張丹丹

摘 要：無窮級數(shù)在科學(xué)研究和生產(chǎn)生活中都有非常廣泛的應(yīng)用，但是無窮級數(shù)的概念，對大多數(shù)學(xué)生來說顯得比較抽象。特別對經(jīng)管類這種文科學(xué)生來說，想讓他們真正理解無窮級數(shù)的概念，必須在課堂教學(xué)中以實際生活中生動有趣的實例引出無窮級數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生建立起無窮級數(shù)的概念，并對此概念有了較深入的理解。從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：無窮級數(shù) 調(diào)和級數(shù) 教學(xué)效果

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）09（b）-0127-02

高等數(shù)學(xué)相對于初等數(shù)學(xué)而言，研究的對象和方法顯然都要復(fù)雜得多。很多定義、定理、證明、都具有高度的抽象性和非常強的邏輯性。對剛剛步入高等學(xué)府的大學(xué)生來說，意味著思維方式的轉(zhuǎn)變，很多學(xué)生不適應(yīng)，于是很容易對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生恐懼心理，從而失去了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。而且對于較接近實際的問題，學(xué)生更是覺得無從著手。興趣是最好的老師， 成功的教學(xué)就是不斷激發(fā)興趣這一非智力因素，它是消除學(xué)生厭學(xué)、恐懼心理，提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的重要途徑。

無窮級數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中相對獨立的章節(jié)，在科學(xué)研究和生產(chǎn)生活中都有非常廣泛的應(yīng)用，但是無窮級數(shù)的概念，對大多數(shù)學(xué)生來說顯得比較抽象。因此，在課堂教學(xué)中可以用實際生活中生動有趣的實例引出無窮級數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生建立起無窮級數(shù)的概念，并對此概念有了較深入的理解，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到較好的教學(xué)效果。將文科學(xué)生所擅長的形象思維與數(shù)學(xué)概念、定理中的形象因素結(jié)合是提高教學(xué)效果的關(guān)鍵。

1 實例引入，巧設(shè)疑問

芝諾提出了歷史上非常著名的幾個悖論——兩分法悖論、阿基里斯悖論、飛矢不動悖論和游行隊伍悖論，其中阿基里斯悖論在無窮級數(shù)教學(xué)時是多數(shù)教師普遍引用的教學(xué)實例[1-2]。但這個例子對于經(jīng)管類這種文科專業(yè)的學(xué)生來說不但趣味性不強，并且難懂。不如舉一個經(jīng)濟學(xué)中的有關(guān)實例作為引例更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

引例：每當(dāng)經(jīng)濟陷入低潮，國民經(jīng)濟發(fā)展遇到嚴重困難時，國家總會采取一些積極的經(jīng)濟貨幣政策來刺激經(jīng)濟的發(fā)展，通常國家采用最多的是兩項政策：銀行降息和擴大政府固定資產(chǎn)投資。那么這背后深層次的原因是什么？

拋出實例：如襄陽市政府在經(jīng)濟上投入1億元人民幣以刺激消費，據(jù)以往消費習(xí)慣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，襄陽市的每個經(jīng)營者和每個居民都將自己收入的20%存進銀行，消費掉剩下的80%。那么這筆投資會帶動多少國民生產(chǎn)總值的增長？

分析：從最開始的1億元，初次消費了0.8億，而產(chǎn)生的0.8億消費又成為別的企業(yè)及個人的收入，他們又消費掉其中的80%，即消費了0.8*0.8億，如果按照這種情況消費下去，那么由最初的1億元投資引起的消費金額就構(gòu)成一個等比數(shù)列：

這是個無窮多個數(shù)相加求和的問題，那么這無窮多項相加求和是否有意義？若有意義，又該怎樣判斷及求和呢？

2 建立概念

初等數(shù)學(xué)中，我們只會計算有限個數(shù)的和，學(xué)生不但不會計算無窮多個實數(shù)的和，甚至都不知道什么是無窮多個數(shù)的和。對他們來說，無窮多個實數(shù)的和是一個全新的、未知的概念。要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個新概念其實并不是孤立的，它與我們已知的有限個數(shù)的和緊密聯(lián)系著。最終，我們發(fā)現(xiàn)由有限個數(shù)的和轉(zhuǎn)化到無窮多個數(shù)的和可以借助上冊內(nèi)容中的極限這個工具來實現(xiàn)。由此引出無窮級數(shù)的定義。

定義：給定一個數(shù)列則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式叫做無窮級數(shù)。[3]

稱作無窮級數(shù)的部分和。則為級數(shù)的部分和數(shù)列。 若，則稱級數(shù)收斂，這時極限叫做無窮級數(shù)的和。若不存在，稱無窮級數(shù)發(fā)散。

由剛才的定義可知，只有當(dāng)級數(shù)收斂時，無窮多項的和才有意義，而且這無窮多項的和就是無窮級數(shù)的部分和數(shù)列的極限。

3 回顧講解實例

4 設(shè)置懸念，引出新內(nèi)容

通過定義，容易得出結(jié)論：若一個級數(shù)

收斂，其一般項必滿足條件。反過來，若，那級數(shù)是否一定收斂？下面的例子可以告訴我們答案。

例：判斷調(diào)和級數(shù)的斂散性。

很多同學(xué)直覺上覺得這個級數(shù)是收斂的，但事實上，這個級數(shù)很難用級數(shù)收斂的定義來判斷它的斂散性，從調(diào)和級數(shù)的形式來看，我們求不出它的部分和。那么除了用級數(shù)的定義來判斷級數(shù)的斂散性，還有什么其他判斷級數(shù)收斂性的方法？這樣就適時地拋出了這個問題，讓學(xué)生期待下節(jié)課學(xué)習(xí)其他判斷級數(shù)收斂性的方法。

顯然產(chǎn)生矛盾，因此調(diào)和級數(shù)并不像直觀感覺的那樣，實際上調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，它是目前已知發(fā)散最慢的無窮級數(shù)，它的前1億項的和約為21，前1萬億項的和約為28。

5 結(jié)語

也就是說只是級數(shù)收斂的必要條件。那么請同學(xué)們思考級數(shù)收斂與否，是否與級數(shù)一般項趨近于0的速度快慢有關(guān)呢？從而為下節(jié)內(nèi)容中講正項級數(shù)的比較審斂法做好鋪墊。

在整個教學(xué)過程中不斷地設(shè)置問題，用與學(xué)生專業(yè)背景相關(guān)的一些實際問題及與直覺不同的實例引導(dǎo)學(xué)生去思考，通過分析討論解決問題來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這樣教學(xué)效果就會事半功倍。

參考文獻

[1] 孫寶法.加強數(shù)項級數(shù)教學(xué)的趣味性初探[J].合肥教育學(xué)院學(xué)報，1999（2）：28-29.

[2] 鮑倚敏.重視數(shù)學(xué)新概念的引入方法[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003（3）：48-49.

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.