浦天舒，姜若詩，楊 波，宮繼斌

(東華大學 理學院，上海 201620)

利用靈敏電流計研究電磁動量

浦天舒，姜若詩，楊 波，宮繼斌

(東華大學 理學院，上海 201620)

從場的觀點，分析靈敏電流計線圈在臨界阻尼運動狀態(tài)下電磁動量與機械動量的轉(zhuǎn)化情況. 由于電磁動量正比于線圈偏轉(zhuǎn)時的角位移，使難以測量的電磁動量成為宏觀上的可觀測量.

靈敏電流計；電磁動量；機械動量

電磁場是物質(zhì)的一種形態(tài)，具有能量和動量,但在基礎(chǔ)物理課程中對這一概念的解釋難以深入，其原因恐怕是公式推導(dǎo)涉及矢量分析甚至并矢(或張量)分析的緣故. 然而，如果能將抽象的概念與熟悉的基礎(chǔ)電磁學實驗聯(lián)系起來，如把場的動量跟可測的直觀物理量如靈敏電流計線圈的偏轉(zhuǎn)角度聯(lián)系起來，就有助于從場的觀點來理解電磁學的問題. 這樣，通過分析靈敏電流計線圈的運動，可以看出線圈的機械動量與場的電磁動量之間是如何轉(zhuǎn)化的.

1 電磁場的動量密度及電磁動量

設(shè)在具有電磁場(E,B)的空間中有自由電荷密度ρ以及自由電荷產(chǎn)生的電流密度J分布，則單位體積中ρ和J受到的力為

f=ρE+J×B.

(1)

對于媒質(zhì)中的電磁場，應(yīng)將束縛電荷及磁化電流在電磁場中所受的力也包括進來，那么電荷系統(tǒng)所受到的總的力密度應(yīng)為

f=(ρ+ρP)E+(J+JP+JM)×B.

(2)

ρ+ρP=·D-·P=ε0·E，

J=，

因此

把它們代入式(2)，得到

f= -

(3)

(4)

這樣定義的應(yīng)力并矢具有對稱形式. 體積分式(3)兩邊得到

∫Vfdv=-∫Vv.

(5)

將(5)式右邊第一項化成面積分，則有

(6)

對封閉面，當S→S∞， ∮ST·ds→0，因此ε0E×B可定義為電磁動量密度[1]，即定義

gem=ε0E×B,

(7)

或定義電磁動量(亦即Abraham動量[2])為

Gem=∫V(ε0E×B)dv,

(8)

(9)

式(9)表明：在有電磁場的情況下，如果沒有外力，不是機械動量守恒，而是機械動量與電磁動量之和守恒. 但若還存在外力，將引起總動量(Gmech+Gem)的改變.

2 靈敏電流計線圈運動時電磁動量與機械動量的轉(zhuǎn)化

具體到靈敏電流計線圈在磁場中的運動，當線圈通有電流，如果不計電流所產(chǎn)生的磁場對原來磁場的影響，則線圈受到的安培力便是外力，此外線圈懸絲的扭力也是外力，而電磁動量的變化則來自線圈切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電場的變化. 由感應(yīng)電場產(chǎn)生的感應(yīng)電流產(chǎn)生的電磁阻尼力矩使線圈的機械動量減小.

根據(jù)以上受力分析，靈敏電流計線圈受到線圈電流產(chǎn)生的電磁力矩以及懸絲的扭力矩和感應(yīng)電流產(chǎn)生的電磁阻尼力矩的作用，其運動方程為

(10)

(11)

式中θ為線圈偏轉(zhuǎn)的角度，J為線圈的轉(zhuǎn)動慣量，B為線圈所在位置由永久磁鐵產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，Ig為線圈平衡時通過的電流，a和b為矩形線圈的邊長(線圈面積為ab)，n為線圈匝數(shù)，D為懸絲的扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)，R為線圈回路的電阻(包括內(nèi)阻及外電路電阻). 其中式(10)為給線圈瞬間通以電流(穩(wěn)態(tài)值為Ig)后線圈的運動方程；式(11)為通有電流Ig的線圈突然斷電后線圈的運動方程. 根據(jù)對常微分方程的解的分析可知，線圈有臨界阻尼、過阻尼和欠阻尼3種運動狀態(tài)，但從場的觀點看，也可以從電磁動量和機械動量轉(zhuǎn)化的角度來分析3種情況下線圈的運動特性.

(12)

(13)

為了能與式(12)比較，把式(13)改寫成

(14)

而

(15)

亦可改寫成

(16)

圖1 臨界阻尼狀態(tài)下線圈的電磁動量和機械動量的時間變化率隨時間的相對變化

斷電瞬間，雖然Ig=0，但因線圈在磁場中偏轉(zhuǎn)時產(chǎn)生感應(yīng)電場，所以電磁動量并不為零. 通過解式(11)可知電磁動量和機械動量變化的趨勢跟通電時的情況正好相反.

從以上分析可見，由于存在外力，電磁動量與機械動量不同步，而是有時間上的滯后，對于過阻尼或欠阻尼運動狀態(tài)也是如此.

圖2 臨界阻尼狀態(tài)下線圈的電磁動量和機械動量隨時間的相對變化

3 結(jié)束語

動量表現(xiàn)為力在時間上的積累. 因為在給電流計瞬間通電時，3種運動狀態(tài)下的機械動量最后都趨于零，所以外力的時間積累最后都表現(xiàn)為電磁動量，如圖2所示(但在欠阻尼狀態(tài)下電磁動量不是單調(diào)地增加). 另外，因電磁動量的數(shù)值非常小，一般情況下難以測量，但由于電磁動量跟線圈的偏轉(zhuǎn)角度成正比，使得電磁動量成為宏觀上的可觀測量，而且靈敏電流計特性測量又是電磁學的基礎(chǔ)實驗，因此以上分析有助于通過機械動量與電磁動量的轉(zhuǎn)換從場的觀點認識靈敏電流計線圈偏轉(zhuǎn)時電磁動量變化的原因：即電磁動量的變化來自于感應(yīng)電場的變化，即感應(yīng)電流的變化反映了電磁動量的變化，而法拉第電磁感應(yīng)定律本質(zhì)上反映了機械動量與電磁動量的轉(zhuǎn)化與守恒定律[3].

[1] Stratton J A. Electromagnetic theory[M]. New York: McGraw-Hill， 1941:99-102.

[2] 杰克遜J D. 經(jīng)典電動力學(上冊)[M]. 朱培豫，譯. 北京:人民教育出版社，1978:265.

[3] 張澤瑜,趙鈞. 電動力學[M]. 北京:清華大學出版社,1987:108.

[責任編輯：尹冬梅]

Research on electromagnetic momentum by sensitive galvanometer

PU Tian-shu, JIANG Ruo-shi, YANG Bo, GONG Ji-bin

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

Transformation between electromagnetic momentum and mechanical momentum in the critical running of the coil of a sensitive galvanometer was analyzed in terms of electromagnetic field. It was shown that the electromagnetic momentum was proportional to the angular displacement of the coil so that the electromagnetic momentum, the measurement of which is generally difficult, became a macroscopically measurable quantity.

sensitive galvanometer; electromagnetic momentum; mechanical momentum

2016-05-20

浦天舒(1960-)，男，上海人，東華大學理學院副教授，學士，主要從事物理光學、微波技術(shù)的教學與科研工作.

O441.5

A

1005-4642(2017)02-0017-03

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文