周家新，陳建勇，單志超，陳長(zhǎng)康

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001）

航空磁探中潛艇磁場(chǎng)建模方法分析

周家新a，陳建勇b，單志超b，陳長(zhǎng)康a

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001）

為提高航空磁探中潛艇磁場(chǎng)模型精度，分析現(xiàn)有潛艇磁場(chǎng)建模方法，對(duì)邊界積分法、有限元法、積分方程法、磁體模擬法等主要潛艇磁場(chǎng)建模方法的基本原理和推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行分析。通過(guò)數(shù)值分析比較各方法的建模精度，最后歸納潛艇低空磁場(chǎng)建模方法的基本要點(diǎn)。

航空磁探；潛艇磁場(chǎng)；邊界積分法；有限元法；積分方程法；磁體模擬法

基于磁性探潛應(yīng)用的潛艇磁場(chǎng)建模理論和技術(shù)研究始于一戰(zhàn)時(shí)期[1]。新倫敦海軍試驗(yàn)站在1918年使用固定線圈型磁檢測(cè)器檢測(cè)磁性目標(biāo)，并對(duì)潛艇的磁性進(jìn)行研究。1944年，搭載Madcats航空磁探儀的63巡邏中隊(duì)在直布羅陀海峽準(zhǔn)確追蹤到U-761潛艇[2]。20世紀(jì)90年代國(guó)外已開(kāi)始使用FLUX3D、ANSYS等有限元分析軟件對(duì)潛艇進(jìn)行磁場(chǎng)建模[3]，并得到高模擬精度的數(shù)學(xué)模型。

從PB報(bào)告中了解到美國(guó)早已對(duì)艦艇磁特性、艦艇低空磁場(chǎng)特征深入探索。日本最先采用磁偶極子近似推算潛艇的準(zhǔn)靜態(tài)磁場(chǎng)低空磁異常信號(hào)[4]。德、英、法、俄等國(guó)通過(guò)磁性鋼板、薄壁艦艇殼層等[5-6]磁性模型，對(duì)艦艇磁場(chǎng)有限元建模分析方法進(jìn)行了大量研究[7]，用于艦艇感應(yīng)磁場(chǎng)分析、渦流磁場(chǎng)分析和消磁繞組優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面。

我國(guó)有關(guān)艦艇磁場(chǎng)和航空磁性探潛的研究起始于20世紀(jì)50年代末，由于多種因素，發(fā)展并不順利。但經(jīng)過(guò)多年研究，也取得了一些潛艇磁場(chǎng)建模的理論和技術(shù)成果[8-9]。潛艇空間磁場(chǎng)是航空磁探儀對(duì)潛探測(cè)和磁性武器對(duì)潛攻擊的探測(cè)源[10]，其空間分布直接影響航空磁探儀對(duì)潛艇探測(cè)寬度和作用距離以及對(duì)磁性武器的磁隱身能力[11]。潛艇磁場(chǎng)建模可分為物理建模和數(shù)學(xué)建模，與傳統(tǒng)的潛艇物理磁模型相比較，數(shù)學(xué)模型分析性價(jià)比更高，耗費(fèi)更小，研制周期更短，效率更高。

數(shù)學(xué)模型仿真方法的基本思路是構(gòu)建潛艇磁場(chǎng)的延拓?cái)?shù)學(xué)模型，然后根據(jù)部分測(cè)量數(shù)據(jù)作為延拓?cái)?shù)學(xué)模型的輸入對(duì)其他空間的磁場(chǎng)進(jìn)行換算，主要包括磁體模擬（又稱“等效源”）法[12-13]、積分方程法[14]、有限元（素）法[7]、邊界積分法[15]。

圖1為常用的模型方法。

1 邊界積分法

邊界積分法在半空間區(qū)域基于格林函數(shù)，通過(guò)標(biāo)量磁位分布求拉普拉斯的邊值問(wèn)題。根據(jù)麥克斯韋方程組可以得到潛艇靜磁場(chǎng)描述如下[16]：

式（1）中：H為潛艇磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度；δ為電流密度；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。

由潛艇附近的電流密度δ=0，可得

即

式（3）中：Hx、Hy、Hz分別是磁場(chǎng)強(qiáng)度H在x、y、z軸向上的分量的幅值。

圖2為潛艇磁場(chǎng)場(chǎng)域的示意圖。場(chǎng)源代表磁性目標(biāo)潛艇，Γs為磁場(chǎng)數(shù)據(jù)觀測(cè)面，Q為觀測(cè)面以上的計(jì)算點(diǎn)，Ω為無(wú)源封閉區(qū)域，P為位于觀測(cè)面Γs上的流動(dòng)積分點(diǎn)，?！逓闊o(wú)窮遠(yuǎn)邊界曲面，r為計(jì)算點(diǎn)Q與流動(dòng)點(diǎn)P之間的距離。場(chǎng)域?yàn)橛邢蘅臻g，觀測(cè)面為有限平面。

在圖2所示的無(wú)源封閉區(qū)域中，代入標(biāo)量磁位u，由靜磁場(chǎng)的麥克斯韋方程得到

由??B=μ0??H=-μ0?2u=0，得到拉普拉斯方程

根據(jù)格林函數(shù)，解式（3）的拉普拉斯方程，則空間場(chǎng)點(diǎn)Q(x′,y′,z′)處的三分量磁場(chǎng)強(qiáng)度為：

通過(guò)觀測(cè)面Γs上的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，再根據(jù)式（6）的潛艇磁場(chǎng)向上延拓公式便可得到潛艇磁場(chǎng)強(qiáng)度。

邊界積分法對(duì)求解區(qū)域邊界進(jìn)行單元化剖分，可對(duì)計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行降維，加快模型求解速度；但其所需要的實(shí)際數(shù)據(jù)量大，觀測(cè)面必須滿足大平面要求。

2 有限元法

有限元法當(dāng)前廣泛應(yīng)用在工程實(shí)踐當(dāng)中，在潛艇磁場(chǎng)建模中對(duì)潛艇幾何形狀進(jìn)行元素化離散剖分，得到單元區(qū)域，進(jìn)行偏微分?jǐn)?shù)值求解。將潛艇磁場(chǎng)建模問(wèn)題轉(zhuǎn)化成的泛函變分問(wèn)題，離散求解該變分問(wèn)題可以得到潛艇磁場(chǎng)的有限元數(shù)值解。

將式（5）等效變換為潛艇高空磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的泛函變分問(wèn)題：

式（7）中：Ω1為空間場(chǎng)域；μ為磁導(dǎo)率，對(duì)應(yīng)不同的鐵磁性物質(zhì)以及不同區(qū)域，取值不同。

潛艇具有一定的磁矩，其磁場(chǎng)在無(wú)窮極限處近似衰減為零，即當(dāng)|z|→∞時(shí)，得到無(wú)窮遠(yuǎn)的邊界條件，邊界處的磁位為uB=-Hz0?z。

將半空間場(chǎng)域Ω1離散為N個(gè)微元，各微元的體積為Vn(n=1,2,…,N)，并形成m個(gè)節(jié)點(diǎn)，則磁位u可以使用單元上的節(jié)點(diǎn)磁位ui的三維差值函數(shù)Ni為：

對(duì)式（7）進(jìn)行離散化，并將式（8）代入，得到實(shí)際可計(jì)算的潛艇低空磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的泛函變分為

則變分問(wèn)題可以變?yōu)?/p>

當(dāng)泛函F取極小值時(shí)，可以得到

根據(jù)半空間無(wú)窮邊界面上的邊值條件，可得到各個(gè)剖分單元節(jié)點(diǎn)上的潛艇低空磁位ui。

將磁位u代入式（4），即可得到潛艇磁場(chǎng)空間分布。

反潛機(jī)一般飛行在一定高度上，場(chǎng)域空間極大，對(duì)場(chǎng)域空間剖分受到條件限制。

當(dāng)剖分的微元個(gè)數(shù)極大時(shí)，潛艇磁場(chǎng)模型求解必須有足夠的計(jì)算速度支持。

3 積分方程法

潛艇在空間場(chǎng)點(diǎn)Q(x′,y′,z′)處產(chǎn)生矢徑為r，磁場(chǎng)強(qiáng)度為H的磁場(chǎng)，且

Hs為潛艇附近的空間電流因電磁感應(yīng)在空間場(chǎng)點(diǎn)Q(x′,y′,z′)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)，且

式（14）中：j是海水中的電流密度；r′是海水中的電流元 jdv于空間場(chǎng)點(diǎn)處的矢徑。

Hm是潛艇作為鐵磁物質(zhì)磁化產(chǎn)生的磁場(chǎng)，且

對(duì)式（13）進(jìn)行離散化，得到：

將式（16）寫成矩陣形式：

空間場(chǎng)點(diǎn)Q(x′,y′,z′)處的磁場(chǎng)分量為：

求解式（17）矩陣，得到磁化率χ′，聯(lián)立式（18）則可以得到潛艇磁場(chǎng)在空間中的分布。

積分方程法依據(jù)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)出來(lái)，其計(jì)算精度高，但需要對(duì)艦艇進(jìn)行精確的剖分，計(jì)算量較大。

4 磁體模擬法

磁體模擬法又稱等效源法，用已知磁場(chǎng)分布的磁性物體來(lái)等效實(shí)際潛艇，模擬潛艇磁場(chǎng)。常用的磁性目標(biāo)磁場(chǎng)建模磁體模擬模型有：旋轉(zhuǎn)橢球體模型、磁偶極子陣列模型、旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型。裝載航空磁性探潛設(shè)備的巡邏機(jī)位于潛艇的遠(yuǎn)場(chǎng)空間，潛艇低空磁場(chǎng)可使用如圖3所示的旋轉(zhuǎn)橢球體模型近似等效。圖3中，L=2a是潛艇長(zhǎng)度，B=2b是潛艇寬度，半焦距。

基于單個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體模型近似的潛艇磁場(chǎng)空間分布擬合精度不高，通過(guò)磁偶極子陣列模型擬合潛艇磁場(chǎng)，得到精度較高的模型。

圖4所示為潛艇的磁偶極子陣列模型，通過(guò)一定數(shù)量的磁偶極子形成的矢量場(chǎng)疊加，擬合空間磁場(chǎng)分布。當(dāng)磁偶極子個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，預(yù)測(cè)磁場(chǎng)值將趨近真實(shí)值。

針對(duì)航空磁探潛需求，為提高潛艇低空磁場(chǎng)擬合精度和求解速度，常使用圖5所示的旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型。

潛艇在空間場(chǎng)點(diǎn)Qj(x′j,y′j,z′j)處的磁場(chǎng)分量為Hx′j、Hy′j、Hz′j，可以得到：

式（19）中：a、b、c根據(jù)磁體不同可查閱文獻(xiàn)[9]獲得；Mx′i、My′i、Mz′i分別為磁偶極子沿x軸、y軸、z軸方向的磁矩分量帶入觀測(cè)平面的實(shí)際測(cè)量磁場(chǎng)數(shù)據(jù)和坐標(biāo)信息。

當(dāng)i=0時(shí)，式（19）表示旋轉(zhuǎn)橢球體模型；當(dāng)i=1,2,…,n時(shí)，式（19）表示磁偶極子陣列模型；當(dāng)i=0,1,2,…,n時(shí)，式（19）表示旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列混合模型；j=1,2,…,n，表示觀測(cè)平面上的第j個(gè)實(shí)測(cè)磁場(chǎng)數(shù)據(jù)。

式（19）的通用矩陣表示式為：

基于磁體模擬思想的磁場(chǎng)建模方法能夠在低空遠(yuǎn)場(chǎng)中擬合潛艇磁場(chǎng)，通過(guò)逐步回歸法、遺傳算法[17]、微粒群（PSO）算法[18]等方法對(duì)式（20）進(jìn)行優(yōu)化求解，得到潛艇磁源參數(shù)，再通過(guò)正演延拓便可得到低空磁場(chǎng)分布。磁體模擬法在計(jì)算量和實(shí)測(cè)磁場(chǎng)數(shù)據(jù)需求量等方面有突出優(yōu)勢(shì)。但使用這些優(yōu)化算法，通常計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，可靠性也存在較大的問(wèn)題。

5 數(shù)值分析

為驗(yàn)證各方法建立的磁場(chǎng)模型精度，通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較。使用一個(gè)雙層殼體結(jié)構(gòu)的鋼管來(lái)模擬簡(jiǎn)易的潛艇模型，進(jìn)行數(shù)值分析。內(nèi)鋼管的直徑為0.30 m，外鋼管直徑為0.46 m，長(zhǎng)度為1 m，各層厚度均為0.002 m。模型指向磁北向，與x軸重合，其中x∈[-20 m,20 m]。以模型中心正上方50 m處為x軸的原點(diǎn)，在[-20 m,20 m]區(qū)間內(nèi)每2 m進(jìn)行一組測(cè)量。通過(guò)光泵測(cè)磁儀測(cè)量得到測(cè)量值與模型基數(shù)按得到的預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。

定義最大相對(duì)誤差為：

可得邊界積分法、有限元法、積分方程法、磁體模擬法各模型的最大相對(duì)誤差分別為15.3%、10.4%、7.6%、22.3%，其中磁體模擬法選用單個(gè)磁偶極子模型。

6 結(jié)語(yǔ)

航空磁異常探潛中，由于飛機(jī)距離潛艇的距離一般大于潛艇的線度，常應(yīng)用簡(jiǎn)單磁偶極子模型。但該模型沒(méi)有充分利用潛艇磁異常信號(hào)的全部信息，對(duì)潛艇磁場(chǎng)的有限擬合程度導(dǎo)致丟失部分更加精確的潛艇磁異常信號(hào)特征，誤差較大。本文通過(guò)對(duì)各種建模方法的比較發(fā)現(xiàn)，積分方程法確定的磁場(chǎng)模型精度較高，邊界元法和有限元法的擬合精度受限于空間場(chǎng)域大小，磁體模擬法受限于計(jì)算量。潛艇磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的選擇要求在低空遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的擬合精度高、實(shí)時(shí)性好、解算所需的磁場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)量少，并且簡(jiǎn)單易行，計(jì)算量小。未來(lái)研究將基于積分方程法，進(jìn)一步提高潛艇磁場(chǎng)模型的實(shí)時(shí)性等性能。

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Analysis of Submarine Magnetic Field Modeling Method for Aero Magnetic Detection

ZHOU Jiaxina,CHEN Jianyongb,SHAN Zhichaob,CHEN Changkanga
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade; b.Department of Electronic and Information Engineering,Yantai Shandong 264001,China）

To improve the accuracy of models of submarine magnetic fields in the aero magnetic detection,the existed mod?eling methods of submarine magnetic field was analyzed.Fundamental principles and derived process of main modeling methods of submarine magnetic field was derived,including boundary integral method,finite element method,integral equation method,magnet simulation method.Using numerical analysis,the accuracy of the existed modeling methods was calculated.Finally the basic points of modeling method of submarine magnetic field at low altitude were illustrated.

aero magnetic detection;submarine magnetic field;boundary integral method;finite element method;integral equation method;magnet simulation method

O441

：A

1673-1522（2017）01-0143-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.01.008

2016-11-07；

：2017-01-02

部委預(yù)研基金資助項(xiàng)目（302020210）

周家新（1992-），男，碩士生。