王遠征

(山東省煙臺第二中學 山東 煙臺 264000)

分運動獨立的條件和理論基礎(chǔ)

王遠征

(山東省煙臺第二中學 山東 煙臺 264000)

以微分方程的可加性為基礎(chǔ)，論述了分運動獨立與否的條件是——合運動的動力學方程可以寫成兩個分運動的動力學方程之和，為用運動的分解與合成解決復(fù)雜的運動指明了理論基礎(chǔ)．

分運動的獨立性 運動的分解與合成 微分方程的可加性

在研究復(fù)雜運動的時候，時常會出現(xiàn)兩個分運動相互獨立的現(xiàn)象，即：一個分運動的改變并不影響另一個分運動的快慢，于是，有人就得出了“運動的獨立性原理”的說法．而實際上，分運動的獨立性是有條件的，分運動不獨立的現(xiàn)象比比皆是．

【例1】一個小球以水平的初速度v0拋出，其受到的空氣阻力和速度的平方成正比，試求該小球在水平和豎直兩個方向的運動情況．

分析：物體的動力學方程為

在x方向上，滿足的方程為

(1)

同時在y方向上，滿足的方程為

(2)

無論我們將兩個方程施加何種運算，既不能在方程(1)中消掉vy，也不能在方程(2)中消掉vx，這說明，兩個分運動就不是獨立的．故而，運動的獨立性原理不是一個真正的有普遍意義上的規(guī)律．

但是，如果兩個分運動要是獨立的話，就可以先分別研究出兩個分運動的情況，進而求出合運動的情況，不光是我們處理復(fù)雜運動的重要手段，而且確實可以使解題過程大為簡化，特別是在中學階段，這幾乎是處理復(fù)雜運動問題的唯一手段．

【例2】如圖1所示，在勻強磁場中由靜止釋放一個帶正電的微粒，證明它的運動軌跡是擺線．

圖1 磁場中靜止釋放正電荷的運動軌跡

分析：微粒的初速度是零，我們將運動是零的狀態(tài)看作是向左速度v0和向右速度也是v0的兩個運動的疊加，并設(shè)定v0的大小滿足

qv0×B=mg

所以，向右的運動是以v0為初速度的勻速直線運動，向左的運動因為只受洛倫茲力的作用，因而做勻速圓周運動．而這兩個分運動的合運動正好組成擺線運動．

我們剛才的計算，就建立在兩個分運動的獨立性之上．現(xiàn)在，關(guān)鍵的問題是，我們怎么知道這兩個分運動是獨立的呢？我們的處理方法一定是正確的呢？答案非常簡單：我們分別列出兩個分運動的動力學方程為

qv0×B+mg=0

(3)

(4)

式中v1代表初速度向左的分運動的速度．而合運動的動力學方程一定可以寫成如下的形式

(5)

一般的，如果一個運動的動力學方程可以寫成兩個獨立的運動方程之和．則兩個分方程解的和就是總方程的解——即兩個分方程描述了兩個分運動，總方程就描述了物體的合運動．

有了這樣的認識，我們在用運動的合成與分解處理復(fù)雜的運動時，就不再是僅憑著感覺和臆測，而是有了嚴密的根據(jù)．

2016-11-15)