李明軍, 李勝男, 李桂波

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

計算數學

考慮變粘性系數的MHD駐點流解析解

李明軍, 李勝男, 李桂波

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

研究變粘性系數的2維MHD駐點流問題。平板被放置在大小為H0的磁場中,對Navier-Stokes方程組進行計算,其中粘性系數是溫度的函數。通過物理分析得到變粘性系數的MHD駐點流動的Navier-Stokes控制方程組。通過相似變換,將控制方程組轉化為常微分方程組。數值分析了磁場效應和溫度變化對壁面摩擦系數、壁面?zhèn)鳠峒傲鲌鎏卣鞯鹊挠绊?并得到了速度、磁場及溫度隨各參數的變化趨勢。

駐點流;MHD流; 變粘性系數; 相似解; 打靶法

0 引 言

2維駐點流問題是流體力學中的一個經典問題,并且有廣泛的應用領域。例如,均勻磁場下導電流體的駐點流問題在現代冶金和金屬加工過程中起著非常重要的作用,因為其最終產品的質量往往取決于金屬冷卻速率,而這個速率又與壁面邊界層結構有關。

Hiemenz[1]最先研究了經典2維平板駐點流問題,并且得到了N-S控制方程的精確解。從此,許多研究者對這個問題進行了不同方面的研究,例如3維駐點流問題、非定常駐點流問題、斜駐點流問題及帶有熱邊界層的駐點流問題。Mahapatra等[2]對平板2維定常不可壓粘性導電流體的MHD邊界層方程給出了精確的相似解,研究了常溫表面上的流體溫度分布情況。Grosan[3]研究了固定平板MHD斜入射駐點流問題。在他的研究中,考慮了大小為常數的橫向磁場。Lok等[4]研究了拉伸/收縮平板上粘性導電流體的MHD斜入射駐點流問題,其中外加磁場是均勻的,方向平行于斜入射駐點流的分界流線。Mahapatra等[5]考慮了收縮平板上斜入射駐點流的傳熱和輻射問題,研究發(fā)現流體內某一點的溫度隨著有效普朗特數的增加而減小。Chiam[6]表示出了拉伸表面駐點流邊界層傳熱問題的相似解,并討論了其對流場的影響,其中熱傳導系數隨著溫度線性變化。Ali等[7]擴展了此問題,考慮了感應磁場對流場的影響,研究了正交于拉伸平板的粘性不可壓駐點流問題和常熱傳導系數的傳熱問題。Singh等[8]研究了固定橫向磁場下MHD斜入射駐點流問題。

本文研究變粘性系數2維粘性不可壓駐點流問題,其中粘性系數是溫度的函數,同時考慮感應磁場對整個流場的影響。

1 基本方程組

本文考慮的2維定常粘性不可壓流體在正交于固定平板y=0平面上流動,如圖1所示。導電流體放置在外加磁場H中,同時考慮感應磁場的影響。根據文獻[9],此問題的控制方程可以寫為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 物理模型及坐標系Fig.1 Physical model and coordinate system

其中:x和y是沿平板表面及與其垂直平面建立的笛卡爾坐標;u和v是沿x和y軸的速度分量;H1和H2是沿x和y軸的磁場強度分量;ρ∞是流體密度;μ0是磁導率;σ是電導率;Cp是常壓下的比熱;ue(x)和He(x)是邊界層邊界的x軸方向速度分量和磁場強度分量;k∞是熱傳導系數。

本文中,粘性系數為T的函數,定義為

或

邊界條件如下:

(5)

(6)

其中:a是大于零的常數;H0是外流場均勻磁場的大小。

引入下面的相似變換:

非線性偏微分方程組(1)～方程(4)可轉化為如下常微分方程組:

(7)

(8)

邊界條件(5)～條件(6)轉化為

(9)

(10)

(11)

其中參數λ,Pr,β和θr分別表示磁普朗特數的倒數,普朗特數,磁參數和流體粘性參數。其定義為

當流體粘性系數為常數時,方程(7)退化為

該結果與Ali等[7]方程的結果一致。

本文關注的量為表面摩擦系數和努賽爾特數,分別定義為

2 結果與討論

采用龍格-庫塔方法和打靶法對方程(7)～方程(8)及其邊界條件(9)～條件(11)進行數值求解。為了檢驗所使用數值求解方法的正確性和準確性,計算了粘性系數μ(T)取常數且不考慮磁場,即β=0時f″(0)的值。數值結果與Howarth[11]和Li等[12]的結果進行了對比,如表1所示。可以發(fā)現,計算結果與之前發(fā)表過的結果吻合良好,說明數值方法是準確的。

表1 f″(0)的數值(μ(T)為常數,β=0)

首先計算了表面摩擦系數f″(0)隨磁系數β和流體粘性參數θr的變化。如圖2所示,表面摩擦系數隨著β的增加而減小,也隨著-θr的增加而減小。圖3給出了當地努賽爾特數-θ′(0)隨Pr數變化情況,可以發(fā)現,-θ′(0)隨Pr數的增加而增加。

圖4～圖6表示,當Pr=0.72,θr=-1時磁系數β對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)、溫度剖面θ(η)的影響?？梢钥闯?速度和感應磁場隨著β的增加而減小,而溫度隨著β的增加而增加。

圖7～圖9表示,當Pr=0.72,β=0.1時粘性系數θr對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)和溫度剖面θ(η)的影響?？梢钥闯?速度和感應磁場隨著-θr增加而減小,而溫度隨著-θr增加而增加。

圖10～圖12表示,當θr=-1,β=0.1時普朗特數Pr對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)和溫度剖面θ(η)的影響,可以看出,速度、感應磁場和溫度都隨著Pr的增加而減小。

圖2 Pr=0.72時,不同θr值對應的f″(0)隨β的變化

圖3 -θ′(0)隨Pr的變化

圖4 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的f′(η)剖面

圖5 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的g′(η)剖面

圖6 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的θ(η)剖面

圖7 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的f′(η)剖面

圖8 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的g′(η)剖面

圖9 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的θ(η)剖面

圖10 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的f′(η)剖面

圖11 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的g′(η)剖面

圖12 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的θ(η)剖面Fig.12 θ(η) profiles for different values of Pr when θr=-1,β=0.1

從圖12也可以發(fā)現熱邊界層厚度隨著Pr的增加而減少。這個結果是所期望得到的,因為傳熱能力會隨著Pr的增加而減小,即熱邊界層厚度將會減少。

3 結 論

本文研究了考慮感應磁場的2維粘性導電流體駐點流問題,詳細分析了變粘性系數下流場隨磁系數、粘性參數及普朗特數的變化情況。發(fā)現速度和感應磁場隨著β和-θr的增加而減小,而溫度隨著β和-θr的增加而增加;速度、感應磁場和溫度都隨著Pr的增加而減小。

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AnalyticalsolutionsofvariablethermalconductivityonMHDstagnation-ointflow

LI Mingjun, LI Shengnan, LI Guibo

(CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShenyangNormalUniversity,Shenyang110034,China)

Thetwo-dimensionalMHDstagnation-pointflowwithvariableviscosityisstudied.TheplateisplacedinthesizeoftherelativelystaticmagneticfieldofH0,theNavier-Stokesequationsarecalculated,whereviscosityisconsideredasafunctionoftemperature.ThegoverningNavier-StokesequationsfortheMHDstagnation-pointflowwithvariableviscositywereobtainedthroughphysicalanalysis.Byusingsimilaritytransformation,thegoverningequationsarefirstlytransformedintotheordinarydifferentialequations(ODEs).Numericallytheeffectsofmagneticstrengthandtemperaturechangestotheskinfrictioncoefficient,heattransfernearthewallandflowfieldcharacteristicsareanalyzed,andthetrendofvelocity,magneticfieldandtemperaturefieldwithdifferentparametersarealsoobtained.

stagnation-pointflow;MHDflow;variableviscosity;similaritytransformation;shootingmethod

2016-08-05。

國家自然科學基金資助項目(11171281); 遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(201502065, 201602673)。

李明軍(1968-),男,湖南益陽人,沈陽師范大學教授,博士,湘潭大學博士研究生導師。

1673-5862(2017)01-0068-05

O

A

10.3969/j.issn.1673-5862.2017.01.012