文︳周龍虎

數(shù)學概念課要做到自然和理性
——以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像為例

文︳周龍虎

我們有一個共識：數(shù)學概念課難上，要上得入木三分則難上加難。數(shù)學概念是區(qū)分并突顯數(shù)學對象科學的有效方式，是培養(yǎng)思維、提高認識力的重要媒介。數(shù)學概念的引入、得出、辨析及升華，每一個環(huán)節(jié)都不可或缺，且要做到道法自然、崇尚理性。人教版高中數(shù)學教材的編委們寫道“數(shù)學是自然的”，它包含數(shù)學概念的構建及定義、定理的探究與發(fā)現(xiàn)是自然的，知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序應是自然的，學生的自主、合作、探究和教師的教也應是自然的。數(shù)學課還應是理性的，它包含用數(shù)學的方式探索、探討問題，用嚴謹且規(guī)范的方式表達問題等。那么，高中數(shù)學概念課如何做到自然和理性呢？筆者以函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的圖像為例談一談自己的感受。

一、從數(shù)學內(nèi)部著手，自然引入

生活和物理學中具有周期規(guī)律的現(xiàn)象很多，如潮汐現(xiàn)象、音樂、單擺、簡諧運動等。這一運動規(guī)律實際上就是轉(zhuǎn)化或抽象到單位圓上運動的點的縱坐標的運動規(guī)律，由此自然聯(lián)想到一般情況：半徑為A的圓周上勻速運動的點P（角速度為ω，初始位置對應的角為φ），運動時間為t，該點的縱坐標表達式為y=Asin（ωt+φ），從而引發(fā)學生思考如何研究該函數(shù)模型的性質(zhì)。研究函數(shù)的一般思路是從函數(shù)圖像出發(fā)，觀察圖像特征，猜想并驗證一般規(guī)律，自然引出課題：研究函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的圖像。

二、采用問題分解、先易后難的策略，自然生成

從解析式的角度對比函數(shù)y=Asin（ωt+φ）與正弦函數(shù)，研究3個參量（A，ω，φ）對函數(shù)y=Asin（ωt+φ）圖像的影響是順理成章的事。3個參量如果一起研究，不好操作，可以采取化整為零、問題分解的策略，逐個擊破，然后進行綜合分析。從對函數(shù)圖像影響最熟悉（或簡單）的那個量開始研究符合學生的認知規(guī)律。函數(shù)圖像平移的“左加右減”是學生已掌握的舊知，自然會先研究φ對函數(shù)圖像的影響。教師引導學生得到φ對函數(shù)圖像影響的一般規(guī)律后，放手讓學生探討另外兩個參量對函數(shù)圖像的影響，起到先行組織者的作用。

三、以圖像變換方式為契機，辨析說理

研究完3個參量對函數(shù)y=Asin（ωt+φ）圖像的影響后，再回到之前的問題上：“如何通過變換由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωt+φ）的圖像呢？”從幾何畫板演示中，學生可以感受圖像變換中的平移規(guī)律與伸縮規(guī)律。對一個具體的函數(shù)，學生有兩種變換策略：一是先平移再伸縮；二是先伸縮再平移。采用兩種不同的變換方式實際上是對函數(shù)圖像變換的再認識、再運用，彰顯了圖像變換是有序的、可優(yōu)化的特征。教師可以利用例題形式（例2）通過圖像變換得到函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的圖像，再回到實際問題（簡諧運動）的物理意義（振幅變換、平移變換及周期變換），讓學生再次體會3個參量對函數(shù)圖像的影響。

例2.下圖是某簡諧運動的圖像，試根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？

（2）從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從A點算起呢？

（3）寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式。

（作者單位：華中師大一附中）