高旺（東北石油大學(xué),黑龍江大慶163318）

分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值求解的常用方法

高旺（東北石油大學(xué),黑龍江大慶163318）

分?jǐn)?shù)階微積分是由整數(shù)階微積分推廣而來(lái)，主體理論是關(guān)于任意階微分和積分的。整數(shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微積分是統(tǒng)一的。盡管眾多學(xué)者創(chuàng)造了許多用來(lái)描述分?jǐn)?shù)階微分方程、分?jǐn)?shù)階積分方程和分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)學(xué)模型，但關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的精確、高效的算法仍然缺乏。因此，下一步的重點(diǎn)就是尋找求解分?jǐn)?shù)階微分方程，特別是非線性微分方程的方法。

分?jǐn)?shù)階微積分；整數(shù)階微積分；數(shù)學(xué)模型

幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的理論研究非常有限，主要集中在數(shù)學(xué)的純領(lǐng)域。貌似只有數(shù)學(xué)家和科學(xué)家研究這個(gè)領(lǐng)域才有價(jià)值。然而，經(jīng)過(guò)一系列的改進(jìn)，分?jǐn)?shù)階微分方程開始逐漸用來(lái)解決光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、電路及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人等領(lǐng)域的問(wèn)題，實(shí)用性越來(lái)越強(qiáng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者十分關(guān)注分?jǐn)?shù)階微積分理論，尤其是理論中從實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的分?jǐn)?shù)階微分方程。人們最關(guān)心的就是如何適用一種實(shí)用的數(shù)學(xué)工具和基本原理來(lái)完成對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)建模的工作。分?jǐn)?shù)階微積分方程用來(lái)描述復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)具有建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，因此，用其來(lái)刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程在合適不過(guò)了。復(fù)雜力學(xué)與物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模都首先考慮使用分?jǐn)?shù)階微積分方程[1,2]。

1 分?jǐn)?shù)階微分方程研究現(xiàn)狀

針對(duì)理論研究，假設(shè)滿足李氏條件是首要前提，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程沒(méi)有區(qū)分。簡(jiǎn)而言之，這些工作可以看做經(jīng)典微積分方程在理論方面的延展。缺乏針對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行系統(tǒng)性分析的結(jié)果，只能局限于對(duì)一些非常特殊方程的求解，且用來(lái)求解的方法也不完美。

現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值算法在數(shù)值求解方面還不完美，主要缺點(diǎn)有：

（1）在數(shù)值計(jì)算中尚未徹底解決一些挑戰(zhàn)性難題；

（2）完美可靠的數(shù)值算法幾乎沒(méi)有，現(xiàn)在經(jīng)常使用的算法還是有限差分方法和有限單元法；

（3）沒(méi)有開發(fā)出可靠的數(shù)值模擬軟件，距離實(shí)際使用還有較大距離。

分?jǐn)?shù)階微分方程缺點(diǎn)眾多，基于現(xiàn)狀來(lái)發(fā)展新的數(shù)值算法成為了當(dāng)務(wù)之急。新的算法要保證良好的計(jì)算可靠性和精度，在這個(gè)大前提下來(lái)提高計(jì)算效率，解決分?jǐn)?shù)階微分方程計(jì)算量過(guò)大和存儲(chǔ)量過(guò)大的缺點(diǎn)。因此，相應(yīng)的計(jì)算力學(xué)應(yīng)用軟件也應(yīng)當(dāng)開發(fā)出來(lái)，成為了各大學(xué)者迫在眉睫的任務(wù)。

整數(shù)階微積分只和函數(shù)的局部特征有關(guān)系，而分?jǐn)?shù)階微積分基于加權(quán)的形式，額外考慮了函數(shù)的整體信息。在諸多方面應(yīng)用加權(quán)理論來(lái)建立分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型，這樣做一來(lái)能更準(zhǔn)確的描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，二來(lái)可以在設(shè)計(jì)、表征和控制等方面改進(jìn)和完善動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的的性能[3]。

2 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)算法里面的解析解，以線性分?jǐn)?shù)階微分方程為代表的簡(jiǎn)單的方程可以借助一些特殊函數(shù)以及變換方法來(lái)求得其該方程的解的解析表達(dá)式。特殊方法有Mittag-Leffler函數(shù)、La?place變換等。以非線性分?jǐn)?shù)階微分方程為代表的復(fù)雜方程，在進(jìn)行求解的過(guò)程，一些半解析方法，諸如Adomian分解方法，變分迭代法以及同倫分析方法等，都可以從從理論方面入手，進(jìn)而擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階微分方程求解中。這些方法雖然具有計(jì)算時(shí)間短等優(yōu)勢(shì)，但由于迭代次數(shù)較少引起了短時(shí)間內(nèi)快速發(fā)散，針對(duì)長(zhǎng)時(shí)間系統(tǒng)解的研究則顯得力不從心。

[1]陳文,孫洪廣.分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)的數(shù)值算法:現(xiàn)狀和問(wèn)題[J].計(jì)算機(jī)輔助工程,2010,19(2)：1-2.

[2]林然,劉發(fā)旺.分?jǐn)?shù)階常微分方程初值問(wèn)題的高階近似[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,(1):21-25.

[3]薛定宇,陳陽(yáng)泉.控制數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB解[M].北京:清華大學(xué)出版社2009:19-56.

Fractional calculus is generalized by integer calcu?lus,and the principal theory is about any order differential and in?tegral.Integer calculus and fractional calculus are uniform.Al?though many scholars have created a number of mathematical models to describe fractional differential equations,fractional inte?gral equations,and fractional partial differential equations,the ex?act and efficient algorithm for fractional differential equations is still lacking.Therefore,the next step is to find a solution to the fractional differential equation,especially the nonlinear differential equation.

fractional calculus;integer order calculus;mathe?matical model

高旺（1992-），男，吉林省德惠市人，在讀研究生，研究方向：控制工程。