黃曉寒，王仲剛，袁 野，張 彧

(后勤工程學院 軍事土木工程系，重慶 401311)

基于高階加權和迷宮算法的層析成像射線追蹤法

黃曉寒，王仲剛，袁 野，張 彧

(后勤工程學院 軍事土木工程系，重慶 401311)

通過對LTI線性插值法的追蹤公式和全局掃描方法的改進，提出了一種基于高階加權和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。該算法通過引入Taylor加權高階項對LTI追蹤公式進行改進，減小了由于線性條件假設而產(chǎn)生的累積誤差，提高了射線追蹤精度，解決了LTI追蹤公式出現(xiàn)復值解而失效的問題；并利用迷宮算法原理對全局掃描方式進行優(yōu)化，解決了傳統(tǒng)掃描方法不能反向和豎向追蹤的問題。仿真試驗結果表明，新算法HLTI較傳統(tǒng)的LTI算法具有更高的射線追蹤精度和更好的成像效果。

LTI線性插值法；泰勒展式;CT技術;掃描優(yōu)化

線性插值射線追蹤[1-2]又稱LTI(Linear Travel-time Interpolation)，于1993年作為地震CT的正演過程被提出，主要用于地質勘探、震源的排查。作為全局算法的一種，LTI由追蹤公式和掃描方法兩部分構成。

圖1 計算D點的走時TD

追蹤公式推導如下。圖1為一離散網(wǎng)格，網(wǎng)格內的慢度S是恒定的，點A,B,C和D坐標分別為(x1,y1),(x1,y1+d),(x1,y1+r)和(x2,y2)。A，B點的走時為TA和TB，射線穿過網(wǎng)格邊界AB線段上的C點(x1,y1+r)到達對面邊界D點(x2,y2)的走時TD可表示為:

(1)

由線性假設可得:

式中:d為AB間的距離;r為AC間的距離。

將式(1)代入式(2)可得:

根據(jù)Fermat原理，將式(3)對r求導，令dTD/dr=0,得到TD取最小值時的r值:

式中：ΔT=TA-TB,Δx=x2-x1,Δy=y2-y1。

將r代入式(3)，可求得TD的最小值:

C點在AB線段上可得到約束條件:

全局掃描分為向前處理和向后處理兩部分，皆采取按列的掃描方式。通過式(5)可計算出起點到接收點之間各像元邊界點上的走時，稱為線性插值追蹤的向前處理；通過式(4)可以準確定位最小走時所對應的像元邊界交點，稱之為線性插值追蹤的向后處理。

1 LTI算法誤差分析

LTI法追蹤公式的核心在于線性假設式(2)，基于理論方面的LTI算法誤差分析如下。

如圖1所示，網(wǎng)格內慢度為S。射線從激發(fā)點發(fā)出經(jīng)由C點到達D點，從激發(fā)點到C點所經(jīng)歷的慢度為S。則C點及其鄰近兩點A、B處的旅行時間可以表示為：

將TB和TC在A點Taylor展開得:

將式(10)和式(11)相減，整理即得:

分析式(12)可知：① 當單元網(wǎng)格邊界插值點的數(shù)量趨近于正無窮時，式(12)中的r→0、d→0，此時該式即為傳統(tǒng)的LTI算法式(2)。② 作Taylor展開所得的高階系數(shù)與A點走時TA成反比關系，又由于A點時間和激發(fā)點到A點的距離成正比關系，故點C距離激發(fā)點越遠，高次項的影響越小。反之，當C點越接近激發(fā)點，帶來的誤差越大。LTI算法于1993年作為地震CT的正演過程被提出，主要用于地質勘探、震源的排查。在這類檢測中，精度不高，且激發(fā)點和接收點距離較遠，使得高階系數(shù)的影響不大。但由于工程檢測[3]中受測斷面小，激發(fā)點和接收點距離近，高階項的誤差就不可忽略，因此傳統(tǒng)LTI算法在工程CT中的應用將會受到限制。

圖2 路徑公式出現(xiàn)復數(shù)解

為了解決以上兩個問題，筆者將根據(jù)工程CT特點，從追蹤公式和掃描算法兩方面對傳統(tǒng)LTI算法進行改進，并提出了一種基于高階加權和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。

2 HLTI算法追蹤公式推導

基于上述分析，對傳統(tǒng)的LTI追蹤公式進行了改進，通過引入Taylor高階項來修正傳統(tǒng)LTI的線性假設所帶來的誤差，不但提高了追蹤精度，而且避免了追蹤公式在全局掃描過程中因出現(xiàn)復數(shù)解而失效的問題。下面介紹改進后的追蹤公式及其穩(wěn)定條件的推導。

將TC在r=0處Taylor展開，根據(jù)展式正負交替出現(xiàn)的性質，對其三階及以上的高階項放縮，并把放縮以后的項作為權值與二階項合并，得：

根據(jù)圖1所示，TD為D點的旅行時間，有表達式：

為了與TC形式上統(tǒng)一，對TD第二項做Taylor展開，保留二階項得:

代入式(13)則可得TD的最終表達式：

根據(jù)Fermat原理，對式(16)作r的變分即得:

-2dQ2≤Q1≤0(r的穩(wěn)定條件)

式中：

3 HLTI算法全局掃描方法

對于射線追蹤技術來說，掃描方式與追蹤公式同等重要，傳統(tǒng)LTI法的掃描方式存在的問題有：掃描采用從左往右按列的掃描方式，人為限定了搜索順序，無法進行反向和縱向追蹤；編程步驟冗長繁復，存在大量重復運算。為了解決這些問題，筆者基于迷宮問題[4]中路徑尋優(yōu)的思想，提出了一種新的掃描方法。新方法包括定義數(shù)據(jù)結構和數(shù)據(jù)傳遞方式兩部分。

(1) 定義數(shù)據(jù)結構。檢測斷面劃分為一系列小網(wǎng)格，每個網(wǎng)格看作獨立的數(shù)據(jù)結構，每個數(shù)據(jù)結構所含數(shù)據(jù)為該格慢度S,8個點對應走時t1，t2，t3，t4，t5，t6，t7，t8和對應坐標量(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),(x6,y6),(x7,y7),(x8,y8),如圖3所示。

圖3 單個數(shù)據(jù)結構示意

(2) 定義數(shù)據(jù)傳遞方式。如圖4所示，對數(shù)據(jù)組中第4個點賦值走時的方法有兩種。一種如圖中虛線所示，通過數(shù)據(jù)組內已知的走時和坐標數(shù)據(jù)，以追蹤公式(17)、(18)計算求得，并將其中最小值賦給第4個點，稱這種數(shù)據(jù)傳遞方式為組內數(shù)據(jù)傳遞。另一種如圖中實線所示，網(wǎng)格A和B相鄰，A中第4個點與B中第8個點重合，對應點的走時、坐標應相同。若8

圖4 數(shù)據(jù)傳遞方式示意

綜上，HLTI算法流程如圖5所示。

圖5 HLTI算法流程

圖6 數(shù)值模型與觀測系統(tǒng)

4 仿真試驗

設計一個如圖6(a)所示的含缺陷的數(shù)值化模型，截面長1 000 mm，寬1 000 mm，波速為ν正常=4 000 m·s-1,缺陷區(qū)域波速為ν缺陷=3 000 m·s-1。設置激發(fā)點10個，接受點10個，采取一發(fā)多收信號采集方式，網(wǎng)格100個，射線100條，收發(fā)點布置方式和初始射線路徑見圖6(b)，不失一般性，以第5號激發(fā)點及其對應的10條射線為例進行分析。

表1 LTI和HLTI走時對比與相對誤差 μs

圖7 理論走時和兩種算法的離差曲線

通過射線走時和射線路徑與理論值的對比分析，判定兩種算法的追蹤效果。表1為10條射線的理論走時與通過兩種射線追蹤方法得到的走時值和誤差計算，圖7為兩種方法走時與理論值的離差曲線。圖8為兩種算法追蹤出的射線路徑。由表1可知， LTI算法和HLTI算法與理論走時的最高誤差分別為12%和0.7%，平均誤差分別為2.9%和0.2%，HLTI算法的最大離差不超過2.1 μs，小于LTI算法，走時曲線與理想走時曲線更為貼近，提高了追蹤精度。在圖8(a)中的第4、5、6根射線無法繞開缺陷，而8(b)中通過向上搜索基本繞開了缺陷區(qū)。故通過分析可得出結論：在含低速區(qū)的慢度場中，HLTI算法能解決LTI算法無法縱向追蹤的問題，具有更好的射線追蹤效果。

圖8 兩種算法的射線追蹤路徑

5 結語

通過對LTI線性插值法的追蹤公式和全局掃描方法的改進，提出了一種基于高階加權和迷宮算法的層析成像射線追蹤法(HLTI)。新算法通過引入Taylor高階項減少了原算法追蹤公式的誤差，避免了原有追蹤公式出現(xiàn)復數(shù)解導致追蹤失效的情況；對其全局掃描方法進行改進，解決了原方法無法縱向追蹤的問題。算例驗證表明，提出的HLTI算法較傳統(tǒng)的LTI算法具有更高的射線追蹤精度，獲得了更好的追蹤效果。

[1] VIDALE J E. Finite-difference calculation of travel times[J]. Geophysics, 1988, 78: 2062-2076.

[2] 李強, 白超英. 復雜介質中地震波前及射線追蹤綜述[J].地球物理學進展,2012,27(1): 92-104.

[3] 顧孝同. 國內工程CT技術的發(fā)展與應用[J]. 工程地球物理學報, 2006,3(4): 278-282.

[4] 吳建明. 電腦鼠走迷宮算法模擬器的仿真建模與實現(xiàn)[J].電腦開發(fā)與應用,2014, 27(2): 33-39.

Tomography Ray-tracing Based on High-order Weighting and Maze Algorithm

HUANG Xiao-han, WANG Zhong-gang, YUAN Ye, ZHANG Yu

(Department of Civil Engineering, Logistic Engineering University, Chongqing 401311, China)

Through the improvement to the LTI track formula (linear travel-time interpolation) and global scanning method, a HLTI based on higher order weighting and maze algorithm has been advanced. By means of improving LTI track formula via bringing in Taylor higher order weighted item, this new algorithm reduces the accumulative error caused by linear condition hypothesis, improves the accuracy of ray-tracing, and thus solves the invalidation problem come about by the complex-value solution of LTI track formula. Besides, by taking advantage of the maze algorithm principle to optimize the global scanning method, the problem of the traditional scanning method which is incapable of backward and vertical tracing has been solved. The simulation experiment results indicate that the new HLTI has higher ray-tracing accuracy and better image quality than the traditional LTI.

Linear travel-time interpolation; Taylor expansion; CT Technique; Scan optimization

2016-05-25

黃曉寒(1990-),女，碩士，講師，主要研究方向為特種結構檢測與加固。

黃曉寒,E-mail:hxhshr@sina.com。

10.11973/wsjc201702009

TG115.28

A

1000-6656(2017)02-0034-04