江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) (212300) 史建軍

一道習(xí)題的另解及推廣

江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) (212300) 史建軍

1.問題的提出

引例1 若A為⊙C:(x+5)2+(y+4)2=25上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OA=2,求直線OA的方程.

2.問題的解法

解法一思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算比較復(fù)雜；解法二思路、運(yùn)算均很簡(jiǎn)潔，但蘇教版初中新教材中沒有介紹平面幾何中的切割線定理，既然是無米之炊，學(xué)生只能望洋興嘆.

3.問題的推廣

引例2 若A為⊙O:x2+y2=25上一點(diǎn)，P(5,4),且PA=2,求直線PA的方程.

結(jié)論3 已知⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l:Ax+By+C=0(C≠0)相交于兩點(diǎn)，求過交點(diǎn)與P(m,n)的直線方程時(shí)，可將⊙M方程變形為(x-m)2+(y-n)2+(D+2m)(x-m) +(E+2n)(y-n)+m(D+m)+n(E+n)+F=0.

結(jié)論4 已知二次曲線Ax2+By2+Dx+Ey+F=0與直線l:ax+by+c=0(c≠0)相交于兩點(diǎn)，求過交點(diǎn)與P(m,n)的直線方程時(shí)，可將曲線方程變形為A(x-m)2+B(y-n)2+(D+2Am)(x-m)+(E+2Bn)(y-n)+m(D+Am)+n(E+Bn)+F=0.直線l方程變形為a(x-m)+b(y-n)+am+bn+c=0,則所求直線方程為A(x-m)2+B(y-n)2+(D+2Am)(x-m)·

證明：一方面，由結(jié)論2的證明可知，(4)式經(jīng)過P(m,n)及兩曲線的交點(diǎn)；另一方面，⑷式可化為形如：a′(x-m)2+b′(x-m)(y-n)+c′(y-n)2=0的齊次式，由結(jié)論2的證明可知，⑷式可表示為兩條直線.

引例3 若⊙C:x2+y2+10x+8y+16=0,直線l:5x+4y+10=0.求過⊙C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)及原點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的橢圓方程.

根據(jù)條件選取參數(shù)λ1,λ2的值，可使上述方程表示經(jīng)過兩交點(diǎn)及P(m,n)的直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線.