胡 溧， 楊馳杰， 楊啟梁， 施耀貴

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，武漢 430081)

周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)的帶隙特性研究

胡 溧， 楊馳杰， 楊啟梁， 施耀貴

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，武漢 430081)

首次將顆粒阻尼運(yùn)用到局域共振型性周期結(jié)構(gòu)中，推導(dǎo)和驗(yàn)證了周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙的計(jì)算公式。通過(guò)設(shè)計(jì)一種周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)并測(cè)試該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性，探究周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙特性的結(jié)構(gòu)影響因素及變化規(guī)律。結(jié)果顯示：①周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)的傳輸特性中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)振動(dòng)劇烈衰減區(qū)，說(shuō)明周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)具有帶隙特性；②周期配重的板結(jié)構(gòu)帶隙起始頻率會(huì)隨著質(zhì)量的增大而先增大后減小，其中，當(dāng)配重50 g時(shí)帶隙起始頻率最大；③相比較配重同等質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙均變寬，且最大衰減幅值均變大。④當(dāng)顆粒阻尼器間距為0 cm、2 cm、4 cm、6 cm時(shí)，周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且最大衰減幅值也逐漸變大。

周期顆粒阻尼；帶隙；質(zhì)量；損耗因子；間距

工程上，周期性結(jié)構(gòu)出現(xiàn)較早，被大量應(yīng)用在飛行器、船舶等大型工業(yè)設(shè)備中，主要用于提高設(shè)備的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，改善設(shè)備的動(dòng)力學(xué)性能等方面，在應(yīng)用過(guò)程中，很多研究人員對(duì)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究和總結(jié)。早在70世紀(jì)70年代，SEN等[1-2]在對(duì)周期性結(jié)構(gòu)中自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的一些方法進(jìn)行總結(jié)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了在某些周期性結(jié)構(gòu)中會(huì)對(duì)某些頻帶的振動(dòng)波產(chǎn)生很大程度的衰減，但并未從理論上說(shuō)明周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性。隨著20世紀(jì)80年代，光子晶體被提出，類比光子晶體，KUSHWAHA等[3]第一次提出聲子晶體的概念，并對(duì)鎳柱在鋁合金基體中形成的復(fù)合介質(zhì)采用平面波方法計(jì)算獲得了在剪切極化方向的彈性波禁帶。在聲子晶體中，密度、阻抗和彈性參數(shù)不同的材料按照類似于天然晶體的結(jié)構(gòu)周期性復(fù)合在一起[5]。YEH[4]用復(fù)合梁加強(qiáng)結(jié)構(gòu)構(gòu)成周期性結(jié)構(gòu)，用傳遞矩陣法和有限元結(jié)合的方法分析了其在高頻段的禁帶特性。XU等[5]用空間諧波方法分析了周期性結(jié)構(gòu)與液體之間振動(dòng)與聲的相互作用過(guò)程。王剛等[6-7]在周期結(jié)構(gòu)的帶隙機(jī)理方面進(jìn)行了探索，舒海生等[8]對(duì)聲子晶體串聯(lián)組合桿結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙的變化規(guī)律進(jìn)行了研究，但所有這些關(guān)于周期性結(jié)構(gòu)的研究中，均未深入研究阻尼材料性對(duì)帶隙的影響。對(duì)具有阻尼材料的周期性結(jié)構(gòu)的帶隙問(wèn)題尚待進(jìn)一步研究。

本文首次將顆粒阻尼結(jié)構(gòu)運(yùn)用到局域共振型周期結(jié)構(gòu)中，基于有限元法和歐拉梁理論，從理論上推導(dǎo)出周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙的判定公式。設(shè)計(jì)一種周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)并測(cè)試該周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性，探究該周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的帶隙特性及其影響因素，得出該周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的帶隙變化規(guī)律。

1 周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙的理論推導(dǎo)

1.1 帶隙判別公式的確定

所構(gòu)造周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)模型如圖1所示, 結(jié)構(gòu)為薄板上方均布顆粒阻尼器組成。根據(jù)Kirchhoff-Love假設(shè)，橫向振動(dòng)情況下的薄板結(jié)構(gòu)可以等效為自由約束狀態(tài)下的歐拉-伯努利梁，顆粒阻尼結(jié)構(gòu)可以等效為質(zhì)量塊、彈簧和阻尼的組合，設(shè)質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，阻尼系數(shù)為c，該周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的周期常數(shù)(即晶格常數(shù))為a，如圖2所示。

圖1 周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Model of composite slab structurewith periodic particle damping

圖2 周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)化圖Fig.2 The simple model of composite slab structure with periodic particle damping

將圖2所示簡(jiǎn)化圖中取如圖3所示復(fù)合單元，一個(gè)復(fù)合單元由兩個(gè)長(zhǎng)為a/2的梁?jiǎn)卧约耙粋€(gè)顆粒阻尼結(jié)構(gòu)組成，其中，顆粒阻尼結(jié)構(gòu)等效為質(zhì)量塊、彈簧和阻尼的組合，質(zhì)量塊質(zhì)量為顆粒阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)質(zhì)量，彈簧剛度為長(zhǎng)為a的金屬薄板的彎曲剛度，阻尼系數(shù)由顆粒阻尼器的損耗因子體現(xiàn)。

圖3 周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)單元Fig.3 Element of composite slab structure with periodic particle damping

β=

顆粒阻尼結(jié)構(gòu)即為一單自由度吸振器，其附加動(dòng)剛度矩陣為

復(fù)合單元的動(dòng)力學(xué)方程為Kcuc=Fc，式中uc和Fc分別表示復(fù)合單元中所有節(jié)點(diǎn)的廣義位移向量和廣義力向量。為推導(dǎo)方便，將復(fù)合單元的所有節(jié)點(diǎn)自由度合成為三部分：左端(L)、中部(I)和右端(R)，故動(dòng)力學(xué)方程可改寫為

(1)

復(fù)合單元內(nèi)部自由度不受外力，即FI=0，即KILuL+KIIuI+KIRuI=0，化簡(jiǎn)可得

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

uR=e-iqauL

(4)

FR=-e-iqaFL

(5)

式中:q表示Bloch波矢。將式(4)代入式(3)第一行得

(6)

將式(5)代入式(3)第二行得

(8)

將式(6)代入式(8)可得

(9)

(10)

1.2 能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算算例

為了驗(yàn)證帶隙解析表達(dá)式的正確性，任意選取一組周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的參數(shù)計(jì)算出能帶結(jié)構(gòu)，得出第一帶隙所處位置，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。選取周期結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：金屬薄板選取Q195鐵板，其彈性模量E=2.12×1011N/m2，密度ρ=7.69×103kg/m3,b×h=0.12 m×0.001 3 m=1.56×10-4m2(此處b為金屬薄板的寬度，h為金屬薄板的厚度，I=bh3/12=2.25×10-11m4)，a=0.06 m，得到周期結(jié)構(gòu)的等效模型中k=4.85×105N/m，取m=65 g，理論計(jì)算模型為無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，為了方便理論計(jì)算和對(duì)比，取η=0。由式(10)計(jì)算可得該周期結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示，計(jì)算所得第一帶隙為340～582 Hz。

圖4 周期結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)圖Fig 4 Energy band of the periodic structure

1.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)采用相同參數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：金屬薄板選取Q195鐵板，通過(guò)彈性繩水平懸掛，薄板長(zhǎng)×寬×厚=0.5 m×0.12 m×0.001 3 m，配重為45 g金屬塊，粘結(jié)在20 g容器上方，容器通過(guò)粘結(jié)劑與薄板粘結(jié)，如圖5(a)所示。實(shí)驗(yàn)采用Test.Lab測(cè)試系統(tǒng)，如圖5b所示 ，薄板結(jié)構(gòu)采用彈性繩懸掛，處于自由狀態(tài)，激勵(lì)采用0～1 280 Hz寬頻白噪聲，施加在薄板結(jié)構(gòu)左端中間位置，響應(yīng)拾取點(diǎn)位于薄板結(jié)構(gòu)右端中間位置，輸出響應(yīng)的頻譜與激勵(lì)信號(hào)的頻譜相比即可得到復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性，如圖6所示，結(jié)構(gòu)的傳輸特性中，帶隙頻帶范圍內(nèi)的衰減為10 dB以上[10]。

圖5 周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)和Test.Lab測(cè)試系統(tǒng)Fig.5 Composite slab structure with periodic particle damping and Test.Lab system

圖6 45 g配重結(jié)構(gòu)試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.6 Testing vibration response curve of structure with 45 g mass

從圖6中可知：45 g配重的薄板結(jié)構(gòu)第一帶隙為324～580 Hz。對(duì)比計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：第一帶隙帶寬相差5.8%，第一帶隙起始頻率相差4.9%。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，但還存在一定誤差，誤差來(lái)源：理論計(jì)算時(shí)所采用的模型為無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，而實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)為有限周期結(jié)構(gòu)。由此可見，前文推導(dǎo)的周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙計(jì)算的解析表達(dá)式是正確的。

由周期顆粒阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙計(jì)算的解析表達(dá)式可得，結(jié)構(gòu)的帶隙受到結(jié)構(gòu)參數(shù)：阻尼器質(zhì)量、顆粒阻尼器阻尼系數(shù)(即顆粒阻尼器損耗因子)和晶格常數(shù)(即顆粒阻尼器間距)的影響，為了探究周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙隨三個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)行了三組振動(dòng)傳輸特性試驗(yàn)。

2 質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙影響規(guī)律的探究

2.1 試驗(yàn)對(duì)象

為了探究質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響，對(duì)如下粘有不同配重的四種薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)傳輸特性測(cè)試：顆粒阻尼器容器與10 g配重、顆粒阻尼器容器與30 g配重、顆粒阻尼器容器與50 g配重和顆粒阻尼器容器與70 g配重，試驗(yàn)結(jié)構(gòu)如圖5(a)所示，試驗(yàn)裝置如圖7所示。

圖7 試驗(yàn)裝置Fig.6 Testing device

2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

試驗(yàn)測(cè)得的四種不同配重薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖8所示。從圖中可以看出：10 g配重的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為282～565 Hz；30 g配重的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為278～585 Hz；50 g配重的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為323～596 Hz；70 g配重的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為234～556 Hz。結(jié)果表明，周期配重的薄板結(jié)構(gòu)帶隙的起始頻率會(huì)隨著質(zhì)量的增大而先增大后變小，其中，當(dāng)配重50 g時(shí)帶隙起始頻率最大。

圖8 不同配重結(jié)構(gòu)試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.8 Testing vibration response curve of struture with different mass

3 損耗因子對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙影響規(guī)律的探究

3.1 試驗(yàn)對(duì)象

為了探究顆粒阻尼器損耗因子對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙的影響，對(duì)四組不同質(zhì)量配重-顆粒材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)傳輸特性試驗(yàn)測(cè)試及對(duì)比。選取四種結(jié)構(gòu)如下：①對(duì)比裝有10 g顆粒材料或10 g配重的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性；②對(duì)比裝有30 g顆粒材料或30 g配重的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性；③對(duì)比裝有50 g顆粒材料或50 g配重的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性；④對(duì)比裝有70 g顆粒材料或70 g配重的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性，配重結(jié)構(gòu)如圖5所示，填充顆粒材料的結(jié)構(gòu)如圖9所示。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

試驗(yàn)測(cè)得的四組結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖10所示。

振動(dòng)傳輸特性如表1所示。結(jié)果表明，相比較配

重同等質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)的帶隙均變寬，且結(jié)構(gòu)傳輸特性最大衰減幅值均變大。

圖9 周期顆粒阻尼試驗(yàn)結(jié)構(gòu)Fig.9 Testing structure with periodic particle damping

圖10 不同質(zhì)量配重-顆粒阻尼試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.10 Testing vibration response curve of structure with different mass or particle damping

帶隙最大衰減幅值10g配重282～565Hz-35．2dB顆粒材料275～580Hz-39．3dB30g配重278～585Hz-43．2dB顆粒材料265～580Hz-48．7dB50g配重323～596Hz-45．8dB顆粒材料279～615Hz-50．6dB70g配重234～556Hz-50．6dB顆粒材料257～657Hz-56．9dB

4 顆粒阻尼器間距對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙影響規(guī)律的探究

4.1 試驗(yàn)對(duì)象

為了探究間距對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)帶隙的影響，對(duì)顆粒阻尼器(裝有70 g顆粒材料)間距分別為0 cm、2 cm、4 cm和6 cm的四種結(jié)構(gòu)(如圖8所示)進(jìn)行了振動(dòng)傳輸特性試驗(yàn)測(cè)試。

4.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

試驗(yàn)測(cè)得的四種不同配重薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖11所示。從圖中可以看出：顆粒阻尼器間距為0 cm的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為496～596 Hz，最大衰減幅值為-29.1 dB；顆粒阻尼器間距為2 cm的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為270～440 Hz，最大衰減幅值為-39.1 dB；顆粒阻尼器間距為4 cm的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為235～465 Hz，最大衰減幅值為-44.7 dB；顆粒阻尼器間距為6 cm的薄板結(jié)構(gòu)帶隙為257～657 Hz，最大衰減幅值為-56.9 dB。結(jié)果表明，當(dāng)顆粒阻尼器間距增大時(shí)，顆粒阻尼周期結(jié)構(gòu)帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且結(jié)構(gòu)傳輸特性最大衰減幅值逐漸變大。

圖11 不同間距顆粒阻尼試驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.11 Testing vibration response curve of struturewith different interval particle damping

5 結(jié) 論

首次將顆粒阻尼應(yīng)用于基于聲子晶體的周期結(jié)構(gòu)中，研究了周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)的帶隙特性，從理論上推導(dǎo)了周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙計(jì)算的解析表達(dá)式，得出周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙的影響因素。通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果可知：

(1)周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)的傳輸特性中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)振動(dòng)劇烈衰減區(qū)，說(shuō)明了周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，且結(jié)構(gòu)的帶隙受到結(jié)構(gòu)參數(shù)：質(zhì)量、顆粒阻尼器阻尼系數(shù)(即顆粒阻尼器損耗因子)和晶格常數(shù)(即顆粒阻尼器間距)的影響；

(2)周期配重的薄板結(jié)構(gòu)即帶隙的起始頻率會(huì)隨著質(zhì)量的增大而先增大后變小，其中，當(dāng)配重50 g時(shí)帶隙起始頻率最大；

(3)相比較配重同等質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，周期顆粒阻尼結(jié)構(gòu)帶隙均變寬，且結(jié)構(gòu)傳輸特性最大衰減幅值均變大；

(4)當(dāng)顆粒阻尼器間距增大時(shí)，顆粒阻尼周期結(jié)構(gòu)帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且結(jié)構(gòu)傳輸特性最大衰減幅值逐漸變大。

從實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果來(lái)看，周期顆粒阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)帶隙處于可聽聲的低頻范圍內(nèi)。后續(xù)可以將其應(yīng)用于汽車NVH方面，對(duì)于抑制低頻范圍內(nèi)車廂的空腔共鳴會(huì)產(chǎn)生顯著的效果，具有較強(qiáng)的工程實(shí)踐意義。

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Band gap features of a composite slab structure with periodic particle damping

HU Li, YANG Chijie, YANG Qiliang, SHI Yaogui

(School of Automobile and Traffic Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Particle damping was firstly used in periodic structures with local area resonances. The band gap calculation formula of composite structures with periodic particle damping was derived and validated. Through designing a composite slab structure with periodic particle damping and measuring its vibration transmission features, the influence factors and change laws of the band gap features for the composite structure with periodic particle damping were studied. The results showed that ① a vibration acute attenuation area appears in the vibration transmission features of the composite structure with periodic particle damping, so the composite structure with periodic particle damping has the band gap features; ② the band gap starting frequency of a slab structure with periodic mass increases at first and then decreases with increase in mass; when the mass is 50 g, the band gap starting frequency of the structure is the maximum; ③ compared with a structure with an equal mass, the band gap of the structure with periodic particle damping is wider and the maximum attenuation amplitude value is larger; ④ when the space between particle dampers is 0 cm, 2 cm, 4 cm and 6 cm, respectively, the band gap width of the slab structure with periodic particle damping becomes larger gradually, they are 100 Hz, 170 Hz, 230 Hz, and 400 Hz, respectively, and the maximum attenuation amplitude value becomes larger gradually.

periodic particle damping; band gap; mass; loss factor; space between

國(guó)家自然科學(xué)基金(51105283)

2015-09-09 修改稿收到日期：2016-01-14

胡溧 男，博士，教授，1977年3月生

楊馳杰 男，碩士生，1992年4月生

TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.013