何崇榮

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第三中學(xué) 湖北 武漢 430317)

平行板電容器有關(guān)物理問題的理論推導(dǎo)

何崇榮

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第三中學(xué) 湖北 武漢 430317)

對可看做無限大的平行板電容器電荷的分布、電容的定量表達(dá)式以及插入金屬板或者電介質(zhì)對電容的影響等規(guī)律做了嚴(yán)格的推導(dǎo)，旨在拓寬物理教師視野．

平行板電容器 推導(dǎo) 規(guī)律 電容

高中階段關(guān)于平行板電容器的規(guī)律基本上都是直接給出，比如電荷只分布在兩板內(nèi)側(cè)、電容器電容的決定式、以及插入金屬板或者電介質(zhì)對電容的影響，作為教師應(yīng)該要掌握這些規(guī)律的由來．

1 無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場強(qiáng)度

電荷均勻分布于一個(gè)無限大平面上，其面密度為σ，其激發(fā)的靜電場強(qiáng)怎么計(jì)算？

1.1 利用均勻帶電圓盤模型推導(dǎo)

將無限大平面看做是無限大圓盤．如圖1所示.

圖1 無限大圓盤模型

以盤心O為圓心作半徑各為r及r+dr的圓，在作兩條夾角為dφ的半徑，便截出一個(gè)很小的“半扇形”，因dφ很小，可以認(rèn)為這個(gè)半扇形為矩形，其長、寬各為dr及rdφ，其面積為

dS=rdφdr

其電荷量為

dq=σdS=σrdφdr

根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，它在軸上一點(diǎn)P貢獻(xiàn)的場強(qiáng)大小為

其中l(wèi)為半扇形和P點(diǎn)的距離，根據(jù)對稱性，整個(gè)帶電圓盤在軸線上場強(qiáng)平行于軸線，因此只需對dE沿軸線的分量dEx作積分便可求得E，由圖可知

靜電力常量

對變量r和x作二重積分得

對于無限大帶電平面，即R→∞，則其激發(fā)的場強(qiáng)

即

式中en為帶電平面的法向單位矢量．

1.2 利用高斯定理推導(dǎo)

高斯定理：靜電場中任一閉合曲面的E通量等于該曲面內(nèi)的電荷的代數(shù)和除以ε0．即

其中q內(nèi)表示封閉曲面內(nèi)自由電荷的電荷量．

如圖2所示，過P點(diǎn)作與帶電平面平行的小圓面S1，以S1為底作與帶電面垂直的柱體，其長度等于P點(diǎn)到帶電面距離的2倍．對于無限大均勻帶電平面，其電場強(qiáng)度E與帶電平面垂直．由對稱性可知，小平面S1與S2處場強(qiáng)大小相等，即E1=E2，統(tǒng)一記為E，圓柱底的面積記為S．包在封閉柱面內(nèi)的電荷為q內(nèi)=σS．

圖2 以S1為底與帶電面垂直的柱體為高斯面

對這個(gè)封閉的圓柱面，根據(jù)高斯定理得

規(guī)定向右為正方向，則

因側(cè)面的E側(cè)與側(cè)面平行，則

于是

解得

即

2 平行板電容器電荷的分布

平行板電容器電荷究竟怎么分布？高中階段討論的平行板電容器的電荷為什么總是分布在兩板內(nèi)側(cè)？

如圖3所示，長寬相等的金屬平板A和B在真空中平行放置，板間間距比長寬小得多.

圖3 長寬相等的兩個(gè)金屬平板平行放置

分別令每板帶電qA和qB，由于板的長寬比距離大得多，可近似把板看成是無限大．其電荷面密度依次記為σ1，σ2，σ3，σ4．在A板內(nèi)任取一點(diǎn)P1，設(shè)en是向右的單位法矢量，根據(jù)無限大均勻帶電平面激發(fā)場強(qiáng)公式得，4個(gè)無限大平面在P1的合場強(qiáng)為

靜電平衡時(shí)

E=0

故

σ1-σ2-σ3-σ4=0

(1)

再在B板內(nèi)取一點(diǎn)P2，類似的有

σ1+σ2+σ3-σ4=0

(2)

qA=σ1S+σ2S

(3)

qB=σ3S+σ4S

(4)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)、(4)解得

發(fā)病率高、治愈率高。癥狀沒食欲，精神萎靡、體溫偏高或正常，拉稀便。不過這種類型雖然發(fā)病率高，占到總發(fā)病率80%左右，但可以全部治愈。

討論：

(1)對用電池給平行板電容器充電，有qA=

-qB．所以

σ1=σ4=0

這說明電荷只分布在兩板內(nèi)壁．對于可看做無限大的平行板電容器，場外任一點(diǎn)場強(qiáng)為零，兩板中間任一點(diǎn)場強(qiáng)

即板間的電場為勻強(qiáng)電場，板外部空間無電場．

(2)若分別令兩板帶電，則可造成qA=qB，于是

σ2=-σ3=0.

這說明此時(shí)電荷將分布在兩板外壁．

(3)考慮一般性，令

|qA|≠|(zhì)qB|

則

σ1=σ4≠0

σ2=-σ3≠0

即四壁都有電荷．

對于可看做無限大的平行板電容器電荷分布，高中階段，我們通常根據(jù)同號電荷相斥，異號電荷相吸來判斷和理解電荷的分布規(guī)律．兩板帶等量電荷，可以準(zhǔn)確判斷，但兩板帶不等量電荷時(shí)，就無法判斷了．當(dāng)然高中階段討論的電容器，兩板帶的都是等量異種電荷，所以電荷只分布在電容器兩板內(nèi)側(cè)．

3 平行板電容器電容的決定式

3.1 插入電介質(zhì)后的電容

有電介質(zhì)的高斯定理

電位移

D=εE

真空中

D=ε0E

ε0和ε分別為真空和電介質(zhì)中的介電常量．

推導(dǎo)插入電介質(zhì)后的電容，設(shè)兩板電荷量Q一定，左板電荷面密度為σ，兩板間距為d，電介質(zhì)的寬度為t，介電常量為ε，該介質(zhì)的的相對介電常量

靜電力常量

如圖4所示，根據(jù)高斯定理，可知1和3區(qū)域電場強(qiáng)度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

圖4 插入電介質(zhì)后的電容器

則

對含有電介質(zhì)的高斯面

εE2-ε0E1=0

則

兩板電壓

U=E1(d-t)+E2t

所以此時(shí)電容器的電容

兩板之間為真空(或空氣)時(shí)，即t=0，則

兩板之間充滿電介質(zhì)時(shí)，即t=d，則

結(jié)論：由插入電介質(zhì)后電容公式

得出:

(1)插入電介質(zhì)，相當(dāng)于增大電介質(zhì)的介電常量，電容增大．

(3)若兩板電壓一定時(shí)，插入電介質(zhì)，電容增大，兩板所帶電荷量增大．1和3區(qū)域電場強(qiáng)度增大，介質(zhì)中電場強(qiáng)度E2

3.2 插入金屬板后的電容

推導(dǎo)插入金屬板后的電容，還是假設(shè)兩板電荷量Q一定，根據(jù)高斯定理，可知1和3區(qū)域電場強(qiáng)度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

所以

2區(qū)域電場強(qiáng)度E2=0．則

U=E1(d-t)

所以插入金屬板后的電容

結(jié)論：

(1)插入金屬板，相當(dāng)于兩板間距減小，電容器電容增大．

(2)若兩板電荷量一定時(shí)，插入金屬板，電容器電容增大，兩板電壓減小，1和3區(qū)域電場強(qiáng)度不變．

(3)若兩板電壓一定時(shí)，插入金屬板，電容器電容增大，電荷量增大，1和3區(qū)域電場強(qiáng)度增大．

4 小結(jié)

(1)對于可看做無限大平行板電容器電荷怎么分布，取決于兩板所帶的電荷量的大小關(guān)系．

若兩板帶等量異號電荷，則電荷只分布在兩板內(nèi)側(cè)；若兩板帶等量同號電荷，則電荷只分布在兩板外側(cè)；若兩板所帶電荷量不等，則兩板四壁都有電荷，兩板外側(cè)帶等量同號電荷，兩板內(nèi)側(cè)帶等量異號電荷．

(2)插入電介質(zhì)，相當(dāng)于增大介電常數(shù)，平行板電容器電容增大；插入金屬板，相當(dāng)于兩板間距減小，平行板電容器電容增大．

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.普通物理學(xué)教程(電磁學(xué)).北京.高等教育出版社，2004,12～13,19～20,53～54，104～105驗(yàn)前先明確電流方向與指針偏轉(zhuǎn)的關(guān)系．一方面增加了實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜性．

2016-07-12)