孟凡斌, 邵雪卷, 張井崗, 陳志梅

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

內(nèi)模補(bǔ)償預(yù)測函數(shù)控制在磁懸浮系統(tǒng)中的應(yīng)用

孟凡斌, 邵雪卷, 張井崗, 陳志梅

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

由于磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變及外界干擾的存在，采用預(yù)測函數(shù)控制會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差。針對這個(gè)問題，提出了一種基于內(nèi)模補(bǔ)償?shù)念A(yù)測函數(shù)控制方法。采用內(nèi)?？刂破鞯妮敵鲂拚A(yù)測函數(shù)控制(PFC)補(bǔ)償系統(tǒng)的控制量，克服不確定因素的影響，改善系統(tǒng)的控制品質(zhì)。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅能使磁浮球裝置中的小球快速到達(dá)平衡位置，而且提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和控制精度。

磁懸浮; 軌道交通; 工業(yè)機(jī)器人; 預(yù)測函數(shù)控制; 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制; 二自由度; 預(yù)測誤差; 內(nèi)模補(bǔ)償; 控制精度

0 引言

磁懸浮是一種利用磁力使物體在空間中處于懸浮平衡狀態(tài)的支撐技術(shù)，具有無接觸、無摩擦等優(yōu)點(diǎn)，可以延長機(jī)械設(shè)備的使用壽命。近年來，磁懸浮技術(shù)在軌道交通運(yùn)輸、非接觸式驅(qū)動(dòng)、精密加工、航空航天、生命醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1]，具有重要的研究與應(yīng)用價(jià)值。但是，磁懸浮系統(tǒng)是一類非線性不確定系統(tǒng)，具有一定的控制難度，傳統(tǒng)PID控制很難滿足其對高精度及快速性的要求。近年來，國內(nèi)外研究者提出了諸多控制方法，如：魯棒控制[2]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[3-4]、模糊控制[5-6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[7]等。這些方法從不用角度改善了系統(tǒng)的控制品質(zhì)，但是仍存在控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜、算法計(jì)算量大等問題。

預(yù)測函數(shù)控制(predictivefunctioncontrol，PFC)最早由Richalet等提出，一經(jīng)問世便被成功應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人的跟蹤控制中[8]。此后，PFC在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中均取得了一系列成果。近年來，國內(nèi)外研究者分別從預(yù)測模型[9-10]、基函數(shù)[11-13]、目標(biāo)函數(shù)[14-16]等方面對預(yù)測函數(shù)控制進(jìn)行了改進(jìn)，并且將單一變量系統(tǒng)擴(kuò)展到了多變量系統(tǒng)[17-19]。PFC算法具有計(jì)算簡單、快速性好、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，目前已被應(yīng)用于電機(jī)控制、軋鋼控制、飛行器控制等領(lǐng)域。

PFC結(jié)構(gòu)考慮了系統(tǒng)的模型失配和噪聲等問題，但是其調(diào)節(jié)能力有限。由于參數(shù)時(shí)變和干擾等因素的存在，PFC的模型輸出和實(shí)際輸出之間會(huì)存在較大的預(yù)測誤差，影響磁懸浮系統(tǒng)的控制性能，甚至?xí)茐钠浞€(wěn)定性。為了減小預(yù)測誤差，增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾性能，本文在常規(guī)PFC的基礎(chǔ)上，采用內(nèi)?？刂破餮a(bǔ)償系統(tǒng)的控制量。仿真和試驗(yàn)表明，該方法具有更好的動(dòng)態(tài)性能及控制精度。

1 預(yù)測函數(shù)控制原理

預(yù)測函數(shù)控制屬于預(yù)測控制的范疇，具有預(yù)測模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正三個(gè)基本特征。

1.1 預(yù)測模型

預(yù)測模型常采用離散狀態(tài)空間表達(dá)式形式：

(1)

式中：Xm(t)為t時(shí)刻廣義預(yù)測模型的狀態(tài)向量；ym(t)為t時(shí)刻模型的預(yù)測輸出；Am、Bm和Cm為預(yù)測模型的系數(shù)矩陣。

基函數(shù)的線性組合形式如下：

(2)

式中：fkj(i)為基函數(shù)的第i個(gè)采樣周期值；Nf為基函數(shù)的個(gè)數(shù)；μj(k)為基函數(shù)的線性組合系數(shù)；h為優(yōu)化時(shí)域長度。

1.2 滾動(dòng)優(yōu)化

參考軌跡通常采用一階指數(shù)形式，即：

yr(k+i)=βiyp(k)+(1-βi)r(k)

(3)

式中：yr(k+i)為參考軌跡；r(k)為設(shè)定值；yp(k)為廣義對象的實(shí)際輸出；參考軌跡柔化因子β=e[-Ts/(Tr/3)]，0<β<1。

采用二次型優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(4)

式中：NH為擬合點(diǎn)的數(shù)量；hj為第j個(gè)擬合點(diǎn)。

定義yp(k+i)為(k+i)時(shí)刻的廣義對象輸出預(yù)測，其計(jì)算表達(dá)式為：

yp(k+i)=ym(k+i)+ε(k+i)

(5)

式中：ym(k+i)為(k+i)時(shí)刻的廣義預(yù)測模型輸出；ε(k+i)為(k+i)時(shí)刻預(yù)測誤差。

1.3 反饋校正

由于系統(tǒng)存在不確定因素，會(huì)使模型預(yù)測輸出和實(shí)際輸出之間存在一定的偏差，PFC需要對未來時(shí)域中的誤差進(jìn)行預(yù)測，一般選取預(yù)測誤差為：

ε(k+i)=yp(k)-ym(k)

(6)

式中：yp(k)為k時(shí)刻被控對象的實(shí)際輸出；ym(k)為k時(shí)刻預(yù)測模型的輸出。

2 磁懸浮球系統(tǒng)的PFC控制

2.1 磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

磁浮球裝置包括電磁鐵、小球、光源、光電位置傳感器、功率放大電路等，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 磁浮球裝置結(jié)構(gòu)圖

圖1中：m為小球質(zhì)量；g為重力加速度；x為鋼球質(zhì)心和電磁鐵磁極之間的距離；f為電磁力；ui為外部電路設(shè)備所提供的電壓；ux為小球位置對應(yīng)的傳感器的輸出電壓。

由文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]可知，系統(tǒng)在平衡位置(i0,x0)附近的傳遞函數(shù)為：

(7)

式中：x0為平衡位置；i0為平衡位置處的電流。

實(shí)際控制中，以功率放大器的輸入電壓u作為控制量，此時(shí)傳感器的輸出電壓Ux和功率放大器的輸入電壓Ui之間的關(guān)系為：

(8)

式中：b=-2gKx/(Kai0)；p2=2g/x0；1/Ka為功率放大器增益；Kx為輸出電壓的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

磁懸浮裝置物理參數(shù)如下[20]：平衡位置x0=0.02m；平衡電流i0=0.610 5A；重力加速度g=9.8m/s2；Ka=5.892 9A/V；Kx=-458.845 6V/m。

將以上這些參數(shù)代入式(8)，可得系統(tǒng)參數(shù)b=2 499.1。

2.2 磁懸浮球系統(tǒng)的整定

由式(8)可以看出，磁浮球系統(tǒng)在復(fù)平面的右半平面s內(nèi)有一個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)，s平面是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。因此，選取比例微分結(jié)構(gòu)進(jìn)行整定，即：

H(s)=kp+kds

(9)

由式(8)和式(9)可得整定后的廣義對象為：

實(shí)施兒童肥胖干預(yù)的場所有學(xué)校、家庭、社區(qū)等，在學(xué)校實(shí)施肥胖干預(yù)，便于組織實(shí)施和持續(xù)進(jìn)行。由于城市學(xué)齡兒童入學(xué)率高，在校時(shí)間長，使得學(xué)校成為預(yù)防和干預(yù)學(xué)齡兒童肥胖的最佳場所。本研究以校園為主要干預(yù)環(huán)境，同時(shí)向家庭發(fā)散。采用分級培訓(xùn)式健康教育，探討培養(yǎng)學(xué)齡兒童健康生活方式，降低肥胖發(fā)生率的策略，具有重要的社會(huì)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

(10)

典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

(11)

對比式(10)和式(11)，可得整定后廣義被控對象的模型參數(shù)為：

(12)

(13)

(14)

式中：ωn為自然頻率；ξ為系統(tǒng)的阻尼比，取ξ=0.8。此時(shí)，G(s)的所有極點(diǎn)都位于s平面的左平面內(nèi)，G(s)是一個(gè)穩(wěn)定的典型二階廣義被控對象。

2.3PFC控制器設(shè)計(jì)

磁懸浮系統(tǒng)的PFC結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 磁懸浮系統(tǒng)的PFC結(jié)構(gòu)圖

圖2中：P為被控對象；G為整定后的廣義被控對象；Gm為預(yù)測模型(即Gm=G)；r為設(shè)定值；d為干擾；yp為系統(tǒng)的實(shí)際輸出；ym為模型的預(yù)測輸出。

當(dāng)給定值為階躍信號時(shí)，選擇單位階躍函數(shù)作為基函數(shù)，即新加入的控制作用為：

u(k)=μ(k)i=0,1,2,...,h-1

(15)

由式(1)、式(10)～式(14)可知，系統(tǒng)的預(yù)測模型系數(shù)矩陣為：

(16)

(17)

Cm=[1 0]

(18)

根據(jù)PFC原理遞推，由?J(k)/?u(k)=0，可得k時(shí)刻的PFC控制量：

u(k)=K0[r(k)-yp(k)+KmXm(k)]

(19)

式中：K0和Km為增益系數(shù)，可通過離線計(jì)算求得。

3 內(nèi)模補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

為了克服外界干擾和參數(shù)時(shí)變等因素引起的預(yù)測誤差，在常規(guī)PFC基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)補(bǔ)償結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)PFC的抗干擾能力，其控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 帶補(bǔ)償?shù)腜FC結(jié)構(gòu)圖

圖3中：F為補(bǔ)償控制器，根據(jù)預(yù)測誤差修正控制量u，使系統(tǒng)輸出yp和模型輸出ym盡可能相等。

目前，常用的補(bǔ)償方法有模糊控制[20]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[21]、擾動(dòng)觀測器[22-23]等。

為了使系統(tǒng)獲得良好的干擾抑制特性，本文采用內(nèi)?？刂品椒ㄟM(jìn)行設(shè)計(jì)，即:

(20)

f(s)的表達(dá)式為:

(21)

根據(jù)式(10)～式(12)、式(17)～式(18)，可得內(nèi)模補(bǔ)償控制器為:

(22)

式中：n=2。

4 系統(tǒng)性能分析

4.1 理論分析

PFC的控制器參數(shù)K0和Km可以離線求得。因此，該內(nèi)模補(bǔ)償PFC可以等效為如圖4所示的結(jié)構(gòu)。

圖4 等效的內(nèi)模補(bǔ)償PFC結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系可表示為：

(23)

標(biāo)稱情況下，目標(biāo)值輸入的傳遞函數(shù)和干擾輸入的傳遞函數(shù)分別為：

(24)

(25)

由上式可以看出，該補(bǔ)償PFC結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)值跟隨性能和干擾抑制性能的解耦。根據(jù)二自由度控制思想，PFC控制器和內(nèi)模控制器的參數(shù)可以分開調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)同時(shí)獲得良好的目標(biāo)值跟隨特性和干擾抑制特性。

根據(jù)式(25)，可得標(biāo)稱情況下系統(tǒng)的干擾抑制傳遞函數(shù)為：

(26)

對式(25)進(jìn)行進(jìn)一步變換，可得：

(27)

由魯棒控制理論可知，當(dāng)增大λ時(shí)，S(s)增大，系統(tǒng)的干擾抑制特性變差；相反，當(dāng)減小λ時(shí)，系統(tǒng)的干擾抑制特性增強(qiáng)。

4.2 仿真分析

在標(biāo)稱情況下，設(shè)定值r=-3V，當(dāng)t=0.5s時(shí)加入幅值為0.6V的階躍干擾。當(dāng)λ=0.01，取Tr分別為0.05、0.1、0.15時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖5(a)所示；當(dāng)Tr=0.1，取λ分別為0.005、0.01、0.015時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖5(b)所示。

圖5 參數(shù)變化時(shí)的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由圖5(a)可知，當(dāng)λ不變時(shí)，隨著Tr的減小，系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，干擾抑制能力增強(qiáng)；相反，隨著Tr的增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度減慢，干擾抑制能力減弱。由圖5(b)可知，當(dāng)Tr不變時(shí)，減小λ，系統(tǒng)的干擾抑制能力增強(qiáng)；增大λ，系統(tǒng)的干擾抑制能力減弱?？梢?，Tr影響系統(tǒng)的跟隨性能和抗干擾能力，λ的變化只影響抗干擾能力，這與理論分析的結(jié)論一致。

此外，在進(jìn)行控制器參數(shù)選擇時(shí)，先確定Tr，再確定λ，使系統(tǒng)同時(shí)獲得良好的目標(biāo)值跟隨性能和抗干擾能力。

5 仿真和試驗(yàn)

為了證明本文內(nèi)模補(bǔ)償PFC的控制效果，分別進(jìn)行仿真和試驗(yàn)研究。選擇超調(diào)量(σ%)、調(diào)節(jié)時(shí)間(ts)、穩(wěn)態(tài)誤差(Δ)及時(shí)間乘以誤差絕對值積分(interatedtimeandabsoluteerror,ITAE)作為驗(yàn)證系統(tǒng)性能的指標(biāo)，并將本文方法與PID、常規(guī)PFC方法進(jìn)行比較。

5.1 仿真

分別比較標(biāo)稱和模型失配兩種情況下系統(tǒng)的控制性能，模型失配時(shí)使系統(tǒng)參數(shù)p2和b分別攝動(dòng)-30%，即p2=686、b=1 749.37。兩種情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6所示。仿真性能指標(biāo)比較如表1所示。

圖6 系統(tǒng)階躍響應(yīng)比較曲線

PID控制器參數(shù)：Kp=1.5、KiTs=0.01、Kd/Ts=45，常規(guī)PFC參數(shù)Tr=0.1，內(nèi)模補(bǔ)償PFC參數(shù)Tr=0.1、λ=0.01。

由仿真結(jié)果可以看出，本文內(nèi)模補(bǔ)償PFC方法的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾能力均優(yōu)于常規(guī)PFC和PID控制。

表1 仿真性能指標(biāo)比較

5.2 試驗(yàn)

本文采用圖7所示的磁懸浮球系統(tǒng)試驗(yàn)平臺進(jìn)行試驗(yàn)研究。該平臺主要由磁懸浮裝置、dSPACEDS1103控制板、工控機(jī)等部分組成。

圖7 磁懸浮球系統(tǒng)試驗(yàn)平臺

由于試驗(yàn)裝置的傳感器輸出電壓為負(fù)值，因此，給定位置電壓為-3V，在15s左右加入干擾。磁懸浮球系統(tǒng)的位置輸出曲線如圖8所示?？刂菩阅苤笜?biāo)比較如表2所示。

圖8 系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制輸出曲線

方法σ/%ts/stt/sΔ/VITAEPID22．332．161．81±0．0517．45常規(guī)PFC0．002．490．38±0．0511．82內(nèi)模補(bǔ)償PFC0．001．890．24±0．035．10

通過試驗(yàn)比較可以看出，內(nèi)模補(bǔ)償PFC方法的位置跟蹤過程無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，僅為1.89s；干擾作用后的調(diào)節(jié)時(shí)間僅為0.24s；穩(wěn)態(tài)誤差為0.03V；30s內(nèi)的ITAE指標(biāo)為5.10。因此，本文內(nèi)模補(bǔ)償PFC方法的動(dòng)態(tài)性能及干擾抑制能力均優(yōu)于另外兩種控制系統(tǒng)，這與仿真結(jié)論一致。

6 結(jié)束語

本文針對磁懸浮系統(tǒng)的位置控制，設(shè)計(jì)了一個(gè)內(nèi)模補(bǔ)償PFC控制器。為了克服不確定因素的影響，采用內(nèi)?？刂破餮a(bǔ)償PFC控制量，減小預(yù)測誤差，提高PFC的抗干擾能力。由于該控制結(jié)構(gòu)中的PFC控制器和內(nèi)模控制器參數(shù)可以分別選擇、調(diào)節(jié)，因此能夠同時(shí)滿足對系統(tǒng)快速性和干擾抑制特性的要求。仿真和試驗(yàn)表明，該控制系統(tǒng)具有快速性好、抗干擾能力強(qiáng)、控制精度高等特點(diǎn)。

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PredictiveFunctionalControlBasedonInternalModelControlCompensatingforMagneticLevitationBallSystem

MENGFanbin,SHAOXuejuan,ZHANGJinggang,CHENZhimei

(CollegeofElectronicInformationEngineering,TaiyuanUniversityofScienceandTechnology,Taiyuan030024,China)

Thetimevaryingparameterofthemagneticlevitationballsystemandthedisturbanceintheworkingenvironmentresultinalargepredictionerrorofthepredictivefunctionalcontrol，whichwillmakethesystemperformanceworse.Tosolvethepredictionerrorproblem,aninternalmodelcontrolerisdesignedbasedonthepredictivefunctionalcontrol.Theinternalmodelcontrolerisusedtomodifycontrolvoltageofpredictivefunctionalcontrol(PFC)toovercometheinterferenceofuncertaintyandimprovethecontrolsystemperformance.Simulationandexperimentalresultsshowthattheproposedcontrollercanmaketheballachievestablesuspensioninashorttimeandimprovetheanti-interferenceabilityandcontrolaccuracy.

Magneticlevitation;Railtransit;Industrialrobot;Predictivefunctionalcontrol;Neuralnetworkcontrol;Twodegreeoffreedom;Predictionerror;Internalmodelcompensation;Controlaccuracy

山西省自然科學(xué)基金(2014011020-1/2)、山西省研究生教學(xué)改革基金(20142058)、山西省研究生聯(lián)合培養(yǎng)基地人才培養(yǎng)基金(2016JD35)、太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新基金(20145020)資助

孟凡斌(1989—)，男，在讀碩士研究生，主要從事預(yù)測控制、磁懸浮技術(shù)等方向的研究。E-mail:mfb0539@163.com。邵雪卷(通信作者)，女，碩士，副教授，主要從事內(nèi)?？刂?、智能控制等方向的研究。E-mail:sxj0351@163.com。

TH86;TP

ADOI: 10686/j.cnki.issn1000-0380.201701006

修改稿收到日期:2016-08-03