distributed in the vicinity of 2m around the loading point;(3)In the direction of gravity,the dissipation of the pore pressure beneath the tunnel is faster than that of displacements;the distributions along the depth to tunnel invert of pore pressure and axial displacement are evidently influence by the soil permeability.

saturated soil,special-section tunnel,dynamic response,coupled FE-BE,Fourier transformation

TU45

A doi：10.6052/0459-1879-16-176

2016-06-22收稿，2016-08-17錄用,2016-08-24網絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金資助項目(51478353).

2)何超，博士生，主要研究方向：軌道交通線路系統(tǒng)動力學.E-mail：1310756@#edu.cn

何超，周順華，狄宏規(guī)，肖軍華.飽和土-隧道動力響應的2.5維有限元-邊界元耦合模型.力學學報,2017,49(1)：126-136

He Chao,Zhou Shunhua,Di Honggui,Xiao Junhua.A 2.5D coupled FE-BE model for the dynamic interaction between tunnel and saturated soil.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：126-136