張江華

(常州機電職業(yè)技術學院，江蘇 常州 213164)

直流電機無抖動滑模位置控制*

張江華

(常州機電職業(yè)技術學院，江蘇 常州 213164)

針對直流電機伺服系統(tǒng)中普遍存在的參數(shù)不確定性以及不確定性非線性等各種擾動，提出了一種基于擾動補償?shù)臒o抖動終端滑模位置控制策略，實現(xiàn)了直流電機伺服系統(tǒng)的高精度位置跟蹤控制。系統(tǒng)模型考慮了非線性摩擦特性以及外干擾等建模不確定性。所提出的全狀態(tài)控制器對連續(xù)非線性摩擦進行了前饋補償，進一步改善了系統(tǒng)的低速伺服性能；通過擴張狀態(tài)觀測器對未建模干擾等不確定性進行估計并前饋補償，提高了系統(tǒng)對外干擾的魯棒性。同時，所設計的控制器還能保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)，提高了系統(tǒng)的快速跟蹤性能。最終，通過對比的仿真結果對其進一步工程應用具有實際指導意義。

直流電機；終端滑模；擴張狀態(tài)觀測器；運動控制

0 引言

直流電機伺服系統(tǒng)由于其響應的速度快、傳動的效率高以及維護方便等一系列優(yōu)點，而被廣泛地應用于國防、航空航天、民用工業(yè)等領域[1-3]。隨著這些領域的不斷快速發(fā)展，對其跟蹤性能的要求也越來越高，而系統(tǒng)的性能則與控制器的設計密切相關。直流電機伺服系統(tǒng)是一個典型的不確定以及非線性的系統(tǒng)，在設計控制器的過程中會面臨許多建模的不確定性，包括結構不確定性(如隨環(huán)境、工況等變化的參數(shù)不確定性等)以及非結構不確定性(如未建模動態(tài)、外部擾動等)，這些存在的不確定性因素可能會使系統(tǒng)期望的控制性能得到嚴重惡化，導致不理想的控制精度，產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，甚至使所設計的控制器不穩(wěn)定，從而使控制器的設計變得困難[1]。

針對考慮電機伺服系統(tǒng)中存在的各種不確定性的位置控制策略，學者們進行了大量的研究，主要有反饋線性化[4-5]、自適應魯棒[3,6-7]以及滑模[8-11]等控制方法。反饋線性化控制方法可以保證系統(tǒng)的高性能，但是其前提是所建立的數(shù)學模型必須非常準確，而在實際應用中獲取系統(tǒng)的準確數(shù)學模型是比較困難的。自適應魯棒控制方法[12]能夠?qū)σ活愅瑫r存在結構不確定性和非結構不確定性的系統(tǒng)進行有效的控制，然而隨著外部干擾的不斷增大，其可能會使系統(tǒng)的跟蹤性能變差，甚至使整個系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。較強的外干擾意味著較差的跟蹤性能，這是非線性自適應魯棒控制器在實際使用時暴露出來的主要問題。而存在的一些觀測器比如擴張狀態(tài)觀測器[13]能夠?qū)ο到y(tǒng)中存在的強干擾予以有效的估計?；？刂品椒▽ο到y(tǒng)中存在的一些不確定性有很強的魯棒性，其主要包括一般的線性滑?？刂芠8]和終端滑模控制[9-11]等。但是傳統(tǒng)的滑模控制器可能會存在抖動現(xiàn)象，同時終端滑?？刂破骺赡軙嬖谄娈愋詥栴}。

本文為解決現(xiàn)有直流電機伺服系統(tǒng)控制中常被忽略的系統(tǒng)建模不確定性、實際使用時存在的高增益反饋及基于傳統(tǒng)的滑?？刂破鞔嬖诙秳蝇F(xiàn)象的問題，建立了包含連續(xù)靜態(tài)摩擦模型的非線性系統(tǒng)模型，提出一種基于擾動補償?shù)闹绷麟姍C伺服系統(tǒng)無抖動滑模位置控制策略。本文將利用擴張狀態(tài)觀測器對直流電機伺服系統(tǒng)中可能存在的大的擾動進行實時地估計，并在設計控制器的過程中利用這些估計的擾動值進行補償。所提出的控制方法為全狀態(tài)反饋控制且其控制電壓連續(xù)，十分有利于在工程實際中得到應用。對比的仿真結果驗證了本文所提出控制策略的有效性和先進性。

1 直流電機伺服系統(tǒng)非線性數(shù)學模型

在建立直流電機伺服系統(tǒng)非線性模型時，主要有考慮系統(tǒng)的電氣動態(tài)和不考慮系統(tǒng)的電氣動態(tài)兩種形式。當直流電機伺服系統(tǒng)中的驅(qū)動器內(nèi)固化的電流環(huán)控制器動態(tài)過程比較慢時，則基于考慮系統(tǒng)的電氣動態(tài)的模型會更加有效，反之則不需要考慮系統(tǒng)的電氣動態(tài)[14]。實際應用的電機，其電氣過程大多相當快，所以不需要考慮系統(tǒng)的電氣動態(tài)，若考慮反而使得控制器設計變得困難同時其控制性能也未必能得到有效的提高。因此，根據(jù)牛頓第二定律，建立直流旋轉電機位置伺服系統(tǒng)(如圖1所示)的運動學方程如下：

(1)

圖1 直流電機伺服系統(tǒng)

本文選取如下所示的連續(xù)靜態(tài)摩擦模型為[2]：

(2)

y=x1

(3)

式中，θ1=kf/J，θ2=B/J，θ3=l1/J，θ4=l2/J，η(t,x)=d(t,x)/J，并且參數(shù)θ1、θ2、θ3、θ4均為已知的名義值，所有參數(shù)偏差造成的不確定性影響都可以歸結到系統(tǒng)中總的干擾η(t,x)中。

2 基于擾動補償?shù)幕？刂破髟O計

控制器設計的目標是使直流旋轉電機伺服系統(tǒng)的位置輸出x1盡可能準確地跟蹤期望跟蹤的位置指令x1d，同時對系統(tǒng)存在的總干擾η(t,x)具有良好的魯棒性。

2.1 設計擴張狀態(tài)觀測器估計擾動

(4)

根據(jù)擴張后的狀態(tài)方程(4)，設計擴張狀態(tài)觀測器為[15]：

(5)

(6)

(7)

根據(jù)矩陣W的定義可知其滿足赫爾維茨準則，因而存在一個正定且對稱的矩陣P，使得WTP+PW=-I成立。

引理[16]：若h0(t)有界，則系統(tǒng)的狀態(tài)及總干擾的估計誤差總是有界的并且存在常數(shù)δi>0以及有限時間T1>0使得：

(8)

2.2 控制器設計

選取終端滑模面為：

(9)

式中，s為選取的終端滑模面；c1、c2是常數(shù)且其多項式p2+c2p+c1(p為拉普拉斯算子)滿足滿足赫爾維茨準則，即多項式的所有特征根在復平面的左半平面；α1=α/(2-α)，α2=α，α為常數(shù)且α∈(0,1)；e1=x1-x1d為系統(tǒng)的跟蹤誤差，其中x1d是系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令，并假設此指令值是關于時間二階連續(xù)可微的；sign(·)為標準符號函數(shù)。

(10)

設計的基于擾動補償?shù)碾姍C伺服系統(tǒng)無抖動滑?？刂破魅缦拢?/p>

(11)

2.3 穩(wěn)定性證明

基于非線性直流電機伺服系統(tǒng)所設計的基于擾動補償?shù)臒o抖動終端滑模位置控制器將會使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)以指數(shù)收斂速率到達滑模面s=0，然后將會沿著滑模面s=0在有限時間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)。

根據(jù)控制理論中系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[17-19]，選取李亞普諾夫方程為：

(12)

運用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論進行穩(wěn)定性證明，對式(12)求導，并將公式(10)、公式(11)帶入求導后的李亞普諾夫方程可得：

(13)

(14)

由于0<ρ<1，1<1/[ρ+(1-ρ)e-φ|s|γ]<1/ρ，因此可得：

(15)

當系統(tǒng)狀態(tài)到達終端滑模面s時，則：

(16)

因此，系統(tǒng)的跟蹤誤差將會在有限時間內(nèi)趨于零，從而使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面s=0在有限時間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)[17-21]。

所提出的直流電機位置伺服系統(tǒng)非線性控制原理及流程如圖2所示。

圖2 電機伺服系統(tǒng)非線性控制原理及流程圖

3 仿真驗證

直流電機伺服系統(tǒng)參數(shù)為：慣性負載參數(shù)J=0.05kg·m2；力矩放大系數(shù)kf=5N·m/V；粘性摩擦系數(shù)B=4N·m·s/rad；連續(xù)摩擦模型參數(shù)q1=750，q2=20，q3=2，l1=0.15，l2=0.1。為了驗證系統(tǒng)在所設計的控制器作用下對外干擾的魯棒性，擾動d(t)=2sin(2πt)(1-e-0.1t3)N·m，為了防止剛開始加入擾動之后產(chǎn)生沖擊作用，因此對擾動進行了光滑處理；系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令為曲線x1d=sin(πt)(1-e-0.1t3)rad，采用這樣的指令是確保其足夠光滑。仿真采樣步長為0.2ms。

本文將基于以下兩種控制器針對所建立的直流電機伺服系統(tǒng)非線性數(shù)學模型進行仿真對比。

(1)DCTSM：這是本文所設計的基于擾動補償?shù)慕K端滑模位置控制器，經(jīng)過不斷反復調(diào)試，其控制器參數(shù)選取為ω0=480，α=9/16，c1=10，c2=7，E=50，ρ=0.8，φ=2，γ=2。

(2)PID：這是Proportion Integration Differentiation(比例積分微分)控制器[22]。其中PID控制器參數(shù)的選取步驟是：首先把比例增益湊試好，直到過渡過程基本穩(wěn)定，然后再調(diào)節(jié)積分增益消除余差，最后通過調(diào)節(jié)微分增益進一步提高控制效果。經(jīng)過不斷反復調(diào)試，其控制器參數(shù)選取為比例增益kp=1000，積分增益ki=200，微分增益kd=1。

圖3 DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤性能以及 DCTSM和PID控制器分別作用下系統(tǒng)的 跟蹤誤差曲線

圖4 擴張狀態(tài)觀測器對總干擾d(t) 的估計值以及其估計誤差曲線

圖5 ω0為0時DCTSM控制器作用下系統(tǒng) 的跟蹤性能以及跟蹤誤差曲線

圖3中上圖表示本文所設計的DCTSM控制器作用下其位置輸出跟蹤期望位置指令的曲線，下圖表示DCTSM和PID控制器分別作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差隨時間變化的曲線。從圖中可以明顯地看出，PID控制器作用下系統(tǒng)的最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為3×10-3左右而DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差幾乎為0，本文所設計的DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差遠遠小于PID控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差，大大的提高了系統(tǒng)的跟蹤性能，表現(xiàn)出良好的跟蹤性能，利于在直流電機伺服系統(tǒng)高精度位置控制場合應用。

圖4中上圖是擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)中的總干擾d(t)的估計值隨時間變化的曲線，下圖是其估計誤差隨時間變化的曲線。從圖中曲線可以看出其最大跟蹤誤差為0.1左右，約占總干擾值的5%，從而可得所設計的觀測器能夠準確地將系統(tǒng)中的大干擾估計出來。由于仿真中使用的是大的高頻干擾，因此其估計誤差會比小的低頻擾動相對大。當把擴張狀態(tài)觀測器的參數(shù)ω0置0，也就是在控制器設計時不使用該擴張狀態(tài)觀測器，仿真如圖5所示，系統(tǒng)的跟蹤性能會變得很差，從這個方面也表明了所設計的擴張狀態(tài)觀測器能有效估計并補償擾動。

圖6是DCTSM控制器作用下直流電機伺服系統(tǒng)的控制輸入電壓隨時間變化的曲線，從圖中可以清楚地看出所得到的控制輸入信號連續(xù)且有界，有利于在工程實際中應用。

圖6 DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的控制輸入曲線

4 結論

本文針對直流電機伺服系統(tǒng)高精度位置控制設計出了基于擾動補償?shù)慕K端滑模位置控制策略。該控制方法通過擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)中存在的未建模干擾等不確定性進行估計并前饋補償，極大地提高了系統(tǒng)對外干擾的魯棒性。所設計的控制器簡單并且其輸出電壓不會產(chǎn)生抖動及奇異現(xiàn)象，同時該控制器能保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)，通過Lyapunov函數(shù)證明了整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對比仿真結果表明，所提出的控制方法極大地提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，有利于在工程實際中應用。

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(編輯 李秀敏)

Free Chattering Sliding Mode Motion Control for DC Motors

ZHANG Jiang-hua

(Changzhou Institute of Mechatronic Technology, Changzhou Jiangsu 213164, China)

For all kinds of disturbances existing in DC motor servo systems such as parametric uncertainties and uncertain nonlinearities and so on, we propose a disturbance compensation based free chattering terminal sliding mode control strategy which implements high-precision position tracking control of DC motors. The established system model takes nonlinear friction characteristics and modeling uncertainties as well as external disturbances of the system into account. The proposed full state controller feedforward compensates the nonlinear continuous friction and further improves low-speed servo performance of the system. By utilizing an extended state observer to estimate the model uncertainties as well as external disturbances and feedforward compensating it, the robustness of the system to external disturbances has been improved. At the same time, the presented controller can guarantee the system state converge to the equilibrium state in a finite time, which improves the fast tracking performance of the system. Eventually, comparing simulation results do have practical guiding significance to the further engineering application.

DC motors; terminal sliding mode; extended state observer; motion control

1001-2265(2017)02-0089-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.02.022

2016-10-13；

2016-11-11

國家自然科學基金科研資助項目(51675279)

張江華(1973—)，男，浙江東陽人，常州機電職業(yè)技術學院副教授，碩士，研究方向為機-電-液伺服控制，非線性控制，(E-mail)zhj88000@163.com。

TH166;TG506

A