黃 康 段松林 甄圣超 徐 銳 薛永昌

1.合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院，合肥，2300092.福馬汽車零部件有限公司，馬鞍山，243100

基于系統(tǒng)約束的重型汽車動力學建模及分析

黃 康1段松林1甄圣超1徐 銳1薛永昌2

1.合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院，合肥，2300092.福馬汽車零部件有限公司，馬鞍山，243100

針對傳統(tǒng)方法建立汽車整車動力學模型中存在的過程復雜、約束難以確定等問題，以重型汽車整車為對象，應用Udwadia-Kalaba理論提出了一種基于系統(tǒng)約束的離散化模型，并進行了動力學分析。該模型考慮了汽車在正常行駛過程中路面對4個輪胎的真實激勵情況，重點研究了整車z向的動態(tài)特性。通過MATLAB仿真得到空載和D級路面激勵情況下的振動特性，并將該模型與傳統(tǒng)方法建立的模型進行比較，驗證了模型的正確性，同時分析了車身關鍵位置及駕駛員位置動態(tài)特性曲線。

重型汽車；系統(tǒng)約束；離散化動力學系統(tǒng)；Udwadia-Kalaba理論；動力學分析

0 引言

Udwadia-Kalaba方法是在現(xiàn)今非常完善的機械原理基本方法上進一步引申出來的理論方法[1-5]，是一種描述含約束的多體動力學系統(tǒng)的基本方法。該方法基于高斯原理，通過廣義逆運算，將約束轉化為約束力,與拉格朗日方法相比，避免了在求約束力過程中獲取拉格朗日乘子這一繁瑣過程。與Gibbs、Appell等原理相比，Udwadia-Kalaba方法可用于非理想約束的情況，即當系統(tǒng)不滿足達朗貝爾原理時，Udwadia-Kalaba方程也是適用的(但需要通過實驗測定相關數(shù)據(jù))。這是Udwadia-Kalaba方法相較于其他方法的主要優(yōu)勢。從Udwadia-Kalaba方法提出至今，已經(jīng)有許多學者針對此方法做了大量的研究。CHEN[6]在Udwadia-Kalaba方程的基礎上提出了伺服約束控制，并將其運用到工程實際中，認為只要設計合理，就可以滿足控制要求。文獻[7-8]將Udwadia-Kalaba方程運用到多體動力學系統(tǒng)仿真和天體運動研究中，證實了其正確性與實用性。

汽車整車動力學模型的建立是平順性和操縱穩(wěn)定性等研究的重要內(nèi)容，現(xiàn)今針對汽車整車建模的方法有很多，圍繞不同的建模方法也有不少研究成果。在傳統(tǒng)方法中，文獻[9-10]運用牛頓動力學方法建立了多自由度整車動力學方程，并驗證了其正確性，但建模過程復雜。張云清等[11]用拉格朗日方法得到的整車模型，在實際工程應用中有很高的應用價值，但在實際時，拉格朗日乘子不易確定。常規(guī)方法建模過程中需要考慮所有自由度之間的關系，步驟較為繁瑣，對于簡單模型比較方便，但對于多自由度的復雜模型計算量極大，通常需要簡化處理，影響了模型的準確性。除了傳統(tǒng)方法外，李杰等[12]將有限元的思想運用到汽車動力學模型的建立中，將振動結構離散化，采用節(jié)點位移法得到系統(tǒng)模型，是一種比較新穎的方法。工程中運用較多的是ADAMS等多體動力學軟件，這些軟件是基于參數(shù)化數(shù)學模型建立虛擬樣機仿真的，計算前期需要進行大量的建模工作，計算結果的正確性高度依賴模型的準確性，對使用者有較高的經(jīng)驗要求。本文將車身及車橋整體結構離散化，采用Udwadia-Kalaba方法建立汽車多體動力學模型。

1 含約束運動系統(tǒng)的一般動力學方程

在Udwadia-Kalaba理論中，需要建立系統(tǒng)在無約束條件下n個自由度的動力學方程，這里用q=[q1q2…qn]T表示系統(tǒng)的n維廣義坐標，可通過牛頓力學方法或拉格朗日方法得到如下方程：

(1)

(2)

下面考慮約束對系統(tǒng)的影響。假設系統(tǒng)內(nèi)施加有m個約束，則約束方程為

(3)

i=1,2,…,m

將式(3)對時間求二次導，可得到矩陣表達式

(4)

最后需要將約束添加到無約束系統(tǒng)方程中，得到含約束的系統(tǒng)動力學方程。約束在系統(tǒng)中可表現(xiàn)為一種“約束力”，于是含約束的系統(tǒng)動力學方程可表示為

(5)

(6)

Udwadia-Kalaba理論考慮了系統(tǒng)約束力在虛位移下做正功、做負功和不做功的情況，拓展了拉格朗日方法。

W=vTc∈Rn

(7)

其中，v為廣義虛位移，v∈Rn。理想約束力做的功為

vTQic=0

(8)

非理想約束力做功:

vTQnic≠0

(9)

根據(jù)Udwadia-Kalaba理論[1]，系統(tǒng)理想約束力可表示為

Qic=M1/2D+(b-AM-1/2Q)

(10)

系統(tǒng)非理想約束力可表示為

Qnic=M1/2(I-D+D)M-1/2c

(11)

D=AM-1/2

其中，符號“+”表示求矩陣的Moore-Penrose廣義逆，I為單位矩陣。向量c由系統(tǒng)性能決定，在實際應用中可通過實驗測量得到其各元素數(shù)值。

由式(5)～式(8)可得約束系統(tǒng)動力學方程:

M1/2(I-D+D)M-1/2c

(12)

c=0時，系統(tǒng)為理想約束系統(tǒng)，動力學方程為

(13)

式(12)為含約束系統(tǒng)的一般動力學方程，式(13)為含理想約束系統(tǒng)的一般動力學方程。

2 重型汽車動力學等效模型

在重型汽車動力學建模中，所有自由度間的約束都為理想約束，在運用Udwadia-Kalaba理論進行動力學建模時采用式(13)。如按照傳統(tǒng)的汽車模型對系統(tǒng)進行動力學建模，自由度之間的約束不好確定，針對此問題本文提出了一種離散化的汽車模型，并用Udwadia-Kalaba理論進行動力學建模。

2.1 重型汽車車身離散化模型

重型汽車中，駕駛員及座椅的質(zhì)量相對汽車及貨物的質(zhì)量很小，對汽車整車的動力學性能影響較小，可忽略不計，故在不考慮駕駛員及座椅質(zhì)量的前提下，汽車車身可做圖1所示的質(zhì)量等效。將車身等效為不考慮形狀和大小的3×3個按規(guī)律分布的離散質(zhì)量點，并對這些質(zhì)量點按圖1b方法標號。這樣就將汽車車身的6個自由的轉化為了9個質(zhì)量點的27個移動自由度，其中B為車身寬度。

(a)一般車身模型

(b)離散車身模型圖1 重型汽車車身等效模型Fig.1 Equivalent model of the body in heavy-duty truck

該模型的轉化是以轉化前后系統(tǒng)的靜態(tài)性能和動態(tài)性能相當為前提條件的，即轉化前后要同時滿足靜代換條件和動代換條件。設車身總質(zhì)量為m，俯仰轉動慣量為Jxx，側傾轉動慣量為Jyy，轉化后車身模型9個點對應的質(zhì)量分別為m11、m12、m13、m21、m22、m23、m31、m32和m33。

考慮汽車俯仰特性時，為了計算方便，將質(zhì)點12、22、32設置在與質(zhì)心同一軸線上，故由質(zhì)量動代換原理可得

(14)

式中，a為車身質(zhì)心到車身前端的距離；b為車身質(zhì)心到車身后端的距離。

為了簡化計算，假設汽車前橋與車身前端在同一垂直平面內(nèi)，汽車后橋與車身后端在同一垂直平面內(nèi)。由式(14)可得m11+m21+m31、m12+m22+m32、m13+m23+m33。

考慮汽車繞自身中心軸側傾特性時，為了計算方便將質(zhì)點21、22和23設置對稱軸軸上，故由動代換條件得

(15)

j=1，2，3

又有

(16)

由式(14)～式(16)可得到車身的等效質(zhì)量矩陣Mb。

由圖1中汽車車身的離散化模型可以看到，車身有27個自由度。本文的研究對象為汽車的平順性，故只需考慮豎直方向的移動自由度，即z向自由度，故車身模型簡化為九自由度模型。

在不考慮系統(tǒng)中自由度間約束的情況下，質(zhì)點11、13、31和33的z向運動形式為在重力、彈簧力和阻尼力共同作用下的受迫振動。質(zhì)點12、21、22、23和32的z向運動形式為在重力作用下的自由落體運動。

當考慮系統(tǒng)中各自由度之間的約束條件時，由圖1可看到，在汽車運行過程中，所有質(zhì)點都在車身平面內(nèi)，并且有確定的位置。由3點確定平面可知，有3個質(zhì)點的運動是自由的，其余質(zhì)點的運動都可由這3個質(zhì)點進行約束。本文中假設3個自由質(zhì)點為11、31和33，可由幾何關系得到約束方程

(17)

式中，z11、z12、z13、z21、z22、z23、z31、z32和z33分別為9個質(zhì)點對應的z向位移。

等效質(zhì)量矩陣Mb和式(17)共同組成了汽車車身的離散化模型。

2.2 重型汽車車橋離散化模型

前橋和后橋作為汽車關鍵零部件，在整車動力學建模中是不可忽略的。一般的汽車動力學模型中，為了簡化計算，忽略了車橋的轉動慣量，將其等效為兩質(zhì)點，這樣便減小了模型的精確性。本文為了使模型更接近實際情況，將車橋的轉動慣量考慮到模型中，分別將前橋和后橋等效為3個離散的質(zhì)點，方法如圖2所示，得到汽車整車的等效模型。

(a)一般車身模型

(b)離散車身模型圖2 重型汽車車橋等效模型Fig.2 Equivalent model of the axle in heavy-duty truck

對于前橋，設其質(zhì)量為mf，轉動慣量為Ifyy，設轉化后模型各個點對應的質(zhì)量為mfk(k=1，2，3)。為了簡化計算，設置點f2位于前橋中心，質(zhì)點f1和f3分別與質(zhì)點11和31位于同一豎直線上。由代換條件得

(18)

由式(18)可得前橋的等效質(zhì)量矩陣Mf。

不考慮約束的情況下，質(zhì)點f1和f3的z向運動形式分別為在重力、彈簧力和阻尼力共同作用下的受迫振動；質(zhì)點f2受重力作用，其運動形式為自由落體運動。

考慮約束時，由圖2可看到，3個質(zhì)點始終處于同一直線上，并且有確定的位置，可由幾何關系得到約束方程

(zf1+zf3)/2-zf2=0

(19)

式中，zf1、zf2和zf3分別為質(zhì)點f1、f2、f3對應的z向位移。

設后橋質(zhì)量為mr，轉動慣量為Iryy,同樣可得后橋的等效質(zhì)量矩陣Mr，約束方程為

(zr1+zr3)/2-zr2=0

(20)

式中，zr1、zr2和zr3分別為質(zhì)點r1、r2、r3對應的z向位移。

等效質(zhì)量矩陣Mf、Mr和式(19)、式(20)共同組成了汽車車橋的離散化模型。質(zhì)量矩陣Mb、Mf、Mr和式(17)、式(19)、式(20)共同組成了重型汽車整車系統(tǒng)的離散化模型。

3 系統(tǒng)動力學方程的建立

通過前面的分析得到了一個含15個自由度的汽車整車系統(tǒng)模型，該模型研究對象為汽車的平順性，忽略了各質(zhì)點水平面內(nèi)兩個位移自由度的影響。該系統(tǒng)的廣義坐標為

q=

[z11z12z13z21z22z23z31z32z33zf1zf2zf3zr1zr2zr3]

首先考慮系統(tǒng)在無約束條件下的運動情況。由分析可得，系統(tǒng)雖有15個自由度，但無約束條件下的運動形式只有兩種，即自由落體運動和在路面激勵的受迫振動。圖3所示為車身上的一個質(zhì)點與車橋的一個質(zhì)點的串聯(lián)模型。

3.對中國特色社會主義的總依據(jù)、總布局、總任務進行了創(chuàng)造性論述。報告明確提出：“建設中國特色社會主義，總依據(jù)是社會主義初級階段，總布局是五位一體，總任務是實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化和中華民族偉大復興?！保?］

由前文描述可知，自由落體運動的質(zhì)點為12、21、22、23、32、f2、r2，其中，質(zhì)點12的動力學方程為

(21)

其中，g為重力加速度。同理可得到其他6個自由落體運動質(zhì)點動力學方程。

質(zhì)點11和f1、13和r1、31和f3、33和r3的運動形式如圖3所示，由拉格朗日定理可得質(zhì)點對11和f1的動力學方程：

(22)

同理可得其他3對質(zhì)點的動力學方程。

圖3 質(zhì)點11和f1的串聯(lián)模型Fig.3 Series model of particle 11 and particle f1

將前面得到的15個方程寫成矩陣形式為

(23)

式中，C為15階阻尼方陣；K為15階剛度方陣；e為15維向量。

將式(23)改寫為

(24)

下面考慮系統(tǒng)在約束條件下的運動情況。將式(17)、式(19)、式(20)的8個約束方程寫為矩陣形式：

Aq=0

(25)

式中，A為約束矩陣，A∈R8×15。

將式(25)中各元素分別對時間求二次導，由約束方程可知矩陣A中各元素均為常量，故式(25)求導后為

(26)

于是可得約束力

Qc=-M1/2(AM1/2)+(AM-1Q)

(27)

由此可得重型汽車整車系統(tǒng)動力學方程：

(28)

由式(28)可求得各質(zhì)點的振動情況。

當需要考慮車身某一具體位置的響應時，可建立一空間坐標系，取車身9個等效質(zhì)點中的任意3個，假設為質(zhì)點11、31、33，得到車身所在空間平面方程，再由所求位置與3個質(zhì)點的相對幾何關系，易得車身任意一點的響應zt=φ(z11,z31,z33)。

當考慮駕駛員自由度時，首先計算車身上座椅對應位置的響應：

zc=bsz11/B+(1-ls/l-bs/B)z31+lsz33/l

(29)其中，ls為座椅到車身前端的距離，bs為座椅到車身側面的距離，l為車身長度。將車身上座椅對應位置的響應直接作為激勵輸入到座椅下的彈簧-阻尼末端，實現(xiàn)駕駛員與整車的耦合，計算方程為

(30)

式中，md為座椅與駕駛員總質(zhì)量；zd為駕駛員位移；cd為座椅下阻尼器阻尼；kd為座椅下彈簧鋼度。

通過式(30)可研究汽車行駛過程中的平順性。

4 系統(tǒng)仿真及結果分析

對某一具體二軸重型卡車，計算參數(shù)如下：m=1500 kg，mf=180 kg，mr=328 kg，Ixx=26 457 kg·m2，Iyy=2450 kg·m2，Ifyy=70 kg·m2，Iryy=114 kg·m2，a=2.85 m，b=1.1 m，B=1.4 m，c11=c31=40 kN·s/m，c13=c33= 4 kN·s/m，k11=k31=251 kN/m，k13=k33= 1 MN/m，cf1=cf3=3.5 kN·s/m，cr1=cr3=12.6 kN·s/m，kf1=kf3=1.1 MN/m，kr1=k33=4.4 MN/m。

用MATLAB軟件求解模型，對整車的z向位移進行動力學仿真，通過仿真可預測汽車在各種工況下z向的動態(tài)性能。

首先進行初始靜止狀態(tài)的仿真，設初始條件：各彈簧處于自由狀態(tài)；各質(zhì)點初始位移和速度均為零，加速度為-g。汽車靜止不動時，路面對各輪胎的激勵為零。在同樣的條件下仿真計算Lagrange模型，并將其7個自由度的動態(tài)響應通過幾何運算轉化為車身和車橋上對應13個點的響應曲線，得到各質(zhì)點運動情況，如圖4所示。

由圖4可知，兩種方法建立的汽車動力學模型在僅考慮重力情況下，計算結果幾乎完全重合，證明了離散模型的正確性。根據(jù)數(shù)據(jù)對比可發(fā)現(xiàn)，離散模型和Lagrange模型計算結果的差異在0.01 mm以內(nèi)。這個差異是建模過程中局部簡化差異的結果，同時證明相應的簡化是合理的。也可通過圖4得出汽車運行時各質(zhì)點的初始位移，可作為后面仿真初值設定的依據(jù)。

下面采用路面激勵分別對離散模型和Lagrange模型進行分析，選擇用D級路面，左右輪采用不同的載荷譜，前輪和后輪之間相差一個相位φ，其值可根據(jù)車速和前后橋距離計算得到，仿真車速v=10 m/s，根據(jù)GB/T7031-2005的規(guī)定，生成4個車輪的路面載荷譜，如圖5所示。

將載荷譜分別輸入離散模型和Lagrange模型進行仿真。圖6所示為車身上4個關鍵點的響應曲線，通過仿真可得到汽車車身的整體運動情況。由于兩種模型仿真結果幾乎重合，為了顯示清楚，將Lagrange模型結果整體向上平移一定距離。

(a)點11(b)點21(c)點31

(d)點12(e)點22(f)點32

(g)點13(h)點23(i)點33

(j)點f1(k)點f2(l)點f3

(m)點r1(n)點r2(o)點r3圖4 重力作用下各質(zhì)點位移-時間圖Fig.4 Displacement-time diagram of particles under gravity

(a)前橋右側輪

(b)后橋右側輪

(c)前橋左側輪

(d)后橋左側輪圖5 4個車輪的位移激勵Fig.5 Displacement load of four tires

由圖6可知，兩種模型在路面載荷作用下，仿真結果完全一致，證明了離散模型的正確性。在仿真開始階段，設置的初值有一定的差異，故仿真結果也表現(xiàn)出一定差異，當系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，差異消失。

對比圖5、圖6可看出，路面對輪胎的激勵曲線與車身上輪胎對應位置運動曲線趨勢一致，由于彈簧和阻尼的作用，車身質(zhì)點振幅更小，過渡更平順。后輪與后板簧對應的剛度大于前輪和前板簧，故車身整體后部振動大于前部，此分析結果可作為汽車彈簧、阻尼和質(zhì)量分布設計的參考依據(jù)，優(yōu)化車身設計。

(a)點11

(b)點13

(c)點31

(d)點33圖6 車身上四質(zhì)點時域位移響應Fig.6 Displacement response of four particles on body

圖7所示為通過質(zhì)點11、31和33得到的車身上駕駛員位置的位移曲線，對比圖7和圖6中各質(zhì)點的位移響應曲線可看出，質(zhì)點31的運動特性對駕駛員影響最大。此分析結果將作為式(30)中的激勵輸入，求解式(30)可仿真得到駕駛員運動特性。

圖7 駕駛員座位末端位移激勵Fig.7 Displacement load of driver’s seat

圖8為駕駛員位移及加速度時域曲線圖，通過該結果可對駕駛員動態(tài)特性進行分析。從圖8可看出，汽車在D級公路上正常行駛過程中，駕駛員z向位移最大幅值為0.15m，加速度變化范圍是±10m/s2，幅度和頻率都較大，可通過改變相關彈簧和阻尼參數(shù)進行優(yōu)化。此仿真結果可為平順性分析等汽車動態(tài)性能分析提供數(shù)據(jù)支持。

(a)時間-位移圖

(b)時間-加速度圖圖8 駕駛員位移及加速度時域曲線圖Fig.8 Driver’s displacement and accelerationcharacteristic

5 結論

(1)離散模型與Lagrange模型的對比表明兩種建模方法得到的分析結果差別極小，可忽略不計，證明離散該模型是正確的。

(2)通過D級路面激勵，得到了車身關鍵點和駕駛員的動態(tài)特性曲線，為后續(xù)的分析提供原始數(shù)據(jù)，還可為汽車彈簧和阻尼器設計提供依據(jù)。

(3)本文初始條件的設定以空載仿真結果為依據(jù)，這與實際情況有一定的差異，故仿真前0～2s內(nèi)可能出現(xiàn)振蕩，但由于阻尼器的存在，振蕩的影響很快會消失。

(4)本文提出的方法也可用于一般乘用車或其他商用車，但當考慮乘客及座椅對整車動力學性能的影響時，可將車身等效質(zhì)量點中的一個質(zhì)點轉化到座椅對應位置，通過乘客和車身質(zhì)點串聯(lián)模型，建立對應的數(shù)學模型。

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(編輯 張 洋)

Modeling and Analyses of Heavy-duty Truck Dynamics Based on System Constraints

HUANG Kang1DUAN Songlin1ZHEN Shengchao1XU Rui1XUE Yongchang2

1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Hefei University of Technology,Hefei,230009 2.Fu Ma Components Co.,Ltd.,Maanshan,Anhui,243100

Aiming at difficulties of building vehicle model, a discrete dynamics model of heavy-duty truck was proposed based on system constraints, and dynamics analyses were made based on the model. Basic theory of the model was from Udwadia and Kalaba’s multi-body dynamics system. The situations that four tires’ loads generated by road were different during normal operations considered. The dynamics characteristics ofzdirection of the vehicle were mainly researched . Though simulations by MATLAB, the graphs of each particles under conditions of unload and load beyond level D were obtained. Compared with the graphs which was generated by Lagrange model, the correctness of the dynamics model was proved, and the simulation graphs of dynamic characteristics of key particles and the driver were analyzed.

heavy-duty truck; system constraint; discrete dynamics system; Udwadia and Kalaba theory; dynamics analysis

2016-03-10

國家自然科學基金資助項目(51505116)

U461.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.04.017

黃 康，男，1968年生。合肥工業(yè)大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為計算機輔助公差設計、新型傳動設計及理論、齒輪動力學。E-mail:hfhuang98@163.com。段松林，男，1990年生。合肥工業(yè)大學機械工程學院碩士研究生。甄圣超，男，1988年生。合肥工業(yè)大學機械工程學院副教授。徐 銳，男，1985年生。合肥工業(yè)大學機械工程學院博士研究生。薛永昌，男，1867年生。福馬汽車零部件有限公司工程師。