王 俊 楊成龍

(1.陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部 合肥 230031)(2.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì) 合肥 230031)

基于偏微分方程的含噪圖像復(fù)原新模型

王 俊1楊成龍2

(1.陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部 合肥 230031)(2.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì) 合肥 230031)

針對現(xiàn)有的用于圖像復(fù)原的全變分和四階偏微分方程模型存在的不足,提出一種圖像復(fù)原新模型。新模型的思想是將全變分和四階偏微分方程模型相結(jié)合,同時通過修改方程中的一個擴(kuò)散項(xiàng)的系數(shù),來達(dá)到增強(qiáng)去噪效果的目的。新模型彌補(bǔ)了經(jīng)典圖像復(fù)原方法的不足,既保護(hù)了圖像邊緣,又抑制了“階梯效應(yīng)”,且具有較高的信噪比。理論分析和MATLAB仿真結(jié)果表明,經(jīng)過新模型復(fù)原的圖像質(zhì)量較高,具有良好的視覺效果,充分體現(xiàn)了新模型在圖像復(fù)原上的有效性。

偏微分方程; 圖像復(fù)原; 擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù); MATLAB

Class Number TN911.73

1 引言

圖像在形成、傳輸和記錄過程中,受多種因素的影響,圖像的質(zhì)量都會有所下降,典型表現(xiàn)有圖像模糊、失真、有噪聲等。這一質(zhì)量下降的過程稱為圖像的退化,圖像復(fù)原的目的就是盡可能恢復(fù)退化圖像的本來面目。

傳統(tǒng)的圖像復(fù)原方法雖然具有較好的平滑效果,但處理后的圖像會出現(xiàn)邊緣和紋理特征丟失的現(xiàn)象,即圖像變得模糊[1]。

近年來,基于偏微分方程圖像復(fù)原方法因其良好的復(fù)原效果而受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。典型代表有P-M模型[2]、全變分[3](Total Variation,TV)模型、四階偏微分方程(PDE)模型[4]等。其中TV模型去噪較為徹底且具有較強(qiáng)的邊緣保護(hù)能力,但是在處理圖像平坦區(qū)域時會產(chǎn)生“塊狀效應(yīng)”。四階PDE模型能夠保護(hù)圖像平滑區(qū)域,抑制階梯效應(yīng),不足是邊緣保護(hù)能力差且對椒鹽噪聲無能為力。文獻(xiàn)[6]將TV模型與四階PDE模型結(jié)合,得到一個圖像去噪綜合模型。該模型兼具TV模型與四階PDE模型的優(yōu)點(diǎn),具有較強(qiáng)的去噪能力,但收斂速度慢,去噪效率低。

針對以上問題,本文通過修改文獻(xiàn)[6]中去噪模型所對應(yīng)偏微分方程的一個擴(kuò)散項(xiàng)的系數(shù),得到了一個圖像復(fù)原新模型,并從主觀和客觀兩方面對該模型進(jìn)行了評價,數(shù)值結(jié)果表明新模型的圖像復(fù)原效果明顯優(yōu)于以往的方法[5]。

2 新模型的建立

圖像被噪聲污染是一個退化過程。設(shè)u為觀測到的圖像,u0為原始圖像,u=u0+n,其中n為噪聲。Ω為R2中的有界開子集,定義u的整體變分為

(1)

有界變差函數(shù)空間為

BV(Ω)={u|u∈L1(Ω) andTV(u)<∞}

(2)

徐書方[6]等將圖像的能量函數(shù)取為

(3)

然后通過最小化全變分及梯度下降法得到綜合模型:

(4)

(5)

這樣替換的好處是:多引入兩個u的混合偏導(dǎo)后能夠?qū)D像進(jìn)行更全面定位,達(dá)到增強(qiáng)去噪能力的目的。

3 新模型的求解

本文利用有限差分法對新模型進(jìn)行求解,首先離散化空間步長h,時間步長Δt,用二階中心差商代替二階微商,對其中的微分算子應(yīng)用差分法,得到:

(6)

(7)

引入空間離散符號,則:

(8)

(9)

(10)

最后得到新模型的差分格式:

(11)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

常用的圖像復(fù)原客觀評價標(biāo)準(zhǔn)是峰值信噪比:

(12)

以大小為256×256像素的Lena圖像為例,將本文算法與全變分模型、四階PDE模型和文獻(xiàn)[6]中的模型進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)。其中,所加噪聲為方差0.01的高斯噪聲,迭代次數(shù)n=60,空間步長h=1,時間步長Δt=0.1,參數(shù)k=2。圖1為幾種模型的去噪效果對比圖。

圖1 不同模型去噪效果對比

從圖1可知,本文模型去噪效果明顯優(yōu)于TV模型、四階PDE模型和文獻(xiàn)[6]中的模型。表1為幾種模型對應(yīng)的峰值信噪比。

表1 不同去噪方法的峰值信噪比

從表1可知,本文模型對應(yīng)的峰值信噪比最大,說明去噪效果最好。

表2是本文模型在不同步長和迭代次數(shù)下的峰值信噪比。

表2 不同步長和迭代次數(shù)下本文模型峰值信噪比

從表2可知,當(dāng)步長h=1,迭代次數(shù)N=60時,本文模型去噪效果最好。

為了更好地驗(yàn)證新模型保持圖像邊緣細(xì)節(jié)的能力,采用Canny邊緣提取算子對處理結(jié)果進(jìn)行邊緣提取,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 對應(yīng)圖1去噪結(jié)果的邊緣提取圖

從圖2可知,利用文獻(xiàn)[6]中模型去噪后圖像的邊緣細(xì)節(jié)損失較為嚴(yán)重,而本文模型卻很好地保留了圖像的邊緣特性,如帽子邊緣的羽毛,人物臉型的輪廓等。

5 結(jié)語

本文分析了TV模型和四階PDE模型在圖像去噪方面的優(yōu)缺點(diǎn),并將文獻(xiàn)[6]中模型的一個擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行了修改,得到了一個圖像去噪新模型。從MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果看,新模型既抑制了“階梯效應(yīng)”,又保護(hù)了圖像的邊緣細(xì)節(jié)特征[9],同時還具有較高的峰值信噪比,所以本文模型是一個較好的圖像去噪模型。

[1] 崔學(xué)英.用于圖像復(fù)原的二階與四階結(jié)合的偏微分方程濾波[J].中北大學(xué)學(xué)報,2013,34(2):183-187.

[2] PERONA P, MALIK J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine intelligence,1990,12(7):629-639.

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[7] M. R. Hajiaboli. An Anisotropic Fourth-order diffusion Filter for Image Noise Removal[J]. International Journal of Computer Vision,2011,92(2):177-181.

[8] 杜宏偉.基于偏微分方程的圖像去噪綜合模型[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(20):198-201.

[9] 姜禮尚.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996:22-25.

A New Image Restoration Model Based on Partial Differential Equation

WANG Jun1YANG Chenglong2

(1. Department of Basic, Army Officer Academy, Hefei 230031) (2. Graduate Management Team, Army Officer Academy, Hefei 230031)

Aiming at the shortcomings of the existing total variation and fourth order partial differential equation (PDE) image restoration model, a new image restoration model is put forward. The ideal of the new model is to combine the two models, at the same time, by modifying a diffusion coefficient of the equation, to achieve the enhancement purpose to the effect of image denoising. The new model not only makes the image edge details be protected and the “l(fā)adder effect” be restrained, but also has high signal-to-noise ratio. Theoretical analysis and MATLAB simulation results show that the recovery image quality is higher after the new model dispose, and also have a good visual effect, fully embodying the effectiveness of the new model on image restoration.

partial differential equation(PDE), image restoration, the diffusion coefficient, MATLAB

2016年8月3日,

2016年9月17日

國家“973”重大專項(xiàng)“磁約束聚變堆內(nèi)部件關(guān)鍵技術(shù)問題研究”(編號:2013GB113000);長脈沖H模的實(shí)現(xiàn)及相關(guān)機(jī)理研究(編號:2014GB106000)資助。

王俊,男,博士,副教授,研究方向:偏微分方程及其數(shù)值解法等。楊成龍,男,碩士研究生,研究方向:偏微分方程圖像處理。

TN911.73

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.02.023