薛志飛 韓艷鏵

南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016

月球探測與開發(fā)離不開月球軟著陸技術(shù)。軟著陸有2種方式[1-2]：1)直接著陸；2)從圓形的環(huán)月停泊軌道變軌，進(jìn)入霍曼橢圓軌道，然后在其近月點(diǎn)開始連續(xù)制動(dòng)減速(稱為動(dòng)力下降)，最終軟著陸于月面。第2種方式可供著陸準(zhǔn)備的時(shí)間長，且著陸區(qū)域選擇性大，成為目前各國普遍采用的方式。在該方式中，動(dòng)力下降段的制導(dǎo)控制最為關(guān)鍵，衡量其性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是燃耗、在線計(jì)算量、魯棒性等[3]。目前動(dòng)力下降段制導(dǎo)技術(shù)的主流方式有2種：標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)法和顯式制導(dǎo)法[1]。

標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)法的思路是離線設(shè)計(jì)一條落月標(biāo)稱軌跡，然后在線跟蹤該軌跡。標(biāo)稱軌跡通常針對某性能指標(biāo)(如燃耗、航程等)經(jīng)過優(yōu)化計(jì)算得到[4-8]，然后對標(biāo)稱軌跡進(jìn)行跟蹤控制[9]。文獻(xiàn)[4-5]均采用偽譜法計(jì)算最優(yōu)軌跡。其中文獻(xiàn)[4]采用從可行解到最優(yōu)解的串行優(yōu)化策略求解，有利于快速收斂到最優(yōu)解，文獻(xiàn)[5]則通過遺傳算法對偽譜法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，確保其全局最優(yōu)性。文獻(xiàn)[6]根據(jù)龐特里亞金極小值原理推導(dǎo)了最優(yōu)推力開關(guān)方程，證明了推力奇異區(qū)間不存在，然后針對優(yōu)化模型中的復(fù)雜非線性約束，通過凸變換，轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，借助于內(nèi)點(diǎn)法得到全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[7]利用混合法思想和人工免疫算法研究了月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題?；旌戏ńY(jié)合了基于龐特里亞金極值原理的間接法和非線性規(guī)劃等直接法的優(yōu)點(diǎn)，而人工免疫算法提高了全局尋優(yōu)的可靠性和收斂速度。文獻(xiàn)[9]以極大值原理得出的最優(yōu)軌跡為基礎(chǔ)，給出了一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)非線性閉環(huán)控制律，來跟蹤最優(yōu)標(biāo)稱軌跡。

標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)法的缺點(diǎn)是： 1)標(biāo)稱軌跡的規(guī)劃(特別是優(yōu)化)需要消耗較大的計(jì)算資源； 2)飛船下降段的初始條件偏差、或下降過程受到的內(nèi)外干擾，均可導(dǎo)致較大的落月偏差。

顯式制導(dǎo)法由于引入實(shí)時(shí)狀態(tài)反饋，故有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[2]為動(dòng)力下降的3個(gè)階段(即制動(dòng)段、接近段和最終下降段)分別設(shè)計(jì)了解析形式的制導(dǎo)律，但由于制導(dǎo)律的簡化計(jì)算給最終著陸段的軌跡帶來較大偏差。文獻(xiàn)[10]在制動(dòng)和接近段采用多項(xiàng)式制導(dǎo)，根據(jù)實(shí)時(shí)位置、速度修正控制量。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于改進(jìn)的ZEM/ZEV算法和模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃(MPSP)的多約束燃料次優(yōu)制導(dǎo)方法，用于月球精確軟著陸，其重定向能力強(qiáng)，但在線計(jì)算量太大。文獻(xiàn)[12]針對最終下降段，設(shè)計(jì)了一種嵌套飽和函數(shù)形式的制導(dǎo)律和姿態(tài)控制律，并利用級(jí)聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明了著陸器最終能以合適的速度和豎直姿態(tài)落月。

本文提出一種月球飛船動(dòng)力下降段預(yù)測制導(dǎo)方法，充分利用月球無大氣層的特點(diǎn)，利用開普勒軌道力學(xué)，得到解析形式的軌跡和落點(diǎn)預(yù)測解，無需事先離線做大規(guī)模優(yōu)化計(jì)算，且在線計(jì)算量比基于數(shù)值預(yù)測的制導(dǎo)方法小得多，同時(shí)其魯棒性又明顯強(qiáng)于標(biāo)稱軌跡(含最優(yōu)軌跡)制導(dǎo)法，更適宜工程應(yīng)用。

1 動(dòng)力學(xué)建模

上面所提的第2種軟著陸方式如圖1所示。飛船在環(huán)月停泊軌道上進(jìn)行觀察，初步選定著陸點(diǎn)，從而確定在停泊軌道的哪個(gè)位置施加脈沖變軌，進(jìn)入霍曼轉(zhuǎn)移軌道，再在其近月點(diǎn)施加連續(xù)推力進(jìn)行制動(dòng)下降，最終軟著陸月面。如果選定的著陸點(diǎn)與環(huán)月停泊軌道不共面，可以在停泊階段改變軌道平面，使落月點(diǎn)與環(huán)月停泊軌道共面，則之后的霍曼轉(zhuǎn)移軌道和動(dòng)力下降段都與落月點(diǎn)共面，故本文研究的下降段只需要考慮縱向平面。

圖1 動(dòng)力下降示意圖

飛船相對于月心的位置用極坐標(biāo)(r,α)表示，其中，極徑r表示飛船到月心的距離，極角α如此定義：飛船動(dòng)力下降的始點(diǎn)定義為極角零點(diǎn)，并且以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。設(shè)飛船飛行速度為v，航跡傾角為γ。發(fā)動(dòng)機(jī)推力沿速度矢量的切向和法向的加速度分別為at和an，燃料的質(zhì)量比沖為Is。月球引力常數(shù)為μ=GMm，其中，G是萬有引力恒量，Mm是月球質(zhì)量，則動(dòng)力下降段飛船質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程如下:

(1)

質(zhì)量動(dòng)態(tài)如下:

(2)

自由飛行即不計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)推力時(shí)，可以證明[13]，飛船的軌跡是以月心為焦點(diǎn)的橢圓，方程如下:

(3)

其中,

f=α-ω

(4)

是飛船在橢圓軌道上的真近點(diǎn)角。ω是近月點(diǎn)角距。h是飛船質(zhì)量歸一化的動(dòng)量矩(下文簡稱動(dòng)量矩)，即

h=rvcosγ

(5)

飛船的質(zhì)量歸一化機(jī)械能(下文簡稱機(jī)械能)為

(6)

根據(jù)開普勒軌道力學(xué)，自由飛行時(shí)，飛船的動(dòng)量矩h和機(jī)械能ε均守恒。另外，可以根據(jù)飛船的動(dòng)量矩和機(jī)械能計(jì)算其軌道半長軸a和偏心率e，

(7)

(8)

飛船軌道運(yùn)動(dòng)的平均角速度為

(9)

飛船的即時(shí)月心距r、飛行速度v和航跡傾角γ可由導(dǎo)航設(shè)備實(shí)時(shí)測定，然后根據(jù)式(5)和(6)分別確定飛船動(dòng)量矩h和機(jī)械能ε，再根據(jù)式(8)確定其瞬時(shí)密切橢圓軌道的偏心率e，最后由方程(3)反解出其在瞬時(shí)軌道上的真近點(diǎn)角f如下

(10)

相應(yīng)的偏近點(diǎn)角E和平近點(diǎn)角M的計(jì)算式如下

(11)

M=E-esinE

(12)

當(dāng)飛船降落到距月表很近，飛行速度也較小，航跡傾角較大，從而縱程較小時(shí)，可視月表為平面，重力場近似為勻強(qiáng)場，此時(shí)飛船自由飛行的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程近似為

(13)

式中，g是月表重力加速度常數(shù)，Rm是月球半徑。飛船質(zhì)量動(dòng)態(tài)方程仍如式(2)。

2 預(yù)測制導(dǎo)

2.1 基本原理

預(yù)測制導(dǎo)的基本原理如圖2所示。

圖2 預(yù)測制導(dǎo)原理

預(yù)測制導(dǎo)思路如下： 1)導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)時(shí)測定飛船飛行狀態(tài)量(r,α,v,γ)，從而算得其動(dòng)量矩和機(jī)械能；然后按照自由飛行的開普勒軌道力學(xué)，確定瞬時(shí)密切橢圓軌道，并依據(jù)此瞬時(shí)軌道預(yù)測其落點(diǎn)位置(用落點(diǎn)極角表示)和速度，以及剩余飛行時(shí)間；根據(jù)預(yù)測的落點(diǎn)位置和速度，與期望的落點(diǎn)位置和速度比較，得到偏差量；2)控制算法根據(jù)預(yù)測的落點(diǎn)速度偏差和剩余飛行時(shí)間形成切向控制量，改變飛船速度，消除落點(diǎn)速度偏差；同時(shí)，根據(jù)預(yù)測的落點(diǎn)位置偏差形成法向控制量，改變飛船速度方向，消除落點(diǎn)位置偏差。

2.2 制導(dǎo)算法

如前所述，飛船從霍曼軌道的近月點(diǎn)開始連續(xù)制動(dòng)下降。霍曼軌道本身與月表無交會(huì)點(diǎn)。在減速過程中，飛船處于一系列連續(xù)變化的瞬時(shí)密切橢圓軌道上，當(dāng)某條瞬時(shí)軌道的近月點(diǎn)到月心的距離小于等于月球半徑Rm，表示該軌道與月表有交會(huì)點(diǎn)(下文統(tǒng)稱落月條件)，飛船沿該軌道自由飛行必能落月。但是落月點(diǎn)位置和速度未必滿足期望值，所以還需繼續(xù)施加切向和法向控制，不斷調(diào)整飛行狀態(tài)，使預(yù)測的落點(diǎn)狀態(tài)值趨近期望值。

據(jù)此將制導(dǎo)過程分為3個(gè)階段： 1)全力制動(dòng)階段；2)基于橢圓軌道的預(yù)測制導(dǎo)階段；3)基于近月面拋物線軌跡的預(yù)測制導(dǎo)階段。下面詳細(xì)闡述。

2.2.1 全力制動(dòng)階段

此段從霍曼軌道近月點(diǎn)開始，切向控制量取負(fù)的峰值，法向控制量取0，即

(14)

直至滿足落月條件。由于瞬時(shí)橢圓軌道近月點(diǎn)的真近點(diǎn)角f一定為0，且預(yù)測落點(diǎn)是基于飛船自由飛行時(shí)的開普勒軌道進(jìn)行的，動(dòng)量矩h守恒，偏心率e是常數(shù)，將式(5)，(6)和(8)，及f=0代入式(3)，得到近月點(diǎn)的月心距為

(15)

落月條件是rp≤Rm。

2.2.2 基于橢圓軌道的預(yù)測制導(dǎo)階段

此階段的預(yù)測制導(dǎo)如圖3。

圖3 基于橢圓軌道的預(yù)測制導(dǎo)示意圖

飛船當(dāng)前時(shí)刻在瞬時(shí)軌道上的真近點(diǎn)角可將式(5)，(6)和(8)代入式(10)計(jì)算得

(16)

近月點(diǎn)角距根據(jù)式(4)得

ω=α-f

(17)

其中，極角α由導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)時(shí)測定。

下面根據(jù)自由飛行預(yù)測落點(diǎn)真近點(diǎn)角f*。

(18)

相應(yīng)的落點(diǎn)極角預(yù)測值為

α*=f*+ω

(19)

設(shè)落點(diǎn)極角期望值為αc，則預(yù)測落點(diǎn)位置偏差(用極角表示，下文類同)為

Δα=α*-αc

(20)

落點(diǎn)速度可根據(jù)機(jī)械能守恒來預(yù)測。設(shè)落點(diǎn)速度的預(yù)測值為v*，則根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)(r,v)計(jì)算的機(jī)械能與根據(jù)落點(diǎn)狀態(tài)(Rm,v*)計(jì)算的機(jī)械能應(yīng)相等，可解得

(21)

設(shè)落點(diǎn)速度的期望值為vc，則預(yù)測落點(diǎn)速度偏差為

Δv=v*-vc

(22)

下面預(yù)測剩余飛行時(shí)間tgo。

將當(dāng)前真近點(diǎn)角f代入式(11)和(12)，計(jì)算出相應(yīng)的偏近點(diǎn)角E和平近點(diǎn)角M。將預(yù)測的落點(diǎn)真近點(diǎn)角f*代入式(11)和(12)，計(jì)算出相應(yīng)的偏近點(diǎn)角E*和平近點(diǎn)角M*如下

(23)

式中，偏心率e根據(jù)當(dāng)前飛行狀態(tài)(r,v,γ)由式(5)，(6)和(8)聯(lián)立計(jì)算。

首先使用水利普查基層登記臺(tái)賬管理系統(tǒng)菜單中的“對象清查清查瀏覽”功能，點(diǎn)擊業(yè)務(wù)分類的每一項(xiàng)，通過“導(dǎo)出EXCEL”功能，分別形成與Q201～Q803內(nèi)容對應(yīng)的24張瀏覽表，如表Q201（水庫工程）導(dǎo)出名為“VIEW_Q201_0.XLS”。為了避免數(shù)據(jù)的無序性和方便后面的操作，應(yīng)在軟件中先按水利普查自動(dòng)生成的編碼排序后再導(dǎo)出數(shù)據(jù)。

飛船在當(dāng)前軌道上的平近點(diǎn)角和預(yù)測落點(diǎn)的平近點(diǎn)角差為

ΔM=M-M*

(24)

則預(yù)測的剩余飛行時(shí)間

(25)

式中，n是平均軌道角速度。將式(6)，(7)和(9)代入式(25)得

(26)

切向控制at用來減小飛船速度，消除落點(diǎn)速度偏差，故為

(27)

法向控制an用來改變飛船速度方向，即航跡傾角，消除落點(diǎn)位置偏差，故設(shè)計(jì)為

an=knΔα

(28)

式中，kn是負(fù)的常數(shù)，其物理意義是：如果預(yù)測落點(diǎn)超前期望落點(diǎn)，則通過法向推力“壓低”軌道，縮短射程；否則，通過法向推力“抬高”軌道，增加射程。

此階段結(jié)束的標(biāo)志為：|f-f*|≤σ，其中，σ>0為預(yù)設(shè)的門限值。

2.3 基于近月面拋物線軌跡的制導(dǎo)階段

根據(jù)式(13)按照近月面拋物線軌跡飛行力學(xué)，得到剩余飛行時(shí)間

(29)

由此可預(yù)測落點(diǎn)位置

(30)

落點(diǎn)速度的預(yù)測仍可基于機(jī)械能守恒，易算出：

(31)

根據(jù)以上對三階段制導(dǎo)原理的描述，可將其綜合概括為圖4。

圖4 分段預(yù)測制導(dǎo)原理

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提出的預(yù)測制導(dǎo)律，對飛船軟著陸動(dòng)力下降段進(jìn)行仿真。

表1 仿真入口參數(shù)

表1中，h0,r0,α0,v0,γ0,m0是飛船在霍曼軌道近月點(diǎn)即動(dòng)力下降初始點(diǎn)的狀態(tài)；xc是相應(yīng)于αc的月表縱程，即落點(diǎn)縱程的期望值。

為了驗(yàn)證本文預(yù)測制導(dǎo)的魯棒性，仿真中考慮了霍曼軌道近月點(diǎn)處飛船的速度偏差，即飛船在此點(diǎn)的實(shí)際速度相對于標(biāo)稱值v0的偏差，用Δv0表示，其數(shù)值見表1，并且與基于燃耗最省的標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)仿真結(jié)果進(jìn)行對比，仿真結(jié)果如圖5～10。

圖5 標(biāo)稱初始條件下飛船下降軌跡

圖6 標(biāo)稱初始條件下飛船質(zhì)量變化曲線

圖7 初始速度偏差時(shí)飛船下降軌跡

圖8 初始速度偏差時(shí)飛船速度曲線

圖9 初始速度偏差時(shí)飛船航跡傾角曲線

圖10 初始速度偏差時(shí)飛船推力曲線

圖中,橫坐標(biāo)x表示飛船在月表的飛行縱程。圖5～6為在標(biāo)稱初始條件即在霍曼軌道近月點(diǎn)月表距15km、速度v0=1.69×103(m/s)下，基于標(biāo)稱最優(yōu)軌跡制導(dǎo)和本文預(yù)測制導(dǎo)的仿真結(jié)果對比，可見前者落月位置誤差達(dá)351m(將優(yōu)化好的控制量時(shí)間序列代入飛行器動(dòng)力學(xué)方程用龍格庫塔遞推得到)，而本文預(yù)測制導(dǎo)律僅為3.6m，但是前者燃耗僅為616kg，而本文預(yù)測制導(dǎo)燃耗為1080kg。圖7為存在初始速度偏差Δv0的情況下，基于標(biāo)稱最優(yōu)軌跡制導(dǎo)和本文預(yù)測制導(dǎo)的下降軌跡，可見前者落月位置誤差達(dá)3.57km，而本文預(yù)測制導(dǎo)律落月位置誤差僅為5.8m。

圖8～9為存在初始速度偏差的情況下，基于本文預(yù)測制導(dǎo)的飛船速度、航跡傾角、發(fā)動(dòng)機(jī)推力曲線，可以看出飛船在滿足推力限幅條件下以0.3m/s垂直落月，實(shí)現(xiàn)了軟著陸。

以上仿真結(jié)果表明，雖然基于燃耗最省的最優(yōu)標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)能節(jié)省動(dòng)力下降段燃耗，但是其落月精度不如預(yù)測制導(dǎo)。特別是其對初始狀態(tài)攝動(dòng)很敏感，較小的初始速度偏差即可導(dǎo)致較大的落月位置誤差。而本文預(yù)測制導(dǎo)有較強(qiáng)魯棒性，其落月位置仍然保持了很高的精度。本文基于解析預(yù)測的制導(dǎo)律相較于最優(yōu)標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)律，在計(jì)算資源消耗方面的優(yōu)勢就更明顯了。

4 結(jié)論

對月球軟著陸動(dòng)力下降段制導(dǎo)控制方法進(jìn)行了研究。首先對軟著陸過程進(jìn)行了分析，簡化了下降段動(dòng)力學(xué)模型，然后針對二維平面模型設(shè)計(jì)了預(yù)測制導(dǎo)算法，提出了基于落點(diǎn)位置偏差和速度偏差的閉環(huán)制導(dǎo)律。該方法所涉及的變量都能根據(jù)解析表達(dá)式計(jì)算，形式簡單，便于工程上快速在線實(shí)現(xiàn)。

數(shù)值仿真部分，在月球飛船動(dòng)力下降有初始偏差的條件下，對本文所提預(yù)測制導(dǎo)方法和基于最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的制導(dǎo)方法進(jìn)行了對比，結(jié)果證明了本文方法的優(yōu)勢。

[1] 李爽, 陶婷, 江秀強(qiáng), 等. 月球軟著陸動(dòng)力下降制導(dǎo)控制技術(shù)綜述與展望[J]. 深空探測學(xué)報(bào), 2015, 2(2): 111-119.(Li Shuang, Tao Ting, Jiang Xiuqiang, et al. Review and Prospect of the Powered Descent Guidance and Control Technologies for Lunar Soft Landing [J]. Journal of Deep Space Exploration, 2015, 2(2): 111-119.)

[2] 王鵬基, 張熇, 曲廣吉. 月球軟著陸制動(dòng)段飛行軌跡與制導(dǎo)律研究[J]. 飛行力學(xué), 2007, 25(3): 62-66.(Wang Pengji, Zhang He, Qu Guangji. Research on the Descending Trajectory and Guidance for Braking Phase of Lunar Soft-Landing[J]. Flight Dynamics, 2007, 25(3): 62-66.)

[3] Ueno S, Yamaguchi Y. 3-dimensional Near -minimum Fuel Guidance Law of a Lunar Landing Module[C]. AIAA-99-3983.

[4] 彭祺擘, 李海陽, 沈紅新. 基于高斯偽譜法的月球定點(diǎn)著陸軌道快速優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2010, 31(4): 1012-1016.(Peng Qibo, Li Haiyang, Shen Hongxin. Rapid Lunar Exact-Landing Trajectory Optimization via Gauss Pseudospectral Method [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(4): 1012-1016.)

[5] 梁棟, 劉良棟, 何英姿. 月球精確軟著陸最優(yōu)標(biāo)稱軌跡在軌制導(dǎo)方法[J]. 中國空間科學(xué)技術(shù), 2011, 31(6): 27-35.(Liang Dong. Liu Liangdong, He Yingzi. On-board Optimal Nominal Trajectory Guidance Method for Lunar Pinpoint Soft Landing[J]. Chinese Space Science and Technology, 2011, 31(6): 27-35.)

[6] 林曉輝, 于文進(jìn). 基于凸優(yōu)化理論的含約束月球定點(diǎn)著陸軌道優(yōu)化[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2013, 34(7): 901-908.(Lin Xiaohui, Yu Wenjin. Constrained Trajectory Optimization for Lunar Pin-point Landing based on Convex Optimization Theory[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(7): 901-908.)

[7] 彭坤, 果琳麗, 向開恒,等. 基于混合法的月球軟著陸軌跡優(yōu)化[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 40(7): 910-915.(Peng Kun, Guo Linli, Xiang Kaiheng, et al. Optimization of Lunar Soft Landing Trajectory based on Hybrid Method[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2014, 40(7): 910-915.)

[8] Ma L, Shao Z, Chen W, et al. Trajectory Optimization for Lunar Soft Landing with a Hamiltonian-based Adaptive Mesh Refinement Strategy[J]. Advances in Engineering Software, 2016, 100: 266-276.

[9] Wang Dayi, Qiao Guodong, Li Tieshou. FNN Guidance Control for Lunar Optimal Trajectory Tracking Descent[J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(5): 1149-1155.

[10] Parsley J. Near-optimal Feedback Guidance for an Accurate Lunar Landing[D]. University of Alabama, 2012.

[11] Zhang B, Tang S, Pan B. Multi-constrained Suboptimal Oowered Descent Guidance for Lunar Pinpoint Soft Landing[J]. Aerospace Science and Technology, 2016, 48: 203-213.

[12] 胡錦昌, 張洪華. 月球著陸器最終下降段的制導(dǎo)與控制方法研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2012, 33(11): 1577-1585.(Hu Jinchang, Zhang Honghua. Guidance and Control Method for Lunar Lander′s Final Descent Phase[J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(11): 1577-1585.)

[13] Curtis H D. 軌道力學(xué)[M]. 周建華, 等, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 2009: 25-99.(Curtis H D. Orbital Mechanics for Engineering Students[M]. Zhou Jianhua, et al. Translated. Beijing: Science Press, 2009: 25-99.)