劉晨宇，劉 偉

(1. 重慶郵電大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，重慶 400065；2. 華北科技學(xué)院 安全經(jīng)濟(jì)管理研究所，北京 東燕郊 065201)

一般情況，煤礦的安全投資和安全投入并不能用函數(shù)表示出來，特別是新建煤礦，這時傳統(tǒng)理論用函數(shù)來表示煤礦的安全投資和安全投入，再用求極值、回歸或邊際等的辦法求得煤礦的最優(yōu)安全投資或安全投入的辦法不能使用[1-13]。本論文根據(jù)非線性規(guī)劃的基本概念和理論，運用非線性規(guī)劃問題求解特點、直接一維搜索優(yōu)化法和斐波那契法(Fibonacci)的基本思路[14,15]，來求解煤礦的最優(yōu)安全投資和安全投入，這樣可以確保煤礦在若干年內(nèi)就能尋找出本企業(yè)的最優(yōu)安全投資和安全投入。

1 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的最優(yōu)解

1.1 線性規(guī)劃的最優(yōu)解的特點

線性規(guī)劃的最優(yōu)解的特點如圖1(a)所示。設(shè)只有一個自變量x的線性規(guī)劃問題，f(x)是線性函數(shù)，求Maxf(x)，其中，x≤b，x≥a。從圖1(a)顯而易見，目標(biāo)函數(shù)的最大值在點b上必可達(dá)到。反之，目標(biāo)函數(shù)的最小值則可在點a上達(dá)到。點a和點b正是這個線性規(guī)劃問題的可行解域的頂點。這個例子驗證了線性規(guī)劃的重要定理：線性規(guī)劃問題如果有最優(yōu)解，則一定可在可行解域的某一頂點上達(dá)到。

1.2 非線性規(guī)劃的最優(yōu)解的特點

非線性規(guī)劃的最優(yōu)解的特點如圖1(b)所示。設(shè)只有一個自變量x的非線性規(guī)劃問題，f(x)是非線性函數(shù)，求Maxf(x)，其中，x≤b，x≥a。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)f(x)是只有一個自變量x的單峰函數(shù)，變量x的取值范圍為[a，b]。點a和點b是這個非線性規(guī)劃的可行解域的頂點，或稱為約束區(qū)域的邊界。與線性規(guī)劃的最優(yōu)解不同，此非線性規(guī)劃的最優(yōu)解x*并不在可行解域的頂點，而是在可行域以內(nèi)。如果目標(biāo)函數(shù)f(x)略有變化，則最優(yōu)解x*將會在另一點上取得。由此得到一個重要的概念，非線性規(guī)劃的最優(yōu)解并不一定在約束區(qū)域的邊界上達(dá)到，而根據(jù)不同的目標(biāo)函數(shù)和不同的約束區(qū)域，其最優(yōu)解可能在約束區(qū)域上(包括約束區(qū)域內(nèi)的所有點和邊界)的某一點上達(dá)到。

與線性規(guī)劃相比，非線性規(guī)劃最優(yōu)解的情況要復(fù)雜得多。當(dāng)非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的變量較多、形式比較復(fù)雜時，求最優(yōu)解是一項相當(dāng)困難的工作。線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，而目前非線性規(guī)劃還沒有使用于各種問題的一般算法。非線性規(guī)劃的解法種類很多，但各個方法都有本身特定的適應(yīng)范圍。

1.3 非線性規(guī)劃的最優(yōu)解問題

非線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解方法可分為解析優(yōu)化法和直接搜索優(yōu)化法兩類。其中，解析優(yōu)化方法也可稱為間接優(yōu)化方法，其特點是首先建立描述研究對象變化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，再用數(shù)學(xué)解析的方法求出數(shù)學(xué)方程的最優(yōu)解[2～13]；而直接優(yōu)化方法的優(yōu)點是不需知道研究對象的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而在變量的取值上直接搜索，通過少數(shù)次試驗，尋找其最優(yōu)解。

圖1 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃最優(yōu)解分析圖

在實際工作中，建立研究對象的數(shù)學(xué)方程往往很困難，因而直接搜索方法的用途更廣。其優(yōu)點是：在不用增加設(shè)備、投資、人力和原材料的條件下，應(yīng)用優(yōu)選法可以縮短工時，增加產(chǎn)量，提高質(zhì)量，節(jié)約原料，降低成本，挖掘潛力。目前應(yīng)用最廣泛的是配方配比、工藝操作條件、儀器儀表的調(diào)試以及工程最優(yōu)設(shè)計等方面，但其在決定最優(yōu)安全投資或安全投入方面的應(yīng)用尚屬空白。在企業(yè)安全投入方面，科學(xué)采用優(yōu)選法是能夠以較少試驗次數(shù)迅速找到較優(yōu)的安全投入方案。

1.4 企業(yè)安全投資具有非線性規(guī)劃的特點

企業(yè)的安全投入分為安全投資(主動安全投入)和事故損失(被動安全投入)兩部分，即安全投入=安全投資+事故損失。企業(yè)的安全投資(主動安全投入)可以事先計劃確定，主要包括安全技術(shù)措施費、工業(yè)衛(wèi)生措施費、安全教育費用、勞動保護(hù)費用和日常安全管理費用等；而事故損失(被動安全投入)具有一定的不確定性和風(fēng)險性，主要包括：事故處理費、職業(yè)病診治費、間接損失費和事故罰款等[10～13]。一般來說，企業(yè)的安全投資與事故損失之間往往存在一定的負(fù)相關(guān)關(guān)系，即安全投資越大，事故損失往往越小；安全投資越小，事故損失往往越大。因此，如以安全投資為自變量，安全投入為因變量，建立安全投資和安全投入的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然大多數(shù)情況下，并不知道它們之間嚴(yán)格的數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式，即企業(yè)安全投入具有非線性規(guī)劃的特點。上述思想用于安全投資決策，如對一個企業(yè)來說，很難求出安全投資或安全投入與企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的解析式，因此，求解企業(yè)安全投資的最優(yōu)解使用直接搜索優(yōu)化法更普遍。若已知企業(yè)安全投入的目標(biāo)函數(shù)f(x)為下單峰函數(shù)(具體解析式未知)，變量安全投資x的取值區(qū)間為[a，b]。求這個樣一個非線性規(guī)劃問題，可以采用一維搜索的方法。

2 斐波那契法的基本思路

2.1 一維搜索最優(yōu)解解的基本理論

假設(shè)目標(biāo)函數(shù)f(x)是區(qū)間[a，b]上的下單峰函數(shù)(圖2)，在此區(qū)間內(nèi)有唯一的極小點x*。若在此區(qū)間內(nèi)任取兩點a1和b1，并計算(或做試驗)得到其目標(biāo)函數(shù)f(a1)和f(b1)。于是，可能出現(xiàn)以下兩種情形：

(1)f(a1)

(2)f(a1)≥f(b1)(圖2-b)，這時極小點x*必在區(qū)間[a1，b]內(nèi)。

目標(biāo)函數(shù)為單峰函數(shù)(包括下單峰函數(shù)和上單峰函數(shù))，其中企業(yè)安全投入更多體現(xiàn)為下單峰函數(shù)，極值點在區(qū)間[a，b]內(nèi)，是十分重要的假設(shè)。單峰函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：比較區(qū)間[a，b]內(nèi)不同兩點的函數(shù)值，就可以確定最優(yōu)值的位置。因此，在區(qū)間[a，b]內(nèi)取兩個不同點，并將兩個函數(shù)值加以比較，就可以把搜索區(qū)間 [a，b] 縮小成[a，b1]或[a1，b]，如果繼續(xù)搜索下去，則可在縮小的區(qū)間[a，b]內(nèi)再取一點，求出其函數(shù)值并與f(a1)加以比較，進(jìn)一步縮小搜索區(qū)間。試驗次數(shù)越多，搜索區(qū)間越小，從而求出滿足一定精度要求的最優(yōu)解。

2.2 斐波那契數(shù)列及其安排試驗

(1) 斐波那契數(shù)列

斐波那契法是利用斐波那契數(shù)列安排試驗的單因素優(yōu)選法。斐波那契數(shù)列如表1所示。

表1 斐波那契數(shù)列

在表1中，n表示斐波那契數(shù)列的下標(biāo)變量，F(xiàn)n表示對應(yīng)下標(biāo)變量n時的數(shù)列值。當(dāng)n=0，F(xiàn)n=1；當(dāng)n=1，F(xiàn)n=1；…，當(dāng)n=5，F(xiàn)n=8。斐波那契數(shù)列有一個重要的遞推關(guān)系式：

Fn=Fn-1+Fn-2n≥0

(1)

圖2 一維搜索求解非線性規(guī)劃最優(yōu)解理論分析圖

(2) 利用斐波那契數(shù)列安排試驗

(2)

式中，δ為一個正小數(shù)，稱為區(qū)間的相對精度。

(3) 斐波那契法安排試驗的步驟

① 確定試驗點個數(shù)n。根據(jù)縮短率δ，用式(2)算出1/δ，然后由表1確定一個最小的n。例如，某試驗取定相對精度δ=0.05，1/δ=20，查表1，得最小的n=7，即選定。

② 選取前兩個(年)安全投資試點的位置。設(shè)x1為第1個試點，x2為第2個試驗點。x1，x2的具體值可根據(jù)以下公式計算得到：

(3)

(4)

說明，x1位于試驗區(qū)間的右側(cè)，x2位于試驗區(qū)間的左側(cè)，兩個試點的位置是對稱的。斐波那契法是按數(shù)列中Fn-1與Fn、Fn-2與Fn的比值來確定試點的，故又稱為分?jǐn)?shù)法。

③ 在x1，x2兩點上做試驗，并比較兩點的目標(biāo)函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小。若f(x1)比f(x2)好，則說明x1為較好點，并可判斷最優(yōu)值位于區(qū)間(x2，b0)，取a1=x2，b1=b0?？s短的區(qū)間長度為Fn-1，根據(jù)對稱試驗的特點，顯然第3個試點x3應(yīng)在x1的右側(cè)，按公式(3)，得：

(5)

若f(x1)比f(x2)差，說明點x2是好點，可判斷最優(yōu)值位于區(qū)間(a0，x1)。取a1=a0，b1=x1，縮短的區(qū)間長度為Fn-1，由對稱試驗特點可知第3個試點x3應(yīng)位于x2的左側(cè)。按公式(4)，得：

④ 進(jìn)行第3個試點x3的試驗，與前次好的試驗點數(shù)比較，可以繼續(xù)縮小試驗區(qū)間。重復(fù)以上過程，直到滿足試驗精確度要求為止。

圖3 運用菲波那契法確定前兩年安全投資點圖解

3 斐波那契法的應(yīng)用實例

某新建煤礦進(jìn)行安全投資決策。根據(jù)國內(nèi)同類煤礦的安全投入經(jīng)驗，該規(guī)模煤礦的安全投資每年為1370萬元。該煤礦為了減少安全投入，最優(yōu)化安全投資及安全投入，決定在若干年內(nèi)優(yōu)選出本煤礦的安全投資和安全投入的數(shù)值，試驗范圍定為1290～1500萬元，試驗精確度要求10萬元。一般認(rèn)為，試驗精確度是指經(jīng)過試驗范圍的大小。

用斐波那契法安排實驗，其過程為：本例要求安全投資的精確度為10萬元，為使試驗方便，試點應(yīng)以整數(shù)為單位，因而特選定試驗區(qū)間長度為某個Fn，故由表1取F7=21，即n=7。試驗區(qū)間[a0，b0]為[1290，1500]。

第1個試點x1，第2 個試點x2分別由式(3)，式(4)確定。

即該煤礦正常生產(chǎn)第一年、第二年安排安全投資1420萬元和 1370萬元，每年年末評估當(dāng)年的事故損失，這兩年的事故損失分別是1444萬元和1880萬元。因此，這兩年安全投入(實驗結(jié)果)分別是2864萬元和3250萬元，如表2所示。可見，x1，x2兩點安全投入結(jié)果表明，x1比x2點好(2864<3250)，因而舍棄區(qū)間(a0，x2)。

表3 某煤礦若干年安全投資與安全投入優(yōu)選分析表

備注：安全投入(實際實驗結(jié)果)=安全投資+事故損失。說明這里的實驗實際是真實的計算結(jié)果。

新的試驗區(qū)間為(1370，1500)，即設(shè)a1=1370，b1=1500。按照斐波那契法對稱試驗特點，可知第3個試點x3應(yīng)在x1的右側(cè)，由式(3)計算x3=1450(萬元)。

即該煤礦第三年安排安全投資1450萬元，年末評估當(dāng)年各類事故總損失為1422萬元。因此，該年的安全投入是2872萬元，如表3所示。點x3的安全投入結(jié)果表明，點x1比點x3好(2864<2872)，試驗區(qū)間縮小為(1370，1450)。

確定試點x4=1440萬元，即該煤礦第四年安排安全投資1440萬元，年末評估當(dāng)年的事故損失為1425萬元，因此，該年的安全投入是2865萬元。試驗結(jié)果是點x1比點x4好。

再確定試點x5=1430萬元，如表2，年底核算當(dāng)年事故損失為1427萬元，安全投入(實驗結(jié)果)為2857萬元。

同理，經(jīng)過5個(年)試驗，證明該煤礦安全投資在1420—1430萬元時，安全投入最少，安全效果最好，達(dá)到了試驗精確度的要求。

第六年可取該區(qū)間的中點1425萬元，年末評估當(dāng)年的事故損失為1428萬元，因此，該年的安全投入基本已達(dá)到最小2853萬元，如表3所示。當(dāng)然，隨著煤礦開采深度，煤礦需要的安全投入會增加，依然可以運用此法尋找新的生產(chǎn)條件的最優(yōu)安全投資和安全投入。

4 結(jié)論

(1) 在煤礦安全投資和安全投入與經(jīng)濟(jì)效益的關(guān)系不能用函數(shù)表示出來的情況下，根據(jù)非線性規(guī)劃的基本概念和理論，運用非線性規(guī)劃問題、斐波那契直接一維搜索優(yōu)化法的基本思路和方法，可以求解煤礦的最優(yōu)安全投資和安全投入。

(2) 運用非線性規(guī)劃問題、斐波那契法直接一維搜索優(yōu)化的方法，適用于不能用函數(shù)關(guān)系表示煤礦的安全投資與效益之間的關(guān)系時，如何確定煤礦的最優(yōu)安全投資問題，可以確保煤礦在若干年內(nèi)就能尋找出本企業(yè)的最優(yōu)安全投資量。

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