江西省臨川一中 (344100) 陸繼承 張珍珍

再議ax=logax(a∈(0,1))的解

江西省臨川一中 (344100) 陸繼承 張珍珍

對(duì)于ax=logax(a∈(0,1))的解的討論，似乎一直都沒有停止過，究其原因，主要是ax=logax(a∈(0,1))中的兩個(gè)簡(jiǎn)單初等函數(shù)圖像畫在同一個(gè)坐標(biāo)系里，直觀判斷很容易產(chǎn)生誤解，很多沒有深入討論的師生以為只有一個(gè)解，其實(shí)不然.不過到目前為止，對(duì)于ax=logax(a∈(0,1))的解的個(gè)數(shù)的討論結(jié)果已經(jīng)沒有什么爭(zhēng)議了，但對(duì)于這個(gè)問題的證明，許多同行給出了獨(dú)到的見解，這里筆者效仿各位同行前輩，給出了自己的兩種證明過程，請(qǐng)各位同行們批評(píng)指正.

我們先分析函數(shù)y=xlnx，有y′=lnx+1，則

①當(dāng)a∈[e-e,1)時(shí)，-e≤lna<0，所以有

圖1

x1lna>lnx1+2ln(-lnx1)，

綜上：當(dāng)a∈(0,e-e)時(shí)，ax=logax有3個(gè)解；

當(dāng)a∈[e-e,1)時(shí)，ax=logax有1個(gè)解.

圖2

圖3

再令t=lnx0∈(-∞,

綜上：當(dāng)a∈(0,e-e)時(shí)，f(x)=ax-logax=0有3個(gè)解；

當(dāng)a∈[e-e,1)時(shí)，f(x)=ax-logax=0有1個(gè)解.