車林仙， 何兵， 劉永波

混合整數(shù)非線性規(guī)劃的自適應(yīng)變異差分進(jìn)化算法

車林仙1,2， 何兵2,3a， 劉永波3b

(1.重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程學(xué)院, 重慶402260;2.人工智能四川省重點實驗室, 四川自貢643000;3.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院a.機械工程系;b.信息工程系, 四川瀘州646005)

提出了一種求解混合整數(shù)非線性規(guī)劃(Mixed integer nonlinear programming，MINLP)的混合差分進(jìn)化(Differential evolution，DE)算法。為提高DE算法的優(yōu)化性能，設(shè)計了混沌初始化種群、可平衡全局探索與精細(xì)開采能力的混合變異版本、基于種群進(jìn)化停滯代數(shù)記錄的自適應(yīng)二次變異算子等新型策略。將前述策略融入DE算法，形成面向MINLP的自適應(yīng)變異差分進(jìn)化(Adaptive mutation differential evolution，AMDE)算法。6個MINLP數(shù)值實例的對比實驗表明了新算法的有效性和可靠性。最后，應(yīng)用AMDE算法求解齒輪傳動體積最小化工程優(yōu)化設(shè)計實例，顯示了該算法的工程應(yīng)用價值。

混合整數(shù)非線性規(guī)劃；差分進(jìn)化算法；人工蜂群算法；自適應(yīng)變異；齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計

引言

工程設(shè)計、系統(tǒng)工程和經(jīng)濟管理等領(lǐng)域存在許多混合整數(shù)非線性規(guī)劃(Mixed integer nonlinear programming，MINLP)問題，它同時包含連續(xù)變量和整數(shù)變量，其目標(biāo)函數(shù)和約束條件通常呈現(xiàn)強烈非線性。MINLP的求解方法主要有兩類。一類為確定性方法[1]，如分支定界算法、外逼近算法、割平面算法和廣義Bender分解方法等混合變量規(guī)劃方法。但這類方法的求解過程通常較復(fù)雜，并且對數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)有較高要求。另一類為智能優(yōu)化算法，如遺傳算法(Genetic algorithm，GA)、進(jìn)化策略(Evolution strategy，ES)、粒子群優(yōu)化(Particle swarm optimization，PSO)算法和差分進(jìn)化(Differential evolution，DE)算法等。

很多學(xué)者針對MINLP，提出了多種智能優(yōu)化方法。張甲江等[2]、譚躍等[3]分別提出適于MINLP的量子粒子群優(yōu)化算法和基于交叉與多混沌策略的粒子群優(yōu)化算法。張莉等[4]、鄧長壽等[5]、譚躍等[6]和擺亮等[7]先后設(shè)計多種面向MINLP的混合差分進(jìn)化算法，如嵌入正交雜交算子的差分進(jìn)化算法[4]、交替變異版本的差分進(jìn)化算法[5]、混沌局部搜索差分進(jìn)化(DE with chaotic local search strategy，CLSDE)算法[6]和差分進(jìn)化分布估計混合算法[7]。文獻(xiàn)[2-6]僅進(jìn)行了經(jīng)典函數(shù)優(yōu)化問題測試，并未給出工程應(yīng)用實例。因此，面向MINLP的智能算法，尚未在工程優(yōu)化領(lǐng)域顯示出應(yīng)用價值。

為提高DE算法求解MINLP的精度和可靠性，本文提出一種自適應(yīng)變異差分進(jìn)化(Adaptive mutation differential evolution，AMDE)算法。該算法采用混沌序列初始化種群，融合人工蜂群(Artificial bee colony，ABC)算法[8-10]搜索方式和動態(tài)調(diào)整變異概率的二次變異，并采用可行性規(guī)則[11]處理約束條件。最后，應(yīng)用AMDE算法求解6個MINLP數(shù)值實例和1個二級斜齒圓柱齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計案例，得到了滿意結(jié)果。

1 MINLP數(shù)學(xué)模型描述

不失一般性，將最小化MINLP問題表示為

(1)

式中，x為連續(xù)決策變量，x=(x1,x2,…,xD1)T；y為整數(shù)決策變量，y=(y1,y2,…,yD2)T；xU,d,xL,d為各維連續(xù)決策變量的上、下界；yU,d,yL,d為各維整數(shù)決策變量的上、下界；D1,D2為連續(xù)、整數(shù)決策變量的維數(shù)；f(x,y)是目標(biāo)函數(shù)；gi(x,y)為不等式約束；hi(x,y)為等式約束；I1,I2為不等式、等式約束數(shù)。

為便于敘述，將決策矢量(x,y)統(tǒng)一記為混合整數(shù)決策矢量：

z=(z1,z2,…,zD1+D2)T= (x1,x2,…,xD1,y1,y2,…,yD2)T

并將z的各維分量上下界記為zU,d和zL,d(d=1, 2, …,D1+D。

應(yīng)用DE算法求解MINLP式(1)時，涉及候選解(個體)比較與選擇，本文應(yīng)用Deb提出的可行性規(guī)則[11]比較兩個候選解。該規(guī)則為：(1)任何可行解都優(yōu)于不可行解；(2)對于兩個可行解，目標(biāo)函數(shù)值較小者為優(yōu)；(3)對于兩個不可行解，約束違反度較小者為優(yōu)。為此，將任意候選解z的約束違反度函數(shù)fvio(z)定義為：

2 混合變量AMDE算法

DE算法的4個控制參數(shù)為：種群規(guī)模NP，縮放因子F，交叉因子CR和最大進(jìn)化代數(shù)tmax。

應(yīng)用DE算法求解式(1)時，將進(jìn)化至第t代的第n個個體編碼記為：

t=0, 1, …,tmax；n=1, 2, …,NP

2.1 混沌初始化

Kent映射生成的混沌序列分布均勻，且具有良好遍歷性，本文應(yīng)用該混沌序列生成初始種群。一維Kent映射可表示為：

d=1, 2,…,D1+D2；k=0, 1, …，NI

(2)

式中：μ0∈(0, 1)，為常數(shù)，且μ0≠0.5，本文取μ0=0.4；q0,d為(0, 1)內(nèi)服從均勻分布的隨機量，且滿足q0,d≠μ0；NI為混沌序列個數(shù)。

由式(2)生成NI個(D1+D維混沌序列點之后，再按下式載波為NI個初始個體

在NI個初始個體中，應(yīng)用Deb規(guī)則選擇較優(yōu)的NP個體作為初始種群。

2.2 自適應(yīng)變異概率

基本DE算法的種群多樣性將隨進(jìn)化代數(shù)的增大而降低，求解某些多極值MINLP問題時，可能出現(xiàn)進(jìn)化停滯和早熟收斂現(xiàn)象。為增強算法的全局優(yōu)化能力，克服該缺陷，有必要對新生成的試驗個體執(zhí)行二次變異操作。當(dāng)連續(xù)停滯代數(shù)較小時，宜設(shè)置較小的變異概率，避免過多無用操作而降低搜索效率；當(dāng)連續(xù)停滯代數(shù)較大時，宜增大變異概率，利于保持種群多樣性，增大獲得全局最優(yōu)解的概率。

定義1對于足夠小的精度閾值δ(t)(隨進(jìn)化代數(shù)改變)，若滿足

(3)

或

(4)

則認(rèn)為種群在第t代進(jìn)化停滯。根據(jù)實踐經(jīng)驗，取δ(0)=10-5，δ(t)=δ(t-1)/1.035時，效果較理想。

若連續(xù)兩代的最優(yōu)個體均為可行解，則按式(3)判斷；若連續(xù)兩代的最優(yōu)個體均為不可行解，則按式(4)判斷；若連續(xù)兩代的最優(yōu)個體分別為不可行解和可行解，則認(rèn)為種群在第t代進(jìn)化未停滯。

算法設(shè)置計數(shù)器tst記錄種群連續(xù)停滯代數(shù)，隨著tst的變化，自適應(yīng)調(diào)整變異概率pm，其計算式為：

(5)

由式(5)可知，當(dāng)tst較小時，pm也較小；當(dāng)tst增大時，pm也隨之增大，但最大不超過0.1。因pm過大，將加大隨機搜索成分，反而降低搜索效率。

2.3 計算流程

計算流程各步驟及生成新解時，參照2.1節(jié)。

(1) 初始化

(2) 變異操作

DE算法的關(guān)鍵在于先應(yīng)用差分算子生成變異個體，再執(zhí)行交叉操作生成試驗個體。應(yīng)用DE/rand/1策略生成變異個體時，算法具有較強全局探索能力，但局部精細(xì)開采能力偏弱。為提高收斂速度和精度，本文借鑒文獻(xiàn)[10]中改進(jìn)ABC算法的引領(lǐng)蜂搜索方式，引入一種基于最優(yōu)個體的變異策略，記為DE/ rand/best-rand。該策略仍以隨機個體為基向量，但差分向量指向最優(yōu)個體，有利于精細(xì)開采且不易陷入局部最優(yōu)區(qū)域。為了在全局探索和精細(xì)開采之間取得平衡，本文算法每次生成變異個體時，均在上述兩種策略中隨機選擇一種?，F(xiàn)將兩種策略的變異算子描述如下：

(i) DE/rand/1策略

(6)

(ii) DE/rand/best-rand策略

式中，R(D1+D為 (-1, 1)內(nèi)服從均勻分布的(D1+D維隨機數(shù)；?表示點對點乘法運算符。

若u之某維分量越界，則在其取值區(qū)間內(nèi)隨機生成該維分量。

(3) 交叉操作

式中，rand( )表示(0,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)；dr為隨機自然數(shù)，且dr∈[1,D]∩Z；CR為交叉因子，且CR∈[0,1]。

(4) 二次變異操作

式中，M(·)為二次變異算子。

為增強算法的適應(yīng)性，文中對連續(xù)變量和整數(shù)變量，分別執(zhí)行非均勻變異和均勻變異操作。即，當(dāng)vd(d=1, 2,…,D1)為連續(xù)變量時，二次變異算子為：

式中，r表示在(0,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)。

當(dāng)vd(d=D1+1,D1+2,…,D1+D為整數(shù)變量時，又分為兩種情形：若為0-1整數(shù)規(guī)劃問題，二次變異算子為：

M(vd)=1-vd

若為一般整數(shù)規(guī)劃問題，二次變異算子為：

M(vd)=zL,d+round[rand( )·(zU,d-zL,d)]

(5) 選擇操作

對n=1,2,…,NP，重復(fù)執(zhí)行NP次步驟(2)～(5)。

(6) 更新最優(yōu)個體

(7) 終止判斷

2.4 計算復(fù)雜度

可據(jù)第2.3節(jié)的計算流程分析AMDE算法的計算復(fù)雜度。步驟(1)的計算復(fù)雜度為O(NID)，步驟(2)～(4)的計算復(fù)雜度均為O(NPD)；步驟(5)的計算復(fù)雜度為O(NP)；步驟(6)的計算復(fù)雜度：搜索NP個個體中的最優(yōu)個體為O(NP)，更新連續(xù)停滯代數(shù)計數(shù)器為O(1)。求和并忽略低階項，可求得AMDE算法的計算復(fù)雜度為O(NPDtmax+NID)。算法獨立運行1次的函數(shù)評價次數(shù)為NI+NPtmax。

3MINLP算例測試

3.1 測試實例

以下6個測試實例均引自文獻(xiàn)[6]。

P1：minf(x,y)=2x+y

s.t.g1(x,y)=1.25-x2-y≤0

g2(x,y)=x+y-1.6≤0

0≤x≤1.6，y∈{0,1}

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(0.5, 1; 2)。

P2：minf(x,y)=2x-ln(x/2)-y

s.t.g(x,y)=-x-ln(x/2)+y≤0

0.5≤x≤1.4，y∈{0,1}

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(1.375, 1; 2.124)。

P3：minf(x,y)=5(x1-0.5)2-0.7y+0.8

s.t.g1(x,y)=-exp(x1-0.2)-x2≤0

g2(x,y)=x2+1.1y+1≤0

g3(x,y)=x1-1.2y-0.2≤0

0.2≤x1≤1，-2.22554≤x2≤-1，y∈{0,1}

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(0.94194, -2.1, 1; 1.07654)。

P4：minf(x,y)=

s.t.g(x,y)=

0≤x≤10，y∈{0,1}

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(3.51424, 1; 99.23964)。

P5：minf(x,y)=(x1-1)2+(x2-2)2+(x3-3)2+

(y1-1)2+(y2-1)2+(y3-1)2-ln(y4+1)

s.t.g1(x,y)=x1+x2+x3+y1+y2+y3-5≤0

g3(x,y)=x1+y1-1.2≤0

g4(x,y)=x2+y2-1.8≤0

g5(x,y)=x3+y3-2.5≤0

g6(x,y)=x1+y4-1.2≤0

0≤x1≤1.2，0≤x2≤1.8，0≤x3≤2.5

y1,y2,y3,y4∈{0,1}

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(0.2,1.280624,1.954483,1,0,0,1;3.557463)。

37.29329y1+40792.141

s.t.g1(x,y)=a1+a2x3y2+a3x2y1-a4x1x3- 92≤0

g3(x,y)=a9+a10x1x3+a11x1y1+a12x1x2-25≤0

27≤x1,x2,x3≤45，y1∈[78,102]∩Z，

y2∈[33,45]∩Z

已知最優(yōu)解(x,y;f*)=(27,*,27,78,*;32217.42778) (*表示最優(yōu)解不確定)。對應(yīng)系數(shù)取值見表1 。

表1P6中的系數(shù)取值

3.2 實驗設(shè)置

AMDE算法控制參數(shù)：NP和tmax取值見表2 ，NI= 100NP，F(xiàn)=0.5+ 0.05rand( )，CR=0.9。

表2 AMDE算法的控制參數(shù)

為考察AMDE算法求解測試實例的優(yōu)化性能，文中還以PSO算法，人工蜂群(Artificial bee colony，ABC)算法[11-12]和基本DE算法(第2.3節(jié)的算法流程中，步驟(2)僅用式(6)生成變異個體，且不執(zhí)行步驟(4))等作為對比算法，進(jìn)行比較分析。

為公平起見，3種對比算法均采用與AMDE算法相同的初始化、約束函數(shù)、取整和越界處理方法；對比算法的NP和tmax均與AMDE算法一致。DE算法的F,CR與AMDE算法一致。

PSO算法的慣性權(quán)重w線性遞減，取w=1.2～0.2，加速度系數(shù)為c1=c2=2，最大速度取vmax,d= 0.3(zU,d-zL,d) (d=1, 2, …,D1+D。

ABC算法的引領(lǐng)蜂和跟隨蜂各占種群規(guī)模的50%；跟隨蜂采用2元錦標(biāo)賽方法選擇被跟隨的引領(lǐng)蜂；引領(lǐng)蜂和跟隨蜂執(zhí)行鄰域搜索生成新蜜源時，均以概率CR隨機改變多維分量。

3.3 實驗結(jié)果

4種算法分別獨立運行50次的統(tǒng)計結(jié)果見表3 。其中，fb,fav,fw和σf分別表示最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的最好、平均、最差值及標(biāo)準(zhǔn)差。同時，將CLSDE算法[9]的性能指標(biāo)也列入表5 ，以便比較。

表3 5種算法求解實例的性能指標(biāo)

為了便于應(yīng)用對數(shù)坐標(biāo)清晰顯示各種算法的收斂精度，首先給出關(guān)于算法種群最小誤差的概念。

定義2設(shè)待求MINLP問題的理論最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為f*，定義第t代種群的最小誤差為：

4種算法的平均最小誤差eb,av(圖中取對數(shù))進(jìn)化曲線對比如圖1 所示。

由表3 和圖1 可知，求解P1、P4、P5和P6時，PSO算法的eb,av最大，求解P2和P3時，PSO算法的eb,av與DE算法相當(dāng)，但大于ABC和AMDE算法；求解6個實例時，PSO算法的σf均最大，穩(wěn)健性最差。在5種算法中，PSO算法的優(yōu)化性能最差。AMDE與ABC算法比較，求解P1、P2、P4和P6時，2種算法相當(dāng)；而求解P3和P5時，AMDE明顯優(yōu)于ABC算法。AMDE與DE算法比較，求解P1、P4和P6時，2種算法相當(dāng)；求解P2和P3時，AMDE明顯優(yōu)于DE算法；求解P5時，AMDE差于DE算法。求解6個實例時，AMDE算法的eb,av和σf均很小，表明其收斂精度高、穩(wěn)健性好。對于其余4種對比算法，無一算法在求解6個實例時同時具有良好優(yōu)化性能。由表2 可知，AMDE算法求解實例時的最大函數(shù)評價次數(shù)為15 000，而CLSDE算法為52 000[6]，因此前者的計算效率更高。綜上可知，AMDE算法的性能指標(biāo)優(yōu)于4種對比算法。

4 齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用

4.1 齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計模型

已知某企業(yè)使用的二級斜齒圓柱齒輪傳動原始數(shù)據(jù)為：高速軸輸入功率P1=8 kW；高速級主動軸轉(zhuǎn)速n1=1450 r/min；傳動比itr=9.7，允許傳動比誤差±5%；動力機為電動機，工作機載荷均勻平穩(wěn)。大、小齒輪材料為45鋼，大齒輪正火處理，硬度185～205 HBS；小齒輪調(diào)質(zhì)處理，硬度為230～255 HBS。許用應(yīng)力[σH]I=[σH]II= 520 MPa，[σF]I=155 MPa，[σF]II=145 MPa。載荷系數(shù)K=1.25。要求以齒輪總體積最小為目標(biāo)，設(shè)計該齒輪傳動機構(gòu)。

圖1 平均最小誤差進(jìn)化曲線

該問題的混合設(shè)計變量為：第I級傳動，法面模數(shù)mnI、小齒輪齒數(shù)z1、螺旋角βI、齒寬系數(shù)ψdI和傳動比iI；第II級傳動，法面模數(shù)mnII、小齒輪齒數(shù)z3、螺旋角βII和齒寬系數(shù)ψdII。其中，mnI和mnII為非等間隔離散變量，z1和z3為整數(shù)變量；βI、βII、ψdI、ψdII和iI為連續(xù)變量。將決策變量記為x=(x1,x2,…,x5)T=(βI,βII,ψdI,ψdII,iI)T，y=(y1,y2,y3,y4)T=(mnI,mnII,z1,z3)T?？筛鶕?jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，建立模數(shù)的離散變量取值列表，再映射為整數(shù)變量[12-14]。故，該問題可轉(zhuǎn)化為等效MINLP，再應(yīng)用第2節(jié)的方法求解。

若以齒輪分度圓柱體積近似表示齒輪體積，則總體積最小化設(shè)計問題的目標(biāo)函數(shù)為：

minf(x,y)=

式中，z2表示第I級傳動大齒輪齒數(shù)，取z2=round(x5y3)；z4表示第II級傳動大齒輪齒數(shù)，取z4=round(itry3y4/z。

參照文獻(xiàn)[12]，列出以下約束函數(shù)。其中，g1～g4為強度條件，g5為避免第II級大齒輪與第I級傳動軸發(fā)生干涉的限制條件，g6～g7為最小齒數(shù)約束，g8～g9為軸向重合度約束，g10為傳動比精度約束，g11～g14為齒寬約束。

式中，T1,T3為第I,II級傳動計算轉(zhuǎn)矩，N·mm，且T1=9.55×106P1/n1，T3=9.55×106x5P1/n1；ZEI,ZEII為第I,II級傳動彈性系數(shù)；ZHI,ZHII為第I, II級傳動節(jié)點區(qū)域系數(shù)；ZεI,ZεII為第I, II級傳動重合度系數(shù)；ZβI,ZβII為第I, II級傳動螺旋角系數(shù)；YεI,YεII為第I, II級傳動重合度系數(shù)；YβI,YβII為第I, II級傳動螺旋角系數(shù)；YFSI,YFSII為第I, II級傳動復(fù)合齒形系數(shù)。

以上系數(shù)的確定方法見文獻(xiàn)[15]，其中，將YFSI,YFSII表達(dá)為當(dāng)量齒數(shù)的擬合函數(shù)。

g5(x,y)=y1z2cosx2+2(y1+50)cosx1cosx2-y2(y4+z4)cosx1≤0

g6(x,y)=17cos3x1-y3≤0

g7(x,y)=17cos3x2-y4≤0

g8(x,y)=π-x3y3tanx1≤0

g9(x,y)=π-x4y4tanx2≤0

g11(x,y)=40-x3y1y3secx1≤0

g12(x,y)=x3y1y3secx1-120≤0

g13(x,y)=40-x4y2y4secx2≤0

g14(x,y)=x4y2y4secx2-120≤0

設(shè)計變量的取值范圍設(shè)置為：0.139 6 rad≤x1,x2≤0.261 8 rad，0.6≤x3,x4≤1.2，2≤x5≤4，y1∈{2, 2.5, 2.75, 3, 3.25, 3.5, 3.75, 4, 4.5, 5} mm，y2∈{3.5, 3.75, 4, 4.5, 5, 5.5, 6} mm，y3,y4∈[15, 30]∩Z。

4.2 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

應(yīng)用AMDE算法求解該設(shè)計實例，除取NP=100及tmax=1500外，其余參數(shù)設(shè)置同第3.2節(jié)。算法獨立運行10次，最好、最差和平均最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值分別為2.7623 dm3, 2.7758 dm3和2.7690 dm3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.003 949 dm3。該標(biāo)準(zhǔn)差很小，表明算法具有良好穩(wěn)健性。平均最優(yōu)值進(jìn)化曲線如圖2 ，由圖可知，算法大約進(jìn)化1200代即收斂于近優(yōu)解。

圖2 AMDE算法求解案例的平均最優(yōu)值進(jìn)化曲線

AMDE算法的最優(yōu)解見表4 ，將原設(shè)計方案也列入表中，以便比較。由表4 可知，應(yīng)用AMDE算法求得的結(jié)果明顯優(yōu)于原設(shè)計方案，齒輪體積和較原設(shè)計下降約25.5%。

表4 優(yōu)化設(shè)計與原方案結(jié)果比較

5 結(jié)論

(1)為提高DE算法求解MINLP的優(yōu)化性能，設(shè)計混沌初始化種群、可平衡全局探索與精細(xì)開采能力的混合變異版本、基于種群進(jìn)化停滯代數(shù)記錄的自適應(yīng)二次變異算子等新型策略。將諸策略融入DE算法，形成求解MINLP的混合智能算法AMDE。

(2)應(yīng)用6個MINLP數(shù)值實例測試AMDE算法，結(jié)果表明：AMDE算法可靠、有效，穩(wěn)健性優(yōu)于4種對比算法。

(3)以二級斜齒圓柱齒輪傳動體積最小化設(shè)計問題，驗證AMDE算法求解混合變量工程優(yōu)化問題的可行性。根據(jù)映射關(guān)系，將混合離散變量約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為等效MINLP問題，再應(yīng)用AMDE算法求解該問題。結(jié)果顯示：AMDE算法可行、有效，具有良好穩(wěn)健性。與原設(shè)計方案相比，AMDE算法的最優(yōu)解下降了約25.5%。

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DOI:10.11863/j.suse.2017.01.05

Adaptive Mutation Differential Evolution Algorithm for Mixed Integer Nonlinear Programming

CHELinxian1,2,HEBing2,3a,LIUYongbo3b

(1.School of Mechanical Engineering, Chongqing Vocational Institute of Engineering, Chongqing 402260, China;2.Artificial Intelligence Key Laboratory of Sichuan Province, Zigong 643000, China; 3a.Department of Mechanical Engineering; 3b.Department of Information Engineering, Luzhou Vocational and Technical College,Luzhou 646005, China)

A hybrid differential evolution (DE) algorithm is presented to solve the mixed integer nonlinear programming (MINLP). To enhance the optimization performance of DE algorithm, several new strategies are designed, such as chaotic initializing population, hybrid mutation scheme which can balance global exploration and fine mining abilities, and adaptive second mutation operator based on the recording generations of evolutionary stagnation for a population. The aforementioned strategies are embedded in DE algorithm and an adaptive mutation DE (AMDE) algorithm is formed for solving MINLP. Six numerical examples of MINLP are tested comparatively to show that this new approach is valid and reliable. Finally the proposed AMDE algorithm is used to solve a real case of engineering optimization for minimizing volumes of gear transmission, so the practical applicability of the new algorithm is indicated.

mixed integer nonlinear programming; differential evolution algorithm; artificial bee colony algorithm; adaptive mutation operator; optimal design of gear transmission

2016-10-24

重慶市基礎(chǔ)科學(xué)與前沿技術(shù)研究專項資助項目(cstc2015jcyjA70006);重慶市教育委員會科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1403201);人工智能四川省重點實驗室開放基金項目(2013RYJ02)

車林仙(1971-),男,四川瀘州人,教授,博士,主要從事機械優(yōu)化設(shè)計、機構(gòu)學(xué)及智能信息處理方面的研究,(E-mail)lx.che@163.com

1673-1549(2017)01-0019-08

10.11863/j.suse.2017.01.04

TP18;O221.4

A