周 莎， 張 偉， 于天俊， 楊曉東

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124； 2. 機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室，北京 100124)

橫搖和縱搖非線性耦合下船舶運動的全局動力學(xué)

周 莎1，2， 張 偉1,2， 于天俊1,2， 楊曉東1,2

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124； 2. 機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室，北京 100124)

針對橫搖和縱搖非線性耦合下船舶的混沌運動，首次應(yīng)用能量相位法研究了船舶動力系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階主共振情形下系統(tǒng)的全局分叉及多脈沖混沌動力學(xué)行為，揭示了船舶運動存在模態(tài)作用、能量轉(zhuǎn)移和多脈沖混沌運動的機理，并給出了船舶系統(tǒng)發(fā)生多脈沖混沌運動的參數(shù)區(qū)間。數(shù)值模擬驗證了橫搖和縱搖非線性耦合下船舶運動系統(tǒng)存在多脈沖混沌運動。

船舶動力學(xué)；非線性耦合；能量相位法；多脈沖混沌運動

縱浪尤其是迎浪航行是船舶最為常見的航行狀態(tài)，若按傳統(tǒng)的線性理論，由于沒有受到橫向干擾力，船舶橫搖運動幅值應(yīng)該近似為零。但許多航海記錄及模型試驗都發(fā)現(xiàn)了船舶在縱浪中也會產(chǎn)生橫搖運動。FROUDE[1]首次在船模實驗中發(fā)現(xiàn)縱浪中的船?？v搖運動與橫搖運動相互耦合。PAULLING等[2]將縱搖視為諧和運動，并忽略阻尼的影響，得到了參數(shù)激勵的Mathieu方程。NAYFEH等[3]，研究了規(guī)則縱浪中，考慮阻尼因素的橫搖及縱搖耦合動力學(xué)方程，利用多尺度方法研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)船舶縱搖頻率接近橫搖頻率兩倍且波浪頻率接近縱搖頻率時，存在縱搖運動“飽和”及能量向橫搖運動滲透的現(xiàn)象。YANG等[4]針對軸向運動梁的縱向與橫向耦合非線性動力學(xué)的研究也發(fā)現(xiàn)此類現(xiàn)象。

除前述的船舶非線性動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運動下不同模態(tài)間通過內(nèi)共振發(fā)生能量相互傳遞外，船舶橫搖及縱搖運動相互耦合下會發(fā)生復(fù)雜的混沌運動，此前的學(xué)者主要針對橫搖運動的非線性動力學(xué)模型，利用微分動力系統(tǒng)理論、分叉及混沌理論來研究橫搖運動，取得了很大進展[5-6]，但考慮橫搖及縱搖非線性耦合下開展相應(yīng)高維系統(tǒng)混沌的解析預(yù)測尚未見報道。

能量相位法[7-10]是研究高維非線性系統(tǒng)全局分叉和多脈沖混沌運動的一種全局?jǐn)z動方法。能量相位法以相位準(zhǔn)則和能量準(zhǔn)則為前提，解析的預(yù)測工程實際問題中混沌振動出現(xiàn)的條件。

本文首次將能量相位法應(yīng)用于橫搖和縱搖非線性耦合下船舶動力學(xué)模型，研究了該動力學(xué)系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階模態(tài)主共振的情形下系統(tǒng)的全局分叉和多脈沖混沌動力學(xué)行為，揭示了船舶運動存在模態(tài)作用、能量轉(zhuǎn)移、多脈沖跳躍和多脈沖混沌運動的機理，并給出了船舶動力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生多脈沖混沌運動的參數(shù)區(qū)間。

1 標(biāo)準(zhǔn)方程

NAYFEH等[11]給出了船體在頻率為Ω的規(guī)則波浪下繞縱軸的橫搖u1和繞橫軸的縱搖u2的動力學(xué)方程為

(1)

式中:Fi(i=1,2)為激勵幅值;τi(i=1,2)為相位。

考慮式(2)共振關(guān)系

ω2=2ω1+εσ1,Ω=ω2+ε2σ2

(2)

和尺度變換

μ1→εμ1,μ2→εμ2,F1→εF1,F2→εF2,0<ε?1

應(yīng)用多尺度方法和正則變換可將式(1)轉(zhuǎn)化為擾動哈密頓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

式中:α=1/2Ω;f=F2/8Ω，哈密頓函數(shù)及耗散項為

(4a)

(4b)

gp=-2μ1p，gq=0

(4c)

gI=-2μ2I+(μ2-μ1)p，gθ=0

(4d)

2 能量相位法

2.1 未擾系統(tǒng)動力學(xué)

首先研究未擾動系統(tǒng)，即當(dāng)ε=0時系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

對于(p,q)平面，參數(shù)σ1決定著平衡點的個數(shù)。

其中,

圖1 未擾動系統(tǒng)相圖Fig.1 The phase portrait of unperturbed system

未受擾動系統(tǒng)相軌線

q(t)=

(5)

(6)

θ(t)=θ0-2q

(7)

此時，未擾動系統(tǒng)存在二維法向雙曲不變流形

M01=

(8a)

和

M02=

(8b)

限制在不變流形M0上的動力學(xué)方程為

(9a)

(9b)

則不變流形上的點均為不動點，且連接任意兩不動點的異宿軌道的相位差，即相位漂移角為

Δθ=θ(+∞)-θ(-∞)=

(10)

2.2 擾動系統(tǒng)動力學(xué)

根據(jù)法向雙曲不變流形在小擾動下不變流形的保持性，對于充分小的ε>0，法向雙曲不變流形擾動為

(11a)

和

(11b)

限制在不變流形Mε上的動力學(xué)方程為

(12)

式(12)存在不動點

(13)

該不動點的特征方程為

故當(dāng)μ2>0且σ2≠0時，不動點pε是穩(wěn)定的焦點。因此流形Mε上的軌線趨于點pε。

下面驗證同宿于流形Mε的N-脈沖同宿軌的存在性。能量差分函數(shù)為

(14)

能量差分函數(shù)存在橫截零點，即式(14)滿足

ΔNH(I,θ)=0,DθΔNH(I,θ)≠0

(15)

式(3)存在同宿于流形Mε的N-脈沖同宿軌。

接下來，驗證船舶動力學(xué)系統(tǒng)存在著以不動點pε為起跳點，且降落點在不動點pε的吸引域內(nèi)的ilnikov同宿軌的存在性。

為確定從不動點pε起跳的ilnikov同宿軌，需要找到參數(shù)向量λ=(σ1,d,ξ)，使得參數(shù)向量λ滿足

ΔNH(Iε(λ),θε(λ),λ)=0

(16a)

D(I,θ)ΔNH(Iε(λ),θε(λ),λ)≠(0,0)

(16b)

即

d2(sin2(NΔθ)-N2sin2(Δθ))+ξ2(cos(NΔθ)-1)2-

2dξ(cos(NΔθ)-1)sin(NΔθ)=0

(17a)

(17b)

式中:d=μ2/f;ξ=σ2/f。

(a) ξ=0.1

(b) ξ=1圖2 多脈沖混沌運動的參數(shù)區(qū)間Fig.2 Parameter region of the multi-pulse chaotic motion

3 數(shù)值模擬

利用四階Runge-Kutta數(shù)值積分方法對式(4)進行數(shù)值模擬，驗證橫搖和縱搖非線性耦合下船舶動力系統(tǒng)存在多脈沖混沌運動，以及模態(tài)之間的相互作用和能量傳遞。

選取參數(shù)ω1=0.25，σ1=1，σ2=0.3，F(xiàn)2=1,εμ2=εμ1=0.002,圖3(a)為(p,q)平面的相流，圖3(b)為龐加萊映射，圖3(c)為(p,I,θ)空間的相流。圖3表明擾動系統(tǒng)存在異宿軌破裂，穩(wěn)定流形及不穩(wěn)定流形橫截相交導(dǎo)致的多脈沖混沌運動。圖4為橫搖和縱搖兩模態(tài)的位移響應(yīng)隨時間的變化情形，明顯地，船舶橫搖和縱搖兩模態(tài)之間存在相互作用及能量傳遞。

(a) (p,q)平面擾動系統(tǒng)相流 (b) 龐加萊映射 (c) (p,I,θ)空間擾動系統(tǒng)相流圖3 動力系統(tǒng)數(shù)值模擬Fig.3 Numerical simulations of dynamical system

圖4 橫搖和縱搖模態(tài)響應(yīng)Fig.4 Response of pitch and roll modes

4 結(jié) 論

針對橫搖和縱搖非線性耦合下船舶的混沌運動，首次應(yīng)用能量相位法研究了船舶動力系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振，第2階主共振情形下系統(tǒng)的全局分叉及多脈沖混沌動力學(xué)行為。

首先，應(yīng)用多尺度方法和正則變換將非線性耦合的船舶運動方程轉(zhuǎn)化為擾動哈密頓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其次，應(yīng)用能量相位法研究船舶的多脈沖混沌運動,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在未受擾動情形下存在雙曲鞍點和連接鞍點的異宿軌，在小擾動的情形下異宿軌發(fā)生破裂；能量差分函數(shù)橫截零點的存在確保異宿軌破裂后其穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，且存在著同宿于慢流形的多脈沖同宿軌；進一步驗證船舶動力系統(tǒng)存在ilnikov同宿軌，這意味著該系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下的混沌運動，并給出多脈沖混沌運動發(fā)生的參數(shù)條件。數(shù)值模擬驗證了理論分析。本文的研究揭示了船舶運動存在模態(tài)相互作用、能量轉(zhuǎn)移和多脈沖混沌運動的機理。

[ 1 ] FROUDE W. Remarks on Mr. Scott Russell’s rolling[J]. Transactions of the Institute of Naval Research, 1863, 4: 232-275.

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[11] NAYFEH A H, MOOK D T. Nonlinear oscillations[M]. Germany: Wiley-VCH, 1995.

Global dynamics of ship motions considering the nonlinear coupling between pitch and roll modes

ZHOUSha1,2,ZHANGWei1,2,YUTianjun1,2，YANGXiaodong1,2

(1. College of Mechanical Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures, Beijing 100124, China)

The global dynamics of ship motions considering the nonlinear coupling between pitch and roll modes in the presence of one to two internal resonance and principal resonance of the second mode were investigated using the energy-phase method. A major goal of the paper was to reveal the mechanism about modes interaction, energy transfer and multi-pulse chaotic motions of the ship. The certain parameter regions in which multi-pulse chaotic motions that might occur were given. Numerical simulations were performed to confirm the theoretical predictions.

ship dynamics; nonlinear coupling; energy-phase method; multi-pulse chaotic motion

國家自然科學(xué)基金資助項目(11290152;11322214);北京市高等學(xué)校人才強教計劃資助項目(11072008)

2015-11-09 修改稿收到日期：2016-01-27

周莎 女，博士，1986年7月生

張偉 男，博士，教授，1960年7月生

O322； O415.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.034