蒲武川， 梁瑞軍， 戴楓禹， 黃 斌

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院土木工程系，武漢 430070)

基于三角函數(shù)的脈沖型近場地震動的近似模型

蒲武川， 梁瑞軍， 戴楓禹， 黃 斌

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院土木工程系，武漢 430070)

對用于模擬脈沖型地震動的Makris模型的適用性進(jìn)行了評價，通過對脈沖周期的計算方法的比較分析，發(fā)現(xiàn)從該模型推導(dǎo)的由實測最大位移和最大速度計算得到的周期過小估計了近場地震動的脈沖周期?？紤]地震動正負(fù)速度幅值的不同，提出了一種新的基于三角函數(shù)的脈沖型近場地震動的近似模型，該模型用于具有單循環(huán)的脈沖型地震動，可模擬位移完全不復(fù)位、完全復(fù)位和部分復(fù)位的地震動。通過比較實測地震動和近似模型的時程曲線和反應(yīng)譜，證明新模型具有較好的適用性。

近場地震；脈沖型地震動；近似模型；脈沖周期

近場地震動是指在斷層附近記錄到的地震動，在地震工程學(xué)上主要關(guān)注或更狹義的指具有脈沖特征的地震動。這些近場地震動中含有中長周期的速度脈沖，且具有較大的速度幅值，包含了較大的地震能量。1966年的Parkfield地震和1971年的San Fernando地震中記錄到的波形使人們認(rèn)識到了脈沖型地震動的存在[1]，而BERTERO等[2]從工程學(xué)的角度首先發(fā)現(xiàn)具有脈沖特征的地震動會導(dǎo)致中長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較嚴(yán)重的損傷。在之后的如1994 Northridge地震、1995日本神戶地震、1999土耳其Izmit地震、1999臺灣集集地震中，均發(fā)現(xiàn)脈沖型地震動的存在，其對結(jié)構(gòu)的巨大的破壞作用也得到印證。

近場脈沖型地震動近年得到了大量研究，從脈沖的成因到其對各類結(jié)構(gòu)的影響，以及針對此類地震動的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法等。近場地震動的脈沖特征通常由前向性效應(yīng)(Forward Directivity)或永久位移效應(yīng)(Permanent Displacement Effect or Fling Effect)引起。由于脈沖型地震動速度的窄帶頻譜特征，研究人員試圖采用特定解析式來模擬脈沖型地震動的時程曲線。在滿足精度要求的前提下，如果脈沖型地震動可以用特定的函數(shù)代替，那么基于近似模型求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的解析解成為可能，這將為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和設(shè)計提供極大的便利。同時，在對脈沖型地震動的特征參數(shù)(脈沖周期、速度幅值等)與地震震級、斷層類別等的關(guān)系進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)上，可以對斷層附近將來可能發(fā)生的脈沖型地震動的波形進(jìn)行預(yù)測并應(yīng)用到結(jié)構(gòu)設(shè)計中。

研究人員提出的近似模型一般基于速度脈沖建立，有采用正弦或余弦波形、三角形波形[3-4]、小波等形式?；谡嘞液瘮?shù)的近似模型是其中主要的一種，其中由包括半個正弦波[5]、單個正弦波、帶包絡(luò)函數(shù)的正弦波[6-8]、帶幅值調(diào)整系數(shù)的正弦波[9]等近似模型。根據(jù)地震動的時程曲線特征，可以分別采用不同的方法進(jìn)行模擬。一般來說，近似模型的精度越高，需要的參數(shù)就更多，其擬合方法也越復(fù)雜。

另一方面，研究發(fā)現(xiàn)近場地震動的脈沖循環(huán)個數(shù)的增多會引起結(jié)構(gòu)損傷的顯著增加。通常采用速度時程的半循環(huán)的個數(shù)來衡量脈沖數(shù)量，而影響脈沖數(shù)量的機(jī)理較為復(fù)雜，通常認(rèn)為與斷層破壞面的形狀等因素有關(guān)。BRAY等[10]統(tǒng)計了54條地震動的半循環(huán)數(shù)量，假定大于PGV(Peak Ground Velocity)的50%的半循環(huán)均作為一個脈沖，則脈沖個數(shù)為1和2個的地震波數(shù)量約占65%。即，地震動中大部分為半循環(huán)或單循環(huán)的脈沖。當(dāng)然，定義脈沖門檻值(如前述的50%的PGV)越低，脈沖個數(shù)越多。

本文首先對基于三角函數(shù)的單循環(huán)脈沖地震動的近似模型(Makris模型)的適用性進(jìn)行評價，對脈沖周期的計算方法進(jìn)行比較分析，在此基礎(chǔ)上提出一種單循環(huán)脈沖地震動的三角函數(shù)近似模型。本文提出的模型考慮了速度時程正負(fù)方向幅值的不同，可通過簡單的表達(dá)式和較少的參數(shù)模擬單循環(huán)脈沖型地震動的速度、位移時程，并得到與實測地震動較為接近的反應(yīng)譜。

1 基于三角函數(shù)的Makris模型的評價

HALL等根據(jù)速度波形研究了兩類主要的脈沖型地震動，其中一類單方向的速度時程(Forward Motion Only)，地表位移達(dá)到幅值后不復(fù)原，產(chǎn)生不可恢復(fù)的永久位移(等于最大位移)，此類脈沖型地震動被稱為A類地震動。另一類是具有正負(fù)兩個方向速度的波動時程(Forward and Back Motion)，如果速度時程在兩個方向上波形一致(如一個正弦波)，則地表位移達(dá)到幅值后完全復(fù)原，不產(chǎn)生永久位移，這類脈沖型地震動被稱為B類地震動。HALL等采用了三角形的速度時程，加速度時程為矩形，如圖1所示。

Makris利用上述A類、B類脈沖型地震動的定義，采用三角函數(shù)對兩類近場地震動進(jìn)行了模擬。其中A類地震動的加速度a、速度v和位移d的時程分別表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,dm、vm分別為位移和速度的絕對值的最大值。

采用與A類地震動的近似模型類似的方法，Makris提出了B類地震動的加速度、速度和位移時程分別表示為

a(t)=VPωPcos(ωPt), 0≤t≤TP

(5)

v(t)=VPsin(ωPt), 0≤t≤TP

(6)

(7)

與前述A類模型的方法類似，B類模型脈沖周期可由式(8)求得

(8)

Makris模型采用了脈沖型地震動兩個最主要的參數(shù)即速度幅值和脈沖周期，用較少的參數(shù)和簡潔的表達(dá)式建立了近似模型。同時脈沖周期的計算方法從模型的函數(shù)表達(dá)式推導(dǎo)得到，方法嚴(yán)謹(jǐn)。但是，實際的地震動具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，有的地震動具有正負(fù)兩個方向的速度時程，但是幅值不同，因此該類波形會形成小于位移幅值的永久位移。對此類地震動，前述模型均不適用。其次，按照前述脈沖周期的計算方法，周期還可以利用速度幅值和加速度幅值或位移幅值和加速度幅值來計算。對A類地震動可由式(9)和式(10)所示，其中am為加速度的絕對值的最大值。

(9)

(10)

對B類地震動，可由式(11)和式(12)所示。

(11)

(12)

不采用加速度幅值的原因可能是高頻分量的影響較大，采用加速度幅值計算得到的脈沖周期精度不夠。盡管采用位移幅值和速度幅值計算脈沖周期更為適合，如下節(jié)所述，式(4)和式(8)仍較小的估計了地震動的脈沖周期。較小地估計脈沖周期，還會導(dǎo)致加速度被過大估計的問題。圖2和圖3分別表示了采用前述Makris模型對Lander地震Luceme波(采用A類模型)和Imperia地震ElCentro Array #4波(B類)的地震動時程曲線的擬合?？梢钥闯觯琇uceme波存在位移部分恢復(fù)的特征，實際上介于A類和B類地震動之間；其次，式(4)和式(8)過小評價了實際的脈沖周期。

圖1 三角函數(shù)模型和三角形(速度)模型Fig.1 Trigonometric model and triangle velocity model

圖2 Makris模型模擬Lander-luceme波(A類)Fig.2 Comparison of Makris model and type A record

圖3 Makris模型模擬Imperia-EICentro Array#4波(B類)Fig.3 Comparison of Makris model and type B record

2 脈沖型地震動脈沖周期比較

脈沖周期是脈沖型地震動的最為重要的特征參數(shù)之一。在建立地震動的近似模型時，選取合理的脈沖周期對模型的精度有重要的影響?；谇肮?jié)所述Makris模型的問題，本節(jié)對各種計算脈沖周期TP的方法進(jìn)行比較分析。

一種常用的方法是計算實測地震動的反應(yīng)譜，取速度反應(yīng)譜最大值對應(yīng)的周期作為脈沖周期。由于反應(yīng)譜隨著阻尼比增大會變得越來越光滑，在脈沖周期附近呈現(xiàn)出來的波峰會越來越不明顯。本文取阻尼比為5%時的反應(yīng)譜的峰值對應(yīng)的周期作為脈沖周期，用Tp,s表示。BAKER[11]介紹了一種采用小波從脈沖型地震動中提取脈沖的方法，其所提供的程序可以識別脈沖周期，本文采用其程序?qū)Φ卣饎舆M(jìn)行分析，得到地震動的脈沖周期Tp,B。同時采用BAKER的脈沖波判別指標(biāo)PI進(jìn)行判別，本文選取了16條脈沖型地震動，如表1所示。表1中列出了各地震波的Tp,s和Tp,B，以及位移、速度和加速度的峰值。

表1 選取的地震波列表

圖4比較了Tp,s和Tp,B，發(fā)現(xiàn)除Imperia (El Centro Array #10)以外，Tp,B均略大于Tp,s。其原因是實測地震動反應(yīng)譜仍包含高頻成分的貢獻(xiàn)，而Tp,B直接根據(jù)速度時程得到，因此Tp,B比Tp,s能更準(zhǔn)確的描述地震動中的主要脈沖的周期。

本文以Tp,B為標(biāo)準(zhǔn)，對前述模型的脈沖周期計算方法進(jìn)行評價。圖5比較了Tp,B與由式(4)、式(8)、式(9)、式(10)、式(11)、式(12)計算得到的脈沖周期，可以看出基于Makris模型中位移、速度和加速度幅值計算得到的脈沖周期顯著小于Tp,B，將其近似模型應(yīng)用到結(jié)構(gòu)分析中可能產(chǎn)生較大誤差。

圖4 脈沖周期比較Fig.4 Comparison of pulse period

圖5 脈沖周期比較Fig.5 Comparison of pulse period

3 考慮正負(fù)速度峰值差異的近似模型

在近斷層地震動的實際記錄中，存在許多介于A類和B類之間的地震動，即速度時程中正負(fù)向幅值相差較大，且正負(fù)向幅值較大不可忽略的情況。前述Makris模型不能考慮地震動的這種特征(見圖2)。為了能更好的擬合此類地震動，本文提出新的模型，其位移、速度和加速度為

a(t)=VP1ωPcos(ωPt)+VP2ωPsin(2ωPt)

(13)

(14)

(16)

(17)

(18)

(19)

d(t)=

(20)

此時，若取0

(21)

式(21)所示比值與波形幅值和頻率等參數(shù)無關(guān)。若取0

(22)

圖7比較了Tp,B與基于最大位移與最大速度的式(22)得到的TP，可以看出，式(22)仍然較小地估計了地震動的脈沖周期。因此，此模型不采用由實測位移和速度峰值計算脈沖周期的方法，而采用Tp,B作為脈沖周期。

圖6 本文模型的時程曲線圖Fig.6 Time histories of the proposed model

圖7 Tp,B與式(22)的脈沖周期的比較Fig.7 Comparison of Tp,B and period odtained from Eq.(22)

本文提出的模型適用于含有1個或2個脈沖的速度脈沖。由于其適用范圍限定，因此相對于帶包絡(luò)函數(shù)的正弦波模型而言，參數(shù)量少且參數(shù)確定方法簡單。同時，Makris提出的A、B類地震動均可通過該模型模擬。

4 近似模型對實測地震動的擬合

圖8 本文模型對EI Centro Array#5波的擬合Fig.8 Simulation of EI Centro Array#5 ground motion by the proposed model

圖9 本文模型對Lucerne波的擬合Fig.9 Simulation of Lucerne ground motion by the proposed model

圖10 EI Centro Array#5波與近似模型的反應(yīng)譜比較Fig.10 Comparison of response spectra(EI Centro Array#5)

圖11 Lucerne波與近似模型的反應(yīng)譜比較Fig.11 Comparison of response spectra(Lucerne)

5 結(jié) 論

本文考慮采用三角函數(shù)對脈沖型近場地震動的波形進(jìn)行近似，對既有的Makris模型進(jìn)行了分析評價，發(fā)現(xiàn)采用速度、位移幅值計算的脈沖周期與實際脈沖周期差異較大，并建議采用Baker方法得到的脈沖周期。本文還對單循環(huán)脈沖型地震動提出考慮速度時程正負(fù)幅值差異的基于三角函數(shù)的近似模型，該模型基于地震動正負(fù)速度幅值和脈沖周期構(gòu)建，參數(shù)少且形式簡單，可以模擬位移無恢復(fù)、全恢復(fù)和部分恢復(fù)的脈沖型地震動。通過對實測地震動的時程曲線和反應(yīng)譜的比較，認(rèn)為該模型可以較好的模擬單循環(huán)脈沖型地震動。

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An analytical model for approximating pulse-like near-fault ground motions

PUWuchuan,LIANGRuijun,DAIFengyu,HUANGBin

(Department of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Analytical models based on trigonometric functions are used to describe the pulse-like near-fault ground motions, and Makris model is one of the typical. In this paper, the Makris model was investigated first. It is found that the pulse period obtained analytically from the peak displacement and peak velocity underestimates the predominant period of the record. A new analytical approximation model was proposed to consider the difference of maximum and minimum velocity in the main cycle of velocity time history. The model could be applied to simulate those one-cycle pulse ground motions, including the motions with forward displacement, forward-backward displacement and forward-partially backward displacement. Examples were also presented to show that the new approximation model was useful to simulate the one-cycle pulse type ground motions.

near-fault earthquake; pulse-like ground motion; approximation model; pulse period

國家自然科學(xué)基金(51208405)

2015-12-07 修改稿收到日期：2016-02-22

蒲武川 男，博士，副教授，1980年生

TU20

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.033