北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020) 張留杰 孫丕訓(xùn)

圓錐曲線切線的一條性質(zhì)再探

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020) 張留杰 孫丕訓(xùn)

文[1]中結(jié)合一道試題探究了過(guò)橢圓(雙曲線)外一點(diǎn)所引的兩條切線的一條性質(zhì)，并且僅僅局限于焦點(diǎn)在x軸的情況下，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于焦點(diǎn)在y軸時(shí)，相應(yīng)結(jié)論也是正確的，所以可以將文[1]的結(jié)論改進(jìn)如下：

我們發(fā)現(xiàn)此優(yōu)美結(jié)論與點(diǎn)M密不可分，即它在曲線W的一條對(duì)稱軸(y軸)上，如果直線AB與x軸相交于點(diǎn)N，那么k1、k2和直線PN的斜率k′會(huì)有何種關(guān)系呢？

經(jīng)過(guò)探究，我們得出

結(jié)論2 過(guò)中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的有心圓錐曲線W外一點(diǎn)P引兩切線PA、PB，切點(diǎn)弦AB所在直線與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)直線PA、PB、PN的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)它們的斜率分別為k1、k2、k′，則k1+k2=2k′．

下面以橢圓為例進(jìn)行證明，如圖1．

圖1

同理，在雙曲線中，也不難證明該結(jié)論成立．

由結(jié)論1和結(jié)論2，我們不難得出關(guān)于橢圓和雙曲線切線的一個(gè)性質(zhì)定理：

能否將此定理的結(jié)論推廣到拋物線呢？

由于拋物線可以看作是“另一頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的橢圓，所以拋物線的另一條對(duì)稱軸也可以認(rèn)為在無(wú)窮遠(yuǎn)處，于是過(guò)拋物線外一點(diǎn)引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)弦AB所在直線與另一條對(duì)稱軸的交點(diǎn)M(或N)就在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以PM(或PN)應(yīng)該與AB平行，其斜率k0(或k′)等于直線AB的斜率k．于是我們得出如下定理：

定理2 過(guò)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線W外一點(diǎn)P引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，設(shè)切線PA、PB的斜率分別為k1、k2，直線AB的斜率為k，直線PM的斜率為k0，當(dāng)k1、k2、k、k0均不為零時(shí)．

下面以對(duì)稱軸為x軸的拋物線為例進(jìn)行證明．

圖2 圖3

[1]劉宜兵，廖 華.一道高三調(diào)研試題的結(jié)論推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016,7.