魏 嘯，丁曉紅

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

不同目標函數(shù)的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究

魏 嘯，丁曉紅

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

針對復雜傳熱結(jié)構(gòu)的設(shè)計，可使用拓撲優(yōu)化設(shè)計方法。通過基于密度法和SIMP插值模型的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，得出高導熱材料的合理分布形態(tài)。研究了以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題。拓撲優(yōu)化結(jié)果顯示，高導熱材料集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上，該結(jié)果符合傳熱學基本理論。

傳熱結(jié)構(gòu)；拓撲優(yōu)化設(shè)計；密度法；SIMP插值模型

隨著微電子元件高度集成化的快速發(fā)展，傳統(tǒng)對電子元件進行的強制對流換熱方式已無法達到散熱要求，解決問題的有效途徑是通過對高導熱材料的合理布置，在普通導熱材料表面形成高效散熱通道，達到對熱量的高效傳導。

高導熱材的合理布置，不僅可提高導熱效率，還可減少導熱材料的使用率，降低成本。傳統(tǒng)散熱通道結(jié)構(gòu)的設(shè)計，一般通過傳熱學基本知識和工程實踐經(jīng)驗來完成。這種方法難以實現(xiàn)復雜散熱通道結(jié)構(gòu)的設(shè)計。針對復雜散熱通道的設(shè)計，可使用拓撲優(yōu)化設(shè)計，得到高自由度的散熱通道拓撲形態(tài)，再結(jié)合工程實際要求，對拓撲形態(tài)進行尺寸優(yōu)化，進而得到最佳散熱通道。

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計，一般以材料的分布為優(yōu)化目標，在一定的設(shè)計域內(nèi)尋求最優(yōu)的分布形態(tài)。目前在工程中具有成熟理論的拓撲優(yōu)化方法主要有：有密度法[1]、均勻化方法[2-3]及Level set方法[4-5]等。這些方法在傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中均有應(yīng)用。如Sigmund[6]在傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)用密度法，對較為簡單的穩(wěn)態(tài)熱傳導問題進行了研究。Iga[7]以均勻化理論為基礎(chǔ)，建立了總勢能為目標函數(shù)的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，從而確定了最佳散熱通道。Yamada[8-9]在Level set方法的基礎(chǔ)上，建立了熱擴散最大為目標的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，對導熱結(jié)構(gòu)剛度最大化問題進行了研究。

本文依托多物理場分析軟件COMSOL Multiphysics，結(jié)合密度法和SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization Model)插值模型,對以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題進行了對比研究，從而得到較為合理的散熱通道形態(tài)。

1 傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

1.1 二維熱傳導問題

本文以二維熱傳導問題為例，對傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題進行研究。

如圖1所示，Ωd為設(shè)計域，其內(nèi)有生熱率載荷Q。設(shè)計域Ωd邊界上存在第一類邊界條件和第二類邊界條件。第一類邊界ΓT，邊界溫度為T0。第二類邊界Γq，熱流密度為q。傳熱結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題可描述為：設(shè)計域Ωd為低導熱材料，在區(qū)域Ωd上合理布置高導熱材料，形成散熱通道，從而將該區(qū)域內(nèi)的熱量傳送到邊界。

圖1 二維熱傳導問題

1.2 優(yōu)化數(shù)學模型建立

在基于密度法[1]的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中，引入了偽密度的概念。偽密度并不是實際存在的物理量，而是假設(shè)的物理量。引入偽密度的目的是為了使數(shù)值求解過程更加方便直接。在各類物理場求解問題中，可將偽密度變量與實際的某一材料物理參數(shù)進行關(guān)聯(lián)，從而在計算求解過程中建立偽密度和材料物理參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

通常在結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化中將偽密度變量與彈性模量通過插值的方式進行關(guān)聯(lián)，兩者之間的關(guān)系可以是線性的，也可是非線性的，如SIMP插值或RAMP(Rational Approximation of Material Properties)插值。將偽密度與材料物理參數(shù)進行關(guān)聯(lián)，而不是直接用材料物理參數(shù)進行優(yōu)化的優(yōu)勢就是，在數(shù)學模型表示方法上更加簡潔直觀，且通用性好，即可在不同的物理場模型中都能得到應(yīng)用。

在傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題中，在偽密度值與材料的熱傳導系數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系。常用的方法是采用SIMP插值模型，即固體各向同性材料懲罰函數(shù)模型。該插值模型是一種對中間變量具有懲罰效果的非線性插值模型。其方法是在導熱系數(shù)的最大值和最小值之間插入一個指數(shù)函數(shù)。為保證插值模型具有較好的懲罰效果，通常偽密度值 限定在0和1之間。偽密度λ與熱傳導系數(shù)λ之間的函數(shù)關(guān)系為

λ=g(x)=(λmax-λmin)xp+λmin

(1)

式中,λmax、λmin分別是在傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化中所用的導熱系數(shù)的最大值和最小值。p是偽密度變量x的懲罰系數(shù)。當p=1時，插值模型對偽密度x不具有懲罰效果；當p>1時，插值模型對偽密度x具有懲罰效果，并隨著p的增大懲罰效果也隨之增大；當p<1時，插值模型對偽密度 具有增強效果，使得0～1內(nèi)的偽密度 對材料熱系數(shù)的影響力相近。

從而可將基于密度法的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型表示為

(2)

其中，x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，f:Rn→R1,x為優(yōu)化設(shè)計變量，即偽密度變量;f(λ)為優(yōu)化目標函數(shù);g(x)為插值模型;vi為離散單元i的體積;v0是體積約束上限值。

2 傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化目標函數(shù)

對于傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，諸多學者從不同目標函數(shù)出發(fā)，進行了不同的討論。張暉[10]以溫度最小化為設(shè)計目標，對設(shè)計域內(nèi)溫度分布的均勻性進行了研究。程雪濤[11]以散熱弱度和溫度方差為設(shè)計目標，討論了溫度梯度均勻化和溫度場均勻化問題。工程中傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計要求滿足的條件主要有：最高溫度最小、溫度梯度分布均勻和溫度場分布均勻等。目前，對傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計問題的研究，多以散熱弱度為設(shè)計目標[12]。這無法滿足工程中對不同工況設(shè)計的要求。本文以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標，對不同工況下的傳熱結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，并對比其傳熱性能。

(1)算術(shù)平均溫度最小化

(3)

(2)單位面積內(nèi)能最小化

(4)

其中,x為偽密度設(shè)計變量;fei(x)是設(shè)計域Ωd內(nèi)的質(zhì)量內(nèi)能;|Ωd|是設(shè)計域Ωd的面積;Eei(x)是質(zhì)量內(nèi)能場函數(shù)。

(3)平均溫度梯度最小化

(5)

3 不同目標函數(shù)優(yōu)化算例

建立如圖3所示3種傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計模型。設(shè)計域Ωd均100 mm×100 mm的正方形。設(shè)計域中心存在生熱率為Q=3×107W/m3的中心熱源。模型邊界條件均為第一類邊界條件，圖2(a)和圖2(b)分別為一邊和四角散熱邊界模型，邊界溫度均為T0=0 ℃。低導熱材料導熱系數(shù)為λmin=1 W/(m·K)。

圖2 傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型

基于密度法的COMSOL傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化其他設(shè)計參數(shù)[13]如表1所示。

分別以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標，對以上2種工況進行優(yōu)化設(shè)計。

表1 傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計參數(shù)

3.1 一邊散熱邊界優(yōu)化結(jié)果

如圖3～圖5所示，拓撲形態(tài)一～形態(tài)三分別是以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化以及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標，拓撲優(yōu)化產(chǎn)生的高導熱材料分布形態(tài)。圖4形態(tài)一可看出，在熱源和散熱邊界之間產(chǎn)生了高導熱材料主枝，主枝兩側(cè)對稱分布了若干細小枝，高導熱材料的分布較為分散，充滿了設(shè)計域的左半部。圖5形態(tài)二，除了在熱源和散熱邊界之間產(chǎn)生了高導熱材料主枝外，主枝兩側(cè)對稱分布了兩個分枝。高導熱材料的分布較為集中。圖6形態(tài)三只產(chǎn)生了熱源和散熱邊界之間較粗的一條主枝，高導熱材料分布集中，這在實際工程設(shè)計中較為合理。從以上3種形態(tài)可看出，高導熱材料主要集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上[14-15]。

圖3 算術(shù)平均溫度最小

圖4 單位面積內(nèi)能最小

圖5 平均溫度梯度最小

圖4～圖6所示，溫度場一～溫度三分別是以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化以及平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標，拓撲優(yōu)化分析生產(chǎn)的溫度場分布，可看出優(yōu)化后溫度場一～溫度三最高溫度分別為15.7 ℃、14.8 ℃、8.87 ℃，最高溫度均出現(xiàn)在熱源處。溫度場一和溫度場二的溫度分布落差較大，溫度場三溫度分布較為平緩。

從以上拓撲形態(tài)和溫度場分布分析可得出，以平均溫度梯度最小為優(yōu)化目標產(chǎn)生的高導熱材料分布形態(tài)要比其他兩種優(yōu)化目標產(chǎn)生的優(yōu)化結(jié)果更加合理。

3.2 四角散熱邊界優(yōu)化結(jié)果

圖6～圖8所示為四角散熱邊界工況下的拓撲優(yōu)化結(jié)果。從形態(tài)一～形態(tài)三可看出，該工況下，不同目標優(yōu)化產(chǎn)生的高導熱材料分布形態(tài)都為明顯的“X”形。但以算術(shù)平均溫度最小化和單位面積內(nèi)能最小化為優(yōu)化目標產(chǎn)生的形態(tài)，在設(shè)計域四邊生產(chǎn)了細小分枝，而以平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標產(chǎn)生的形態(tài)，在設(shè)計域四邊無細小分枝，而且主枝形態(tài)比前兩個形態(tài)，更加清晰平滑。

圖6 算術(shù)平均溫度最小

圖7 單位面積內(nèi)能最小

圖8 平均溫度梯度最小

優(yōu)化后溫度場一～溫度三最高溫度分別為23.3 ℃、25 ℃、12.4 ℃，最高溫度均出現(xiàn)在熱源處。溫度場一和溫度場二的溫度分布落差較大，溫度場三溫度分布較為平緩。

在四角散熱邊界工況下，三類目標函數(shù)拓撲優(yōu)化產(chǎn)生的高導熱材料形態(tài)基本都為“X”形，但以平均溫度梯度最小化為優(yōu)化目標產(chǎn)生的形態(tài)更加清晰，無細小分枝產(chǎn)生，且溫度場最高溫度最低，該目標下，高導熱材料分布更加合理。

4 算例結(jié)果對比

對以上不同工況下，采用不同目標函數(shù)拓撲優(yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果進行對比，如表2所示。

(1)通過對比可看出，以平均溫度梯度最小為目標函數(shù)，拓撲優(yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果，在高導熱材料形態(tài)分布和溫度場分布兩方面都要比其他兩種目標函數(shù)下產(chǎn)生的結(jié)果好;

(2)不同目標函數(shù)優(yōu)化產(chǎn)生的結(jié)果顯示，一邊散熱工況下，溫度場最高溫度要比四角散熱工況下最高溫度底;

(3)四角散熱邊界工況，拓撲優(yōu)化后，溫度場最高溫度比其它工況的高。這是因為散熱邊界與熱源之間的路徑比其他工況長的緣故;

(4)從兩種工況拓撲優(yōu)化產(chǎn)生的高導熱材料分布形態(tài)可知，高導熱材料主要集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上。

表2 算例結(jié)果對比

5 結(jié)束語

通過基于密度法和SIMP插值模型的COMSOL傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，得出高導熱材料的合理分布形態(tài)。研究了以算術(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化及平均溫度梯度最小化為目標的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題。研究結(jié)果顯示，相比其他兩種優(yōu)化目標產(chǎn)生的結(jié)果，以平均溫度梯度最小化為目標，優(yōu)化后的高導熱材料分布形態(tài)更加清晰、無細小枝出現(xiàn)，符合實際工程要求。而且溫度場最高溫度也低于其他兩種目標下的最高溫度。其次，拓撲優(yōu)化結(jié)果還顯示，高導熱材料集中分布在熱源和散熱邊界的最短路徑上，該結(jié)果符合傳熱學基本理論。

[1] Bends?e M.Optimal shape design as a material distribution problem[J].Structural Optimization,1989,4(1):193-202.

[2] Bendsφe M,Kikuchi N.Generating optimal topologies in structuraldesign using a homogenizationmethod[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1988,71(2):197-224.

[3] Fujii D,Chen B,Kikuchi N.Composite material design of two-dimensional structures using the homogenization design method[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2001,50(9):2031-2051.

[4] Wang M,Wang X,Guo D.A Level set method for structural topology optimization[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2003,192(1-2):227-246.

[5] Allaire G,Jouve F,Toader A. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method[J].Journal of Computational Physics, 2004,194(1):363-393.

[6] Bends?e M,Sigmund O.Topology optimization theory, methods, and applications[M].Germany:Springer Verlag,2003.

[7] Iga A,Nishiwaki S.Topology optimization for thermal problems based on assumed continuous approximation of material distributions[J].Transacions of the Japan Society of Mechanical Engineers,Series C,2007,733(73):2426-2433.

[8] Yamata T,Nishiwaki S.Level set-based topolog optimization method for thermal problems[J].Transacions of the Japan Society of Mechanical Engineers,Series C,2009,759(75): 2868-2876.

[9] Iga A ,Yamata T.Topogy optimization for coupled thermal and srtuctural problems U sing the level set merhod[J].Transacions of the Japan Society of Mechanical Engineers,Series C,2010,76(761):36-43.

[10] 張暉,劉書田,張雄.拓撲相關(guān)熱載荷作用下穩(wěn)態(tài)熱傳導結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化[J].中國機械工程,2009(11):1339-1343.

[11] 程雪濤,徐向華,梁新剛.溫度場與溫度梯度場的均勻化[J].中國科學,2009,39(10):1730-1735.

[12] 喬赫廷,張永存,劉書田.散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化目標函數(shù)的討論[J].中國機械工程,2011(9):1112-1117.

[13] 崔天福,丁曉紅,侯麗園.基于密度法的傳熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論研究[J].上海理工大學學報,2014(6):548-555.

[14] 左孔天,陳立平,張云清,等.用拓撲優(yōu)化方法進行熱傳導散熱體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[J].機械工程學報,2005,41(4):13-16.

[15] 程新廣,李志信.基于仿生優(yōu)化的高效導熱通道的構(gòu)造[J].中國科學:E輯:技術(shù)科學,2003,33(3):251-256.

Topology Optimization of Transfer Structure for Different Objective Functions

WEI Xiao，DING Xiaohong

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

The heat transfer structure is generally designed with basic knowledge of heat transfer theory and engineering practice and experience. Method of topology optimization design can be used in design of complex heat transfer structure. Reasonable arrangement form of high thermal conductivity material is found by heat transfer structure topology optimization design based on density method and SIMP interpolation model. Topology optimization problems of heat transfer structure are studied and the problems are usually for minimizing arithmetic mean temperature, internal energy of per unit area and average temperature gradient. Topology optimization results show that the high thermal conductivity material is distributed on the shortest path between the heat source and the thermal boundary, which accords with the basic theory of heat transfer.

heat transfer structure; topology optimization design; density method; SIMP interpolation model

2016- 04- 11

魏嘯(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化設(shè)計。丁曉紅(1965-)，女，博士，教授，博士生導師。研究方向：機械系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)現(xiàn)代設(shè)計理論。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.02.041

TN304

A

1007-7820(2017)02-156-05