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        兩道奧數(shù)題的簡潔解法

        2017-03-13 07:00:16湖南省湘西州民族中學(xué)416000劉文生
        關(guān)鍵詞:題設(shè)奧數(shù)正整數(shù)

        湖南省湘西州民族中學(xué) (416000) 劉文生

        兩道奧數(shù)題的簡潔解法

        湖南省湘西州民族中學(xué) (416000) 劉文生

        本文給出2015年國際奧林匹克第5題與第6題的簡潔解法,供大家參考.

        第5題 設(shè)R是全體實數(shù)的集合,求所有的函數(shù)f:R→R,滿足對任意實數(shù)x,y,都有f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)(1)

        解:當(dāng)x=y=0時,由(1)得f(f(0))=0.據(jù)此,當(dāng)x=0,y=f(0)時,f(x+y)=f(f(0))=0,此時,(1)式成為f(0)+f(0)=f(0)f(0).

        由此得f(0)=0或f(0)=2,當(dāng)f(0)=0時,令y=0,由(1)可知,對任意實數(shù)x,有f(x+f(x))=x+f(x),顯而易見,f(x)=x.當(dāng)f(0)=2時,f(2)=f(f(0))=0,令y=0,由(1)可知,對任意實數(shù)x,有f(x+f(x))+2=x+f(x).

        顯而易見x+f(x)=2,即f(x)=2-x.由上可知,所求函數(shù)為f(x)=x與f(x)=2-x.

        第6題 整數(shù)序列a1,a2,……滿足下列條件:

        (1)對每個整數(shù)j≥1,有1≤aj≤2015;

        (2)對任意整數(shù)1≤k

        證明:由(1)對每個整數(shù)j≥1,有1≤aj≤2015可知,存在正整數(shù)N,使得aN=2015.由(2)可知l>k時,al≥ak(由k+ak≠l+al,即al-ak≠k-l<0,所以al-ak≥0,al≥ak).

        由上可知,題設(shè)中的10072可以改為任意的非負(fù)數(shù).

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