楊亞茹 李少遠

化工生產(chǎn)過程中對于生產(chǎn)運作的需求,已從過去著重考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性,轉(zhuǎn)變至兼顧系統(tǒng)安全穩(wěn)定下同時優(yōu)化全局系統(tǒng)運行的經(jīng)濟性.這里的經(jīng)濟性通常用一類定義在系統(tǒng)工作范圍的經(jīng)濟指標(泛指一類評價系統(tǒng)運行狀況的性能函數(shù))評價,全局優(yōu)化運行的目標,是使得系統(tǒng)實際閉環(huán)運行軌跡在允許的工作范圍內(nèi),同時盡可能減少各時刻工作狀態(tài)對應的經(jīng)濟指標在整個生產(chǎn)過程的累積量.大型系統(tǒng)的全局優(yōu)化常用分層遞階控制結(jié)構(gòu)將生產(chǎn)中對于安全、魯棒、經(jīng)濟等多目標逐層分解.實時優(yōu)化層根據(jù)調(diào)度層的計劃與排產(chǎn)信息,從面向全局系統(tǒng)整體經(jīng)濟性的角度,給出滿足各子系統(tǒng)運行約束的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點.下層先進控制層常用MPC(Model predictive control)動態(tài)跟蹤上層給出的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點,綜合處理系統(tǒng)運行過程中的約束與擾動,并給底層各控制回路合適的設(shè)定值.同時,新工業(yè)需求下的全局優(yōu)化運行還要求系統(tǒng)在工作過程中,對定制生產(chǎn)下不同排產(chǎn)計劃、更小尺度的對象模型變化(如不同批次組分差異的原料、不同反應過程工況變化)都有對應的系統(tǒng)模式變化,在這種情況下的全局優(yōu)化問題可歸結(jié)于討論切換非線性系統(tǒng)在雙層控制結(jié)構(gòu)下的經(jīng)濟優(yōu)化運行.

目前多數(shù)非線性系統(tǒng)全局優(yōu)化運行的運作模式是建立在“穩(wěn)態(tài)假設(shè)”[1]基礎(chǔ)上,因此,非線性系統(tǒng)模式切換的研究熱點在于保證各個模式運行工作點的穩(wěn)定性、魯棒性及模式間的平穩(wěn)過渡[2?6].其中,由于控制時域受到計算負擔限制,不同模式下優(yōu)化問題的可行域未必存在交集,有一部分研究工作考慮限制計算量的情況下保證系統(tǒng)在大工作范圍內(nèi)切換可行性[7].新工業(yè)需求下,系統(tǒng)頻繁的切換使得“穩(wěn)態(tài)假設(shè)”不能滿足,運行動態(tài)過程中的經(jīng)濟性變的不可忽略.近年來,學者將經(jīng)濟預測控制[8?10](Economic model predictive control,EMPC)運用到切換非線性系統(tǒng)中,對于提高系統(tǒng)在整個運行過程中的經(jīng)濟性有顯著貢獻.EMPC是一種在形式上、運行策略上與實時求解的MPC相同的滾動時域控制算法,其在每一時刻同樣需實時求解一個有限時域最優(yōu)控制問題.但EMPC的控制性能指標為直接與經(jīng)濟指標相關(guān)的廣義性能指標,正定性和(或)凸性不再保證.因此,在討論穩(wěn)定性問題上,EMPC常常需要引入額外的假設(shè)條件或約束.常規(guī)的方法主要有以下兩種:文獻[8]中首次提出的耗散性條件通過構(gòu)造關(guān)于經(jīng)濟性能指標、系統(tǒng)模型、穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點的不等式約束關(guān)系,構(gòu)造了對應的Lyapunov函數(shù),從而保證穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點的穩(wěn)定性.以此假設(shè)為基礎(chǔ),后續(xù)工作拓展至終端集約束EMPC[9]、無終端約束EMPC等[10];另一類方法通過構(gòu)造輔助Lyapunov函數(shù)和(或)Lyapunov控制器,將其作為約束放入控制率實時求解的問題中,針對連續(xù)系統(tǒng)有文獻[11?12],離散系統(tǒng)有文獻[13?14].該類方法在一定程度上增大算法吸引域,但閉環(huán)系統(tǒng)的經(jīng)濟性能將受限于所構(gòu)造的輔助控制器及輔助Lyapunov函數(shù).

針對非線性切換系統(tǒng)的EMPC,目前的工作在系統(tǒng)前后模式可行域存在交集的前提下,保證了切換過程的平穩(wěn)過渡并提高了經(jīng)濟性能[12,15].文獻[12]采用基于Lyapunov函數(shù)的EMPC,每個模式下EMPC的吸引域為輔助控制器的可控集,前后兩個模式算法吸引域需存在交集;文獻[15]基于拓展時域終端集約束EMPC[16]的方式保證穩(wěn)定性,其前一模式下的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點需位于后一模式終端約束集中.受限于EMPC討論穩(wěn)定性的復雜性,對于在大工作范圍內(nèi)的切換系統(tǒng),如何考慮過渡過程的經(jīng)濟性能并平穩(wěn)切換,還未有成熟的工作.

針對這一問題,本文采取的思想是構(gòu)造一系列可行中間過渡穩(wěn)態(tài)點拓展前后模式的可行域,通過設(shè)計局部EMPC控制器,將狀態(tài)逐次轉(zhuǎn)移至中間點并完成切換.在這一策略下,本文構(gòu)造了基于耗散的EMPC輔助性能指標,在輔助性能指標控制下的EMPC能夠保證任一可行穩(wěn)態(tài)點漸近穩(wěn)定,并盡可能逼近原經(jīng)濟性能指標;進一步,本文設(shè)計了對應的切換策略,在模式常規(guī)運行時,算法保證狀態(tài)穩(wěn)定在該模式的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點.同時,在模式切換時根據(jù)前后模式的經(jīng)濟指標求解和更新可行中間點及最優(yōu)軌跡,將狀態(tài)逐次轉(zhuǎn)移至中間穩(wěn)態(tài)點并利用最優(yōu)軌跡保證狀態(tài)在模式間的平穩(wěn)過渡.所提方法適用于存在不可達問題的非線性切換系統(tǒng),實際可操作性強,在保證平穩(wěn)切換的基礎(chǔ)上提高了暫態(tài)過程的經(jīng)濟性,仿真結(jié)果驗證了算法的有效性.

符號說明:集合I表示非負整數(shù)集.S≥a表示集合滿足S≥a={x∈S;x≥a},同樣,S[a,b]={x∈S;a≤x≤b},其中a,b∈I.|·|表示歐幾里得范數(shù).Bxs(r)表示閉球域滿足:ClassL表示一類定義在γ:上的連續(xù)且單調(diào)遞減函數(shù),滿足limx→∞γ(x)=0,f?g(x)表示復合函數(shù)f(g(x)).

1 問題描述及基本定義

考慮如下非線性系統(tǒng)離散時間模型:

假設(shè) 1.經(jīng)濟性能指標上連續(xù),且各模式下模型fi(·) 在Xi×Ui上利普希茨連續(xù),滿足:

假設(shè) 2.模式i下存在(但不唯一)穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟優(yōu)化點為如下問題的最優(yōu)解,不失一般性,

定義1.模式i下的穩(wěn)態(tài)點的N步可達狀態(tài)集合為

定義2.N步可控至的初始可行狀態(tài)集合為

定義3.模式i下,控制時域為N時與穩(wěn)態(tài)點相關(guān)的成對可行約束集定義為

假設(shè)3.模式i下對應的成對可行約束集均滿足且為緊集.

類似于多數(shù)EMPC文獻[8?12]中關(guān)于系統(tǒng)實際運行經(jīng)濟性的定義,對于每一模式確定的本文所考慮的切換系統(tǒng)暫態(tài)過程經(jīng)濟性(Transient performance)為下述形式:

本文的目的是設(shè)計針對非線性切換系統(tǒng)全局優(yōu)化運行的EMPC算法,保證i模式常規(guī)運行時系統(tǒng)穩(wěn)定在指定的穩(wěn)態(tài)目標優(yōu)化點模式間切換時保證系統(tǒng)平穩(wěn)切換至新模式并提高暫態(tài)過程的經(jīng)濟性,本文并不要求相鄰模式間常規(guī)運行時EMPC算法吸引域存在交集,僅要求在狀態(tài)約束和輸入約束范圍內(nèi)存在有限個控制時域可達集或可控集相交的中間穩(wěn)態(tài)點,滿足如下假設(shè).

或可表述為

注1.假設(shè)4包括的情況,大多數(shù)非特殊性連續(xù)化工切換系統(tǒng)在采樣時間足夠短的情況下,其離散表述均能滿足假設(shè).

2 基于耗散性條件的全局優(yōu)化運行EMPC

對于具有穩(wěn)態(tài)運行需求的化工過程,需保證任一模式下的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定在穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點切換過程中,由于控制時域N受計算負擔限制,新模式的穩(wěn)態(tài)點對于舊模式當前狀態(tài)常常是控制時域內(nèi)不可達的,即且本文采取的策略如圖1所示,首先,該切換算法優(yōu)化求解可行中間穩(wěn)態(tài)點使其滿足條件(8)和(9).其次,將狀態(tài)依次經(jīng)濟轉(zhuǎn)移至中間穩(wěn)態(tài)點最終進入中.由于EMPC在保證穩(wěn)定性上更具復雜性,問題的難點在于局部EMPC算法如何使狀態(tài)偏離該模式下的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點,并漸近穩(wěn)定至中間穩(wěn)態(tài)點,并在有限時間Tp內(nèi)完成經(jīng)濟切換.

圖1 模式間切換策略Fig.1 Modes switching strategy

為后文闡述方便,本文將先進控制層EMPC需動態(tài)實時求解的如下非線性約束優(yōu)化問題表述為

注2.不同于MPC,性能指標l非凸非正定.

首先介紹EMPC中與穩(wěn)定性相關(guān)的重要定義與引理.

通過耗散性條件,將經(jīng)濟性能指標轉(zhuǎn)化為正定的旋轉(zhuǎn)性能指標,并附加終端等式約束保證遞推可行性,同時旋轉(zhuǎn)性能指標控制下的控制問題與原問題同解,與旋轉(zhuǎn)性能指標相關(guān)的李雅普諾夫函數(shù)保證穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點的漸近穩(wěn)定.本文接下來的內(nèi)容,將先提出一種保證任一可行穩(wěn)態(tài)點漸近穩(wěn)定的EMPC算法,再闡述與該算法對應的系統(tǒng)模式間切換策略.

2.1 適用于非穩(wěn)態(tài)目標優(yōu)化點的EMPC

注4.給定滿足定理1假設(shè)條件的正定連續(xù)函數(shù),如已經(jīng)設(shè)計好的MPC性能指標,可通過條件(13) 確定進而找到

注5.由定理1知,可以理解為給系統(tǒng)提供耗散性質(zhì)的函數(shù).

由定理3的證明過程,可得上界ˉδ.考慮到實際應用時可操作性,可由下述約束優(yōu)化問題的優(yōu)化函數(shù)最優(yōu)值替代滿足

2.2 非線性切換系統(tǒng)的經(jīng)濟預測控制

考慮實際化工生產(chǎn)系統(tǒng)工作特點,默認當系統(tǒng)接到切換至i+1模式的切換請求時已穩(wěn)定工作在工作步驟如下:

步驟 2.首次迭代時,系統(tǒng)接到切換請求,并根據(jù)下一模式信息確定中間穩(wěn)態(tài)點的個數(shù)pi,pi+1,進入步驟 2.1;否則,若pi?=1且pi+1?=0,則進入步驟2.2;若pi=1,pi+1=0,則目標點設(shè)置為上次迭代備用穩(wěn)態(tài)點進入步驟3.

步驟2.1.置pi=1,pi+1=0.此時當前狀態(tài)參考文獻 [19]求解從穩(wěn)態(tài)點之間是否存在可行軌跡.其中,np=pi+pi+1,κ1=pi(N+1),κ2=(np+1)(N+1)?1.若無解,依次增大pi,pi+1:pi=1,pi+1=1,pi=2,pi+1=1···,直到中間點問題(23)存在可行解.

步驟4.更新pi,pi+1.若pi＞0,則pi=pi?1,pi+1=pi+1;否則,pi=pi,pi+1=pi+1?1.

注9.中間點問題及輔助性能指標的構(gòu)造具有較大的計算量,在RTO層中求解.該切換算法要求準備時間Tp應至少滿足Tp≥N×pi.因此,若準備時間非常短時,可以考慮改變步驟2.1中初始求解中間點個數(shù)時的策略.

注 10.若m?=m′,表示實際系統(tǒng)即將發(fā)生切換.Tp足夠長時,實際切換信號由狀態(tài)決定,系統(tǒng)狀態(tài)到達時發(fā)生切換;Tp受限時,切換信號由時間決定,實際切換時刻即為τi+Tp.因此,

注 11.由于輔助序列(24)為滿足動態(tài)模型的狀態(tài)與輸入軌跡,因此問題(25)每一時刻都滿足遞推可行性,在約束集內(nèi)均有可行解.

注12.在第一次運算確定好pi,pi+1后,步驟2每次迭代均有可行解,這是由于k=K+N+1時,由上一時刻問題(25)的最優(yōu)解可構(gòu)造從當前狀態(tài)到目標點的可行軌跡,同時與上次迭代步驟2獲得的從的最優(yōu)軌跡,共同構(gòu)成步驟2的初始可行解.

3 切換過程暫態(tài)經(jīng)濟性分析

對于終端等式約束,旋轉(zhuǎn)性能指標與原性能指標求解優(yōu)化問題下的優(yōu)化軌跡完全相同,且優(yōu)化問題最優(yōu)值只相差個常數(shù)項.因此:

求和號表示上式中對應向量在[0,Ts]時刻的累加,為與參數(shù)δ,函數(shù)αi,及切換時間TS,暫態(tài)過程時間τi+1?τi相關(guān)的誤差項.是求取中間點問題的最優(yōu)函數(shù)值.

2)切換時間受限,此時TS=Tp=K+N,K時刻狀態(tài)位于中間點鄰域:

考慮k∈[K,K+N):此時實時求解經(jīng)濟切換問題(25).K時刻,該問題與有相同最優(yōu)解與最優(yōu)軌跡且最優(yōu)值滿足關(guān)系:

后同可得式(34)和(35).

經(jīng)過分析,當準備時間受限時,采用步驟5的策略利用中間點問題得到的最優(yōu)軌跡構(gòu)造切換問題終端動態(tài)軌跡,暫態(tài)性能上與準備時間充足的情況有相類似的上界,該上界與中間點問題的最優(yōu)值、所選耗散函數(shù)α、差值函數(shù)γ、暫態(tài)過程時間有關(guān).

4 仿真驗證

考慮連續(xù)攪拌釜(Continuous stirred tank reactor,CSTR)系統(tǒng)[9],其中發(fā)生不可逆反應A→B,副反應B→C.具體描述如下:

其中,CA,CB,Cc表示產(chǎn)物中反應物A,產(chǎn)物B,C的濃度;T表示反應器溫度,Q表示提供給反應器的熱量,為可控變量;反應器的體積為V=1m3,與反應相關(guān)參數(shù)為:E1=5000kJ/kmol,E2=4000kJ/kmol,k1=176.94h?1,k2=10.88h?1,?H2=1.05×104kJ/kmol,?H1=1.15×104kJ/kmol.Cp=0.231kJ/kgK和ρ=1000kg/m3為反應器中液體的比熱容和密度,除此之外,常數(shù)R和F分別為8.314kJ/kmol,5m3/h.

圖2 在不同控制器下的穩(wěn)定性Fig.2 Stability ofunder different controller

圖3 在不同控制器下的穩(wěn)定性Fig.3 Stability ofunder different controller

圖4 采用NMPC及所提策略控制下的切換軌跡Fig.4 Comparing between proposed method and NMPC

采用本文第2.2節(jié)的切換策略實現(xiàn)切換,如圖4所示,t=75時系統(tǒng)接到切換請求,切換時間受限,t=130時系統(tǒng)進入式(25)的過渡過程,t=150時系統(tǒng)發(fā)生切換,并將狀態(tài)拉至新穩(wěn)態(tài)點.系統(tǒng)3個小時內(nèi)實際經(jīng)濟性能(每一時刻累加):MPC:Eco= ?483.5873,所提方法:Eco= ?484.9821.因此,式(7)所定義的切換系統(tǒng)暫態(tài)過程經(jīng)濟為所提方法較非線性MPC提高了43.17%.

5 結(jié)語

本文考慮了系統(tǒng)全局優(yōu)化運行時所涉及的模式間不斷切換對于經(jīng)濟性的需求,針對不同模式有限時域下控制算法可行域未必存在交集的系統(tǒng),基于耗散性條件設(shè)計了一種保證可行穩(wěn)態(tài)點漸近穩(wěn)定的EMPC及對應切換策略.該方法通過優(yōu)化求解可行中間穩(wěn)態(tài)點,并設(shè)計一系列EMPC局部控制器,在保證了中間點的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上使系統(tǒng)在模式間平穩(wěn)切換,暫態(tài)性能盡可能逼近原EMPC性能,可操作性強.仿真結(jié)果說明了方法的有效性.

1 Flemming T,Bartl M,Li P.Set-point optimization for closed-loop control systems under uncertainty.Industrial&Engineering Chemistry Research,2007,46(14):4930?4942

2 Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems,1999,19(5):59?70

3 Hespanha J P,Morse A S.Stability of switched systems with average dwell-time.In:Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control.Phoenix,AZ,USA:IEEE,1999,3:2655?2660

4 Li Shao-Yuan,Xi Yu-Geng.Switching smoothly of multimodel predictive control systems.Journal of Shanghai Jiaotong University,1999,33(11):1345?1347(李少遠,席裕庚.多模型預測控制的平滑切換.上海交通大學學報,1999,33(11):1345?1347)

5 Lin Xiang-Ze,Li Shi-Hua,Zou Yun.Output feedback stabilization of invariant sets for nonlinear switched systems.Acta Automatica Sinica,2008,34(7):784?791(林相澤,李世華,鄒云.非線性切換系統(tǒng)不變集的輸出反饋鎮(zhèn)定.自動化學報,2008,34(7):784?791)

6 Chai Tian-You,Zhang Ya-Jun.Nonlinear adaptive switching control method based on unmodeled dynamics compensation.Acta Automatica Sinica,2011,37(7):773?786(柴天佑,張亞軍.基于未建模動態(tài)補償?shù)姆蔷€性自適應切換控制方法.自動化學報,2011,37(7):773?786)

7 Wan Z Y,Kothare M V.Efficient scheduled stabilizing output feedback model predictive control for constrained nonlinear systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(7):1172?1177

8 Diehl M,Amrit R,Rawlings J B.A Lyapunov function for economic optimizing model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(3):703?707

9 Amrit R,Rawlings J B,Angeli D.Economic optimization using model predictive control with a terminal cost.Annual Reviews in Control,2011,35(2):178?186

11 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of nonlinear process systems using Lyapunov techniques.AIChE Journal,2012,58(3):855?870

12 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of switched nonlinear systems.Systems&Control Letters,2013,62(1):77?84

13 He De-Feng.Stabilizing economic model predictive control of constrained nonlinear systems.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1680?1690(何德峰.約束非線性系統(tǒng)穩(wěn)定經(jīng)濟模型預測控制.自動化學報,2016,42(11):1680?1690)

14 He D F,Sun J,Yu L.Economic MPC with a contractive constraint for nonlinear systems.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2016,26(18):4072?4087

15 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control for scheduled switching operations.In:Proceedings of the 2016 American Control Conference(ACC).Boston,MA,USA:IEEE,2016.1784?1789

16 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control with extended horizon.Automatica,2016,73:180?192

17 Angeli D,Amrit R,Rawlings J B.On average performance and stability of economic model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(7):1615?1626

19 Flores-Tlacuahuac A,Moreno S T,Biegler L T.Global optimization of highly nonlinear dynamic systems.Industrial&Engineering Chemistry Research,2008,47(8):2643?2655