山西太原工業(yè)學院理學系 馮中營 韋仙 劉曉菲

動態(tài)法測定農(nóng)機產(chǎn)品材料的楊氏彈性模量

山西太原工業(yè)學院理學系 馮中營 韋仙 劉曉菲

楊氏彈性模量是反映固體材料對彈性形變的抵抗能力的物理量，對農(nóng)機產(chǎn)品材料具有重要的意義，對它的測量有許多方法，其中動態(tài)法（即動力學法）測彈性模量是國家標準總局推薦的，該方法比靜態(tài)法測量精度高，使用范圍廣。動態(tài)法一般包括懸掛法或支撐法兩種測量方法。本文對應(yīng)用懸掛法測定農(nóng)機產(chǎn)品材料的楊氏彈性模量進行探討，此方法對檢測判斷農(nóng)機產(chǎn)品的安全性具有重要的指導意義。

楊氏彈性模量；農(nóng)機產(chǎn)品；動態(tài)法

引言

固體、液體及氣體在受外力作用時，形狀與體積會發(fā)生或大或小的改變，這統(tǒng)稱為形變。當外力不太大，引起的形變也不太大時，撤掉外力，形變就會消失，這種形變稱為彈性形變。彈性形變分為長變、切變和體變?nèi)N。楊氏彈性模量是選定農(nóng)機產(chǎn)品材料的依據(jù)之一，是農(nóng)機制造技術(shù)設(shè)計中常用的參數(shù)。楊氏彈性模量的測定對研究金屬材料、陶瓷、橡膠等各種材料的力學性質(zhì)有著重要意義。

測定楊氏彈性模量的方法一般有拉伸法、梁彎曲法、共振動法等。由于動態(tài)法精度高，本文探討利用動態(tài)法測定楊氏彈性模量。

1 楊氏彈性模量的基本定義

一段固體棒，在其兩端沿軸方向施加大小相等、方向相反的外力 F，其長度 l發(fā)生改變 Δl，以 S 表示橫截面面積，稱為應(yīng)力，相對長變?yōu)閼?yīng)變。在彈性限度內(nèi)，根據(jù)胡克定律有：

E稱為楊氏模量，其數(shù)值與材料性質(zhì)有關(guān)。對于一定材料及長度的農(nóng)機產(chǎn)品，所承受的力越大，要求該農(nóng)機產(chǎn)品的橫截面積越大，否則可能會造成農(nóng)機損壞甚至帶來嚴重的后果。

2 動態(tài)法測農(nóng)機產(chǎn)品材料的楊氏彈性模量

一根細長棒作彎曲振動（又稱橫振動）時，根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)滿足下列動力學方程：

棒的軸線沿 x方向，式中 y為棒在 x處截面上的位移，E 為該材料的楊氏彈性模量，ρ 為材料的密度，S為棒的橫截面積，J為某橫截面對中性層的慣性矩（J=∫y2ds）。用分離變量法求解式（2），其通解為：

式（4）稱為頻率公式，它對任意形狀截面、不同邊界條件的試樣都是成立的，只要用特定的邊界條件定出常數(shù) K，代入特定截面的慣量矩 J，就可以得到具體條件下的關(guān)系式。

對于用細線懸掛起來的棒，如果懸掛點是棒的節(jié)點（處于共振狀態(tài)的棒中，位移恒為零的位置（如圖1 中所示）附近，則棒的兩端處于自由狀態(tài)，此時，解出彈性模量E：

式（6）中 m 為棒的質(zhì)量，d 為直徑，f為基頻固有頻率，E 的單位為 N·m-2。式（6）使用的條件是 d ＜ l（徑長比一般取 0.03 ～ 0.04）。這樣，只需要測出試樣的直徑d、長度 l、質(zhì)量 m 和彎曲振動的共振頻率 f，即可由（6）式算出彈性模量E。

圖1 懸掛法實驗裝置示意圖

動態(tài)法測定楊氏模量可以采用懸掛法和支撐法兩種方法。懸掛法又稱懸絲耦合彎曲共振法，其實驗裝置示意圖如圖1所示。信號發(fā)生器輸出的信號加到激振器上引起機械振動，該振動通過懸絲傳給待測農(nóng)機產(chǎn)品材料制作的試樣棒，并激起振動。試樣棒另一端的懸絲，把試樣棒的受迫橫向振動傳給拾振器，并將機械振動轉(zhuǎn)變成電信號。該信號經(jīng)過放大器放大，在拾振電壓表或示波器上顯示。調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的激振信號頻率，當其等于試樣棒的固有頻率時，試樣棒產(chǎn)生共振，拾振電壓表上顯示的數(shù)值突然增大，示波器上的波形幅度也突然增大。將此時的頻率值也就是試樣棒固有頻率代入（6）式即可求得試樣棒材料的楊氏彈性模量。

3 結(jié)論

本文探討了如何利用共振法測定農(nóng)機產(chǎn)品材料的楊氏彈性模量，楊氏彈性模量的數(shù)值可以在農(nóng)機產(chǎn)品制造時指導農(nóng)機產(chǎn)品的改進與研發(fā)，檢驗產(chǎn)品的幾何尺寸是否達到要求，避免由于農(nóng)機產(chǎn)品受力過大而造成部分農(nóng)機產(chǎn)品配件斷裂損壞，影響農(nóng)機產(chǎn)品的使用，耽誤生產(chǎn)甚至造成事故。

[1]仉志余,馮中營.大學物理實驗[M].北京：機械工業(yè)出版社,2015.31-39.

[2]李國臣,李淑青.大學物理簡明教程（上冊）[M].北京：高等教育出版社,2016.73-80.