莊美雅　蔡福山

一、在直觀操作與抽象算法中，助力學(xué)生推理能力的成長(zhǎng)

“加與減（一）”單元的知識(shí)內(nèi)容包括：“買鉛筆（十幾減9）”“捉迷藏（十幾減8）”“快樂的小鴨（十幾減7，6）”“開會(huì)了（比較意義下的減法）”“跳傘表演（十幾減5，4，3，2）”“美麗的田園（解決問題）”，包含了4節(jié)計(jì)算教學(xué)和2節(jié)解決問題教學(xué)。它是在一上學(xué)習(xí)“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的基礎(chǔ)上，集中學(xué)習(xí)“20以內(nèi)的退位減法”。根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中我們要讓學(xué)生在直觀中理解算理，掌握抽象的算法，更要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。

1. 借直觀操作表抽象算法，為理解算理提供思維支撐。

低年級(jí)計(jì)算教學(xué)主要是借助主題圖、數(shù)學(xué)工具，以及簡(jiǎn)單的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，經(jīng)歷操作實(shí)踐活動(dòng)，來(lái)直觀理解算理。為了幫助學(xué)生更好地理解算理，教材系統(tǒng)地滲透了直觀模型（小棒、計(jì)數(shù)器、數(shù)線等）在本單元各個(gè)課時(shí)使用。“買鉛筆（十幾減9）”作為單元起始課，起著種子課的引領(lǐng)作用。教學(xué)中，在學(xué)生熟悉的買鉛筆的情境中解決“還剩幾支鉛筆”的問題，學(xué)生根據(jù)已有的“減法的意義”這一知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，判斷出“整體中去掉部分求剩余部分”用減法15-9計(jì)算。在解決15-9時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生邊擺小棒邊描述自己的思路：算法1，一根一根地拿走9根，還剩6根；算法2，把9根分成5和4，從15根中先去掉5根，剩10根，再?gòu)?0根中去掉4根是6根；算法3，將15根小棒分成10根和5根，從10根中去掉9根，還剩下1根，剩下的1根和原來(lái)的5根合起來(lái)共有6根；算法4，“想加算減”，想到了9+6=15，直接算15-9=6。學(xué)生借助小棒的操作，經(jīng)歷了數(shù)的“分拆”“重組”來(lái)理解算理。前3種算法學(xué)生利用對(duì)“減法的意義”的理解來(lái)進(jìn)行操作，而算法4“想加法做減法”，是建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的推理過程，體現(xiàn)了加法和減法互為逆運(yùn)算的思想。在這些算理的理解過程中，學(xué)生不僅掌握了十幾減9的計(jì)算方法，更重要的是經(jīng)過一步一步地嚴(yán)密邏輯推理，體會(huì)到每一種算法的形成都是一次推理過程。

2. 借直觀操作釋抽象算法，為驗(yàn)證算理提供有力依據(jù)。

在算理剖析的過程中，一方面要以操作過程、經(jīng)驗(yàn)推理來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的直觀理解；另一方面，也要重視由算法向具體操作的反思，這樣雙向互通式的形象與抽象的結(jié)合，才能幫助學(xué)生真正理解算理，構(gòu)建算法。

當(dāng)有了一定的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)時(shí)，有些學(xué)生可能不需要借助學(xué)具就能算出得數(shù)。但學(xué)生能得出正確的計(jì)算結(jié)果，并不能說(shuō)明他們真正明白算理。這時(shí)，可以讓學(xué)生在得出結(jié)果后再利用小棒擺一擺，把自己的想法通過學(xué)具的操作和思維的操控，驗(yàn)證其正確性，從而再一次加深對(duì)算理的理解。本單元的第3個(gè)課時(shí)“快樂的小鴨（十幾減7，6）”中，教材考慮學(xué)生已具有一定的退位減法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，編排上與前兩課的設(shè)計(jì)略有不同，按照“計(jì)算—解釋—應(yīng)用”的思路進(jìn)行編排。教材呈現(xiàn)了3種算法，并用結(jié)構(gòu)圖的形式將數(shù)的分解的過程呈現(xiàn)出來(lái)（圖1），緊接著再讓學(xué)生借助小棒解釋3種算法，進(jìn)一步理解算理。

通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能將抽象的分析結(jié)果通過直觀驗(yàn)證這個(gè)簡(jiǎn)單推理的過程表述出來(lái)，能領(lǐng)會(huì)“為何會(huì)得到這樣的計(jì)算方法”。在思辨中，學(xué)生的推理能力得到了相應(yīng)的發(fā)展。

二、在類比算法與歸納算理中，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展

1. 注重算理類比，融通多樣算法的本質(zhì)。

低年級(jí)學(xué)生容易看到一樣事物便聯(lián)想到其他事物，沒有規(guī)律可循的，卻可以理解問題的實(shí)質(zhì)。這種思維過程就是數(shù)學(xué)上常用的類比推理，即依據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤橥黄朴?jì)算難點(diǎn)，教材采用小棒、計(jì)數(shù)器、數(shù)線及結(jié)構(gòu)圖等幾種模型幫助學(xué)生理解算理，掌握算法。小棒是學(xué)生比較熟悉的一個(gè)直觀模型，因此，教材在初次探索算法時(shí)，都以小棒模型為主，而后在“十幾減9”中出現(xiàn)了計(jì)數(shù)器，在“十幾減8”中出現(xiàn)了“數(shù)線”，在“十幾減7，6”中出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)圖。對(duì)于新的直觀模型，教學(xué)中我們?nèi)绾我龑?dǎo)學(xué)生架構(gòu)起新知與舊知之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的類比推理，從而掌握其算法多樣化之間的共同本質(zhì)，更透徹地理解算理呢？

計(jì)算15-9中，在學(xué)生借助小棒計(jì)算出結(jié)果后教材出示了計(jì)數(shù)器，學(xué)生有了擺小棒的經(jīng)驗(yàn)“從15根小棒里減去9根，零散的5根不夠，要把1捆拆開變成10根，才能再減”，很容易推理出“從計(jì)數(shù)器上撥走9顆珠子，個(gè)位上的5顆珠子不夠，要把十位上的1顆珠子變成個(gè)位上的10顆”，融通了擺小棒與計(jì)數(shù)器之間的關(guān)系。計(jì)數(shù)器能更好地體現(xiàn)“位值制”，凸顯“借1當(dāng)10”，更加接近抽象的運(yùn)算本質(zhì)，也是以后學(xué)習(xí)退位減法筆算的算理根基所在；而“數(shù)線”可以很好地體現(xiàn)數(shù)序，體現(xiàn)多種數(shù)數(shù)的方法，可以記錄計(jì)算的過程和結(jié)果。在“十幾減8”中，教材呈現(xiàn)兩種數(shù)線模型（圖2），左圖呈現(xiàn)的是從13開始一個(gè)一個(gè)往回?cái)?shù)的過程，對(duì)應(yīng)了一根一根減小棒的經(jīng)驗(yàn)；同樣的右圖是分段數(shù)，先往回?cái)?shù)3個(gè)，再往回?cái)?shù)5個(gè)，學(xué)生不難類比推理出與前面的算法2道理一樣。學(xué)生在尋找兩種不同學(xué)具操作的共同之處的過程，就是他們透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的過程，思維真正經(jīng)歷了由淺入深的過程。

2. 引導(dǎo)算法歸納，促進(jìn)多樣算法的優(yōu)化。

從認(rèn)知心理學(xué)的角度分析，不同的計(jì)算策略在一定程度上反映了兒童思維發(fā)展的不同水平，但學(xué)習(xí)還有社會(huì)性的一面，要讓學(xué)生從與別人的交流中吸取好的“營(yíng)養(yǎng)”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自覺比較、批判，從而建立起自己的計(jì)算方法。在本單元退位減法的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生展開思路呈現(xiàn)不同算法后，可以一起進(jìn)行有針對(duì)性的分析梳理：從算法上看，“破十法”“平十法”“撥計(jì)數(shù)器”等方法其實(shí)都基于同一種想法，那就是個(gè)位不夠減，需要“破十”的方法。從而幫助學(xué)生理解退位減法中“退1作10”的算理。從算理上分析，20以內(nèi)退位減法就是從“減法的意義”和“加減法之間的關(guān)系”這兩個(gè)角度分別進(jìn)行思考的，相比而言，前者思考的過程比較復(fù)雜，學(xué)生至少需要進(jìn)行兩步的思考，但它能通過直觀操作來(lái)理解算理，形成算法。后者雖然比較便捷，但與學(xué)生對(duì)“20以內(nèi)進(jìn)位加法”的熟練程度有關(guān)。在保證學(xué)生自主選擇的前提下，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握“想加法算減法”的方法，讓不同學(xué)生在計(jì)算方法上得到不同的發(fā)展。

三、在語(yǔ)言表達(dá)和拓展應(yīng)用中，助推學(xué)生推理能力的提升

1. 語(yǔ)言表達(dá)讓推理由內(nèi)至外。

學(xué)生推理能力的發(fā)展與語(yǔ)言表達(dá)也有密切的關(guān)系，良好的語(yǔ)言表達(dá)能力能使學(xué)生的思考過程變得清晰而有條理。學(xué)生在講述自己的觀點(diǎn)時(shí)能把內(nèi)部的思維語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成外部的交際語(yǔ)言，這種轉(zhuǎn)換勢(shì)必再次促進(jìn)個(gè)體的思考。因而，在計(jì)算教學(xué)中，我們要注重培養(yǎng)學(xué)生將自己的計(jì)算過程借助學(xué)具用語(yǔ)言清晰地表達(dá)出來(lái)，教學(xué)中我們可以不斷地讓學(xué)生表達(dá)“先算什么，再算什么”或“因?yàn)槭裁矗允裁础钡乃季S推理過程。如此，思考才能更有條理更清晰，同時(shí)還能發(fā)現(xiàn)思維活動(dòng)中的問題或錯(cuò)誤，及時(shí)給予糾正。

2. 拓展應(yīng)用讓推理由點(diǎn)到面。

推理能力大多數(shù)時(shí)候都是在知識(shí)被運(yùn)用的時(shí)候提升的，在運(yùn)用的過程中意味著我們要從頭到尾地思考問題，這樣也就能在知識(shí)運(yùn)用的過程中培養(yǎng)推理能力。如教學(xué)“十幾減9”，通過例題和“做一做”的教學(xué)，得到代表性的算式：“15-9=6，14-9=5，16-9=7”，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生比較得出這三個(gè)算式的共同特點(diǎn)——都是十幾減9；再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“十幾減9”還有哪些算式并進(jìn)行計(jì)算，接著讓學(xué)生把“十幾減9”的9道算式按規(guī)律進(jìn)行排列整理。一年級(jí)學(xué)生的思維雖然仍處于以形象思維為主的階段，但已經(jīng)具備了一定的觀察、比較、綜合的意識(shí)。我們可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從上到下、從下到上、從左到右等方式觀察這9道算式的排列特點(diǎn)，不但可以發(fā)現(xiàn)相鄰算式的排列特征，還可以發(fā)現(xiàn)“十幾減9”的計(jì)算與10-9有密切的聯(lián)系，即“十幾減9”的計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化為“10-9+幾”進(jìn)行計(jì)算。同樣，學(xué)生也能類比推理得出：“十幾減8”可轉(zhuǎn)化為“10-8+幾”進(jìn)行計(jì)算等。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“仔細(xì)觀察—舉例驗(yàn)證—?dú)w納結(jié)論—完善結(jié)論”這一使用歸納推理探索規(guī)律的過程，不但積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更是發(fā)展了合情推理能力。

能力的形成與發(fā)展不是一蹴而就的，它是一個(gè)循序漸進(jìn)的緩慢的過程。對(duì)于計(jì)算的教學(xué)，我們要讓學(xué)生自己悟出道理、規(guī)律和方法，并將推理能力的培養(yǎng)有機(jī)融合于數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中。這樣不僅可以使學(xué)生更好地掌握計(jì)算的算理，還可以使他們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)及生活中可以從容面對(duì)各種困難，通過邏輯分析準(zhǔn)確判斷、解決各種難題。

（作者單位：福建省晉江市梅嶺街道希信中心小學(xué) 福建省晉江市教師進(jìn)修學(xué)校）