☉浙江省溫嶺市第二中學(xué) 王海燕

課堂教學(xué)要充分關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平
——對(duì)公開(kāi)課《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》的思考

☉浙江省溫嶺市第二中學(xué) 王海燕

近年以來(lái)，以公開(kāi)課為載體的教研活動(dòng)異常繁榮，業(yè)已成為一線教師投身教研的良好平臺(tái).近日，筆者在一次市級(jí)教學(xué)展示活動(dòng)中，聽(tīng)了一節(jié)《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》的公開(kāi)課，任課老師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程，掌握了橢圓方程的基本形式，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)略了橢圓方程顯現(xiàn)出的對(duì)稱美，使筆者深受啟發(fā)，同時(shí)也促使筆者對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了更加深入的反思.本文結(jié)合筆者的思考，以課堂教學(xué)中學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展為切入點(diǎn)，對(duì)《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)提出幾點(diǎn)看法.

一、對(duì)課例中學(xué)生認(rèn)知水平的分析

重知識(shí)、輕能力曾經(jīng)是教育最為深刻的危機(jī)之一，在此背景下，廣大數(shù)學(xué)教育研究者提出了“數(shù)學(xué)為什么而教？”的追問(wèn)，并達(dá)成了“為思維而教”的共識(shí)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中學(xué)生思維活動(dòng)的水平、思維能力的發(fā)展成為教學(xué)設(shè)計(jì)的焦點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)課例的學(xué)習(xí)和思考，筆者認(rèn)為，就學(xué)生的認(rèn)知水平而言，課例還存在著改進(jìn)的空間.

（一）認(rèn)知水平的分類

根據(jù)美國(guó)學(xué)者莫里斯.L.比格等人的觀點(diǎn)以及對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的考察，顧泠沅等學(xué)者認(rèn)為，從教學(xué)結(jié)果角度可以對(duì)課堂教學(xué)做出兩種標(biāo)記，即記憶型和理解型，不過(guò)記憶和理解僅僅是教學(xué)認(rèn)知水平標(biāo)尺上的兩個(gè)點(diǎn)，實(shí)際的課堂教學(xué)要復(fù)雜很多，從記憶到理解的發(fā)展過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的思考力水平要求越來(lái)越高，學(xué)生參與課堂的深度也逐步增加，學(xué)生活動(dòng)由被動(dòng)轉(zhuǎn)向主動(dòng)的探索.具體而言，我們可以將課堂教學(xué)的認(rèn)知水平分為記憶水平、解釋性理解水平和探究性理解水平，其中記憶水平的課只是要求學(xué)生記住一些事實(shí)材料，而解釋性理解水平是指由教師變換各種角度進(jìn)行講授、解釋、說(shuō)明，設(shè)計(jì)各種例題和變式，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，或者在理解的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)解題方法歸類.探究性理解水平的課是指教師促使學(xué)生積極卷入學(xué)習(xí)過(guò)程，師生共同活動(dòng)，在新的情境中探索新知識(shí)、學(xué)習(xí)新方法.

（二）課例中學(xué)生認(rèn)知水平的分析

就課例《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》來(lái)看，應(yīng)當(dāng)說(shuō)任課教師充分關(guān)注了學(xué)生的思維過(guò)程和認(rèn)知水平，比如在推導(dǎo)橢圓方程的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，提出問(wèn)題：“你認(rèn)為如何建立平面直角坐標(biāo)系比較合理呢？”就是一個(gè)很好的設(shè)問(wèn)，具有一定的探究?jī)r(jià)值，如果此處能夠給予學(xué)生更多的探究時(shí)間和更深入的引導(dǎo)，這將是一個(gè)具有較高認(rèn)知水平的教學(xué)片斷.但是就整體而言，課例存在學(xué)生認(rèn)知水平下降的問(wèn)題.

1.關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方法的選擇

教學(xué)片段：

師：通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們是否知道如何求曲線方程呢？

生：按照建系、設(shè)點(diǎn)、限制條件、代入坐標(biāo)、化簡(jiǎn)、驗(yàn)證的步驟！

師：很好，我把它概括為“建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化”！是不是更好記了呢？

生：（異常興奮地）好記！

師：好，下面我們按照這個(gè)步驟來(lái)求橢圓的方程……

毫無(wú)疑問(wèn)，這句精彩的概括令學(xué)生記憶深刻，接下來(lái)的推導(dǎo)過(guò)程就按部就班地以“建、設(shè)、現(xiàn)、代、化”的步驟展開(kāi)，學(xué)生對(duì)橢圓方程的推導(dǎo)方法缺乏必要的思考，幾乎是不假思索地選擇了老師告知的方法，雖然隨后的推導(dǎo)過(guò)程中某些步驟有解釋和探究的成分，但就整體認(rèn)知水平而言，有明顯的記憶性水平的特點(diǎn).

授課老師上述的引導(dǎo)過(guò)程局限了學(xué)生的思考，筆者以為，如果能夠讓設(shè)問(wèn)更具開(kāi)放性，那么學(xué)生的思維就有可能更為開(kāi)闊.例如，可以將設(shè)問(wèn)改進(jìn)為：

問(wèn)題：假設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，如何根據(jù)橢圓的定義得到x與y的關(guān)系？

那么學(xué)生的思維就會(huì)更開(kāi)闊一些，除了課例中提供的方法之外，還可能發(fā)現(xiàn)其他的更簡(jiǎn)潔的方法，例如：

推導(dǎo)方法1：設(shè)|PF2|=r，則|PF1|=2a-r，

由余弦定理知，|PF1|2=（2a-r）2=r2+4c2-4crcos θ=r2+ 4c2-4c（c-x），

2.對(duì)教材推導(dǎo)方法的改進(jìn)

眾所周知，人教版教材提供的橢圓方程的推導(dǎo)方法就是按照“建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化”的步驟進(jìn)行推導(dǎo)的，由于在方程的化簡(jiǎn)過(guò)程中為了去掉根號(hào)，需要兩次平方，運(yùn)算量極大，對(duì)學(xué)生而言有難度，但是這一難點(diǎn)也恰好為我們提供了提高認(rèn)知水平的機(jī)會(huì).我們先看看上述課例中授課老師的處理：

教學(xué)片段2：

師：將|PF1|+|PF2|=2a坐標(biāo)化，我們得到了=2a，如何化簡(jiǎn)這個(gè)方程呢？

生：兩邊平方！

師：同學(xué)們反應(yīng)真快，兩邊平方可以去掉根號(hào)，那么，同學(xué)們?cè)偎伎家幌拢瑑蛇吰椒揭淮文芊袢サ魞蓚€(gè)根號(hào)呢？

生：不能，還有一個(gè)根號(hào).

師：A同學(xué)，你來(lái)回答一下，剩下一個(gè)根號(hào)怎么辦？

生A：再平方……哦，不！太麻煩了……

師：大家說(shuō)，再平方能去掉根號(hào)嗎？

眾生：可以！

師：雖然這樣作運(yùn)算量較大，但是我們有沒(méi)有信心克服這個(gè)困難呢？

眾生：有.

師：好，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约旱木毩?xí)本上進(jìn)行化簡(jiǎn)，我請(qǐng)一名同學(xué)來(lái)板演……

在本片段中個(gè)，教師對(duì)方程的化簡(jiǎn)方法進(jìn)行了引導(dǎo)，并鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)兩次平方去掉根號(hào).筆者以為上述引導(dǎo)是非常必要的，因?yàn)檎莆者@種方法也是本節(jié)課的目標(biāo)之一.但是，當(dāng)學(xué)生提供了理想的推導(dǎo)結(jié)果之后，教師的處理又一次喪失了提高學(xué)生認(rèn)知水平的機(jī)會(huì).

教學(xué)片段3：

師：我們的同學(xué)運(yùn)算水平真高！老師真為你們高興，我看到大多數(shù)同學(xué)都能夠正確地化簡(jiǎn)出最后的方程，當(dāng)然，還有個(gè)別同學(xué)沒(méi)有做完，請(qǐng)這些同學(xué)課后把它完成！下面我們來(lái)看我們得到的這個(gè)方程的形式……

上述片段將橢圓方程的推導(dǎo)方法局限于教材方法，從學(xué)生的認(rèn)知水平來(lái)看，還有很大的提升空間，筆者以為，在教師肯定了學(xué)生的運(yùn)算水平之后，應(yīng)該進(jìn)一步地追問(wèn)：

問(wèn)題：剛才的推導(dǎo)方法運(yùn)算比較煩瑣，導(dǎo)致這種煩瑣運(yùn)算的原因是什么？有沒(méi)有辦法進(jìn)行改進(jìn)？

通過(guò)教師的設(shè)問(wèn)，學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)到復(fù)雜的運(yùn)算是因?yàn)榈仁街杏袃蓚€(gè)根式，如果只有一個(gè)根號(hào)，那么化簡(jiǎn)就簡(jiǎn)便了，如何把兩個(gè)根號(hào)“分開(kāi)”呢？結(jié)合定義式|PF1|+ |PF2|=2a以及等差中項(xiàng)的知識(shí)，學(xué)生不難想到以下的方法：

推導(dǎo)方法2：因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a，所以可設(shè)|PF1|=a+d， |PF2|=a-d.于是

設(shè)b2=a2-c2即得

這種方法，巧妙地利用了參數(shù)d，回避了教材方法中繁雜的化簡(jiǎn)過(guò)程，這種求軌跡方程的方法我們一般稱為“參數(shù)法”，學(xué)生并不陌生，同時(shí)，對(duì)于這種處理方法，學(xué)生有了等差數(shù)列的知識(shí)背景，也并非難以想到.特別是上述的追問(wèn)，提升了學(xué)生的認(rèn)知水平，也培養(yǎng)了學(xué)生善于總結(jié)，善于思考的習(xí)慣.

3.關(guān)于課例中教師的設(shè)問(wèn)

課堂設(shè)問(wèn)是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)最重要的議題之一，由于學(xué)生的反應(yīng)和教師設(shè)問(wèn)同屬一個(gè)思考力水平，所以，課堂設(shè)問(wèn)是維持學(xué)生合理思考力水平的基本手段，但是根據(jù)筆者的了解，課堂上“隨意問(wèn)、滿堂問(wèn)”的現(xiàn)象確實(shí)存在，課堂設(shè)問(wèn)缺乏對(duì)認(rèn)知水平的思考也是教學(xué)過(guò)程中的一種“常見(jiàn)病”.筆者以為，克服課堂發(fā)問(wèn)的隨意性，編制認(rèn)知水平合理的問(wèn)題是維持課堂教學(xué)認(rèn)知水平的重要前提.

就筆者所見(jiàn)的這節(jié)課例而言，教師一共提出了7個(gè)問(wèn)題，就認(rèn)知水平而言，有三個(gè)問(wèn)題屬記憶水平的問(wèn)題，學(xué)生只需要根據(jù)對(duì)已有知識(shí)的回憶就可以作答，并不需要思考，兩個(gè)問(wèn)題屬于解釋水平的問(wèn)題，學(xué)生需要根據(jù)自己的理解，結(jié)合問(wèn)題的情景，思考后作答.只有一個(gè)問(wèn)題“如何建立橢圓的方程？”這本該是一個(gè)具有探究意義的問(wèn)題，但正如前文所述，教師有意地將學(xué)生的思路引向以“建、設(shè)、限（現(xiàn)）、代、化”為程序的直接法，使得學(xué)生的認(rèn)知水平下降，而隨后教師又將推導(dǎo)過(guò)程通過(guò)幾個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，這種“小步走，多鋪墊”的處理，為學(xué)生的推導(dǎo)鋪平了道路，掃清了障礙，同時(shí)也使得推導(dǎo)過(guò)程能夠按照教師的預(yù)設(shè)順利進(jìn)行，但從學(xué)生認(rèn)知水平來(lái)講，這一做法使得學(xué)生的思考力水平進(jìn)一步下降，本該是需要思考甚至探究的問(wèn)題，但是由于過(guò)多的鋪墊和引導(dǎo)，使得學(xué)生的思考變成了填空式問(wèn)答.

4.關(guān)于課例中教師的理答技巧

恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問(wèn)僅僅是維持合理認(rèn)知水平的前提，但是當(dāng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題給出回答后，教師的反應(yīng)也就是理答技巧同樣重要，因?yàn)榻虒W(xué)的預(yù)設(shè)和生成往往會(huì)有差距，特別是學(xué)生的回答可能并沒(méi)有達(dá)到教師的預(yù)期，這就需要教師針對(duì)學(xué)生的回答給出適當(dāng)?shù)幕仞?一般來(lái)說(shuō)，教師的理答內(nèi)容主要包含：鼓勵(lì)和評(píng)價(jià)、歸納答案、匡補(bǔ)探究、合理追問(wèn)這幾個(gè)方面，其中的匡補(bǔ)探究主要指教師對(duì)學(xué)生回答中的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正，而合理的追問(wèn)往往能起到提高學(xué)生認(rèn)知水平的作用.

課例中教師一共處理了19位同學(xué)的回答，應(yīng)當(dāng)說(shuō)教師特別注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行正面評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，也能適時(shí)總結(jié)學(xué)生的答案，也有恰時(shí)恰點(diǎn)的追問(wèn)，師生互動(dòng)頻繁、氣氛熱烈.但是有些問(wèn)題的回答有改進(jìn)的空間，特別是當(dāng)教師對(duì)學(xué)生回答的評(píng)價(jià)除了鼓勵(lì)外，更要注重理性分析，指出優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，并通過(guò)追問(wèn)維持和提高學(xué)生的思考、認(rèn)知水平.在此筆者舉兩例：

先后有兩名學(xué)生做出回答，學(xué)生B直接平方，學(xué)生C先移項(xiàng)后平方，但是教師的回答都是對(duì)學(xué)生的化簡(jiǎn)“功夫”進(jìn)行了贊賞，缺乏理性的分析和追問(wèn)，對(duì)兩種處理方法的優(yōu)劣沒(méi)有具體分析，

問(wèn)題：如何建系比較好？

應(yīng)當(dāng)說(shuō)這一個(gè)問(wèn)題具有探究性，是一個(gè)好問(wèn)題，學(xué)生D給出了合理的答案，但是學(xué)生的回答僅僅是根據(jù)對(duì)稱性提出的猜想，在方程沒(méi)有推導(dǎo)出來(lái)之前，并不能很好的解釋其建系的合理性，這就要求教師在得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程之后，追問(wèn)：“如果橢圓的中心不在原點(diǎn)，其方程有何變化？”這樣就能使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到將原點(diǎn)放在橢圓中心的合理性.

二、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和思考

通過(guò)以上課例的研究和思考，筆者以為，就當(dāng)前的教育實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生認(rèn)知水平下降是一個(gè)比較普遍的問(wèn)題，維持和提高學(xué)生的認(rèn)知水平，確實(shí)應(yīng)該是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該努力達(dá)成的目標(biāo).

1.認(rèn)知水平下降是目前普遍存在的問(wèn)題

從課堂教學(xué)的三個(gè)認(rèn)知水平來(lái)看，記憶水平的課思維層次低，但是數(shù)學(xué)知識(shí)也需要記憶，所以不能簡(jiǎn)單地全盤否定，而解釋水平的課應(yīng)當(dāng)是大多數(shù)教師追求的目標(biāo)，因?yàn)榘阎R(shí)講清講透是教學(xué)的基本追求，但是解釋水平的課也有不足，往往過(guò)分依賴已有的解題模式，容易形成思維定式，不利于創(chuàng)造，所以還要在達(dá)到解釋水平的基礎(chǔ)上，大力提倡探究水平的課.但是從教學(xué)的現(xiàn)實(shí)情況來(lái)看，以下兩個(gè)問(wèn)題是普遍存在的：

（1）本該是解釋水平的課，不少教師卻將其下降為填空式問(wèn)答，或者通過(guò)記憶解題模式并結(jié)合習(xí)題的反復(fù)演練進(jìn)行鞏固，學(xué)生的思考力水平明顯處于低層次.

（2）本該是探究水平的課，卻由于教師過(guò)多的干預(yù)，引導(dǎo)，失去了探究的意義，“表面上在探究，實(shí)際上在講解”，認(rèn)知水平下降.

2.如何維持和提高學(xué)生的認(rèn)知水平是值得每位教師思考的問(wèn)題

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程同時(shí)也是學(xué)生思維水平發(fā)展和提升的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)具體的認(rèn)知活動(dòng)使得自己的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高，而認(rèn)知水平的高低，直接關(guān)系到教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，所以，在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)時(shí)刻關(guān)注學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的水平，根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)和思考，以下幾點(diǎn)是值得注意的：

（1）課堂設(shè)問(wèn)要關(guān)注問(wèn)題的認(rèn)知水平，使其合乎教學(xué)目標(biāo)的要求.

（2）在學(xué)習(xí)過(guò)程中給學(xué)生必要的腳手架是必要的，但過(guò)多的鋪墊和干預(yù)會(huì)降低學(xué)生的認(rèn)知水平.

（3）教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成往往會(huì)有差距，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的回答并不一定符合教師的期望，特別是學(xué)生的回答往往缺乏必要的探究，有些答案甚至是通過(guò)猜測(cè)得出的，這樣一來(lái)學(xué)生的認(rèn)知水平就需要教師通過(guò)追問(wèn)來(lái)提升和維持.

（4）教師要有合理的理答技巧，除了給出必要的鼓勵(lì)，還應(yīng)當(dāng)給出理性的評(píng)價(jià)，從數(shù)學(xué)的角度評(píng)價(jià)學(xué)生回答的優(yōu)劣，并給出合理的建議和改進(jìn)的方向.

1.王克亮.在教育價(jià)值的視角下設(shè)計(jì)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：2013（12）.

2.顧泠沅.《尋找中間地帶：國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的大趨勢(shì)》［M］.上海：上海教育出版社，2003.