王曉軍

(常州工學(xué)院機(jī)械與車輛工程學(xué)院，江蘇 常州 213032)

0 引言

摩擦這一非線性現(xiàn)象不可避免地存在于所有的機(jī)械系統(tǒng)當(dāng)中。為了簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，在建模、仿真和設(shè)計(jì)中往往忽略真實(shí)鉸鏈的間隙、摩擦等因素。但隨著機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)速度、制造和控制精度的不斷提高，需要用接近真實(shí)的方式描述物體間的接觸與分離、黏滯與滑移(stick-slip)等現(xiàn)象。在研究對(duì)象的動(dòng)力學(xué)方程中嵌入準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)哪Σ聊Ｐ湍軌驕p少數(shù)值仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差[1]369，有效預(yù)測(cè)摩擦行為。

摩擦力是兩個(gè)接觸表面間相互的切向作用力，機(jī)械系統(tǒng)當(dāng)中的摩擦與很多因素有關(guān)，它涉及接觸力學(xué)、傳熱學(xué)、流體力學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)、材料學(xué)、機(jī)械學(xué)等多學(xué)科知識(shí)，很難從機(jī)理上得到其準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型[2]，這也吸引著眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行深入研究。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中干摩擦問題的研究已經(jīng)持續(xù)了幾個(gè)世紀(jì)，人們通過理論和實(shí)驗(yàn)建立的摩擦模型多達(dá)幾十種，如Coulomb干摩擦模型、修正的Coulomb摩擦模型、黏性摩擦模型、Stribeck模型和LuGre摩擦模型等[3]。其中Coulomb干摩擦模型被認(rèn)為是最簡(jiǎn)潔的摩擦模型[4-5]，但由于該模型的不連續(xù)性，給數(shù)值仿真分析帶來很多困難；LuGre摩擦模型屬于連續(xù)模型, 不同摩擦狀態(tài)之間能夠平滑地過渡, 因此逐步得到了應(yīng)用[6]，但該模型的參數(shù)識(shí)別也是難點(diǎn)問題。本文針對(duì)Coulomb摩擦模型和LuGre摩擦模型進(jìn)行分析，通過數(shù)值仿真比較這兩種模型的適用性。

1 Coulomb摩擦模型

機(jī)械系統(tǒng)中常用的摩擦模型有多種，由于摩擦的復(fù)雜性，多數(shù)摩擦模型都是基于經(jīng)驗(yàn)揭示摩擦的物理意義。16世紀(jì)初期，Leonardo da Vinci經(jīng)過試驗(yàn)闡明摩擦力與法向接觸力的正比關(guān)系，被法國(guó)物理學(xué)家Amontons所證實(shí)。1785年，Coulomb建立了不依賴滑動(dòng)速度的摩擦定律，并對(duì)靜摩擦力和動(dòng)摩擦力做了明確的區(qū)分，建立了第一個(gè)摩擦模型[7]，該模型又可分為Coulomb干摩擦模型和修正的Coulomb摩擦模型，如圖1所示。靜態(tài)Coulomb干摩擦模型[8]可表示為

(1)

圖1 Coulomb摩擦模型

(2)

(3)

由式(1)和式(3)可以看出，當(dāng)滑塊的相對(duì)速度和相對(duì)切向加速度均為零時(shí)，接觸點(diǎn)處于stick(黏滯)狀態(tài)，其摩擦力的取值是一個(gè)范圍。該摩擦模型形式簡(jiǎn)單，且動(dòng)、靜摩擦因數(shù)易于測(cè)定，因而得到了廣泛的應(yīng)用。

然而，Coulomb摩擦是關(guān)于接觸點(diǎn)相對(duì)速度的非連續(xù)函數(shù)，且在相對(duì)速度為零時(shí)為多值函數(shù)，給含Coulomb干摩擦模型機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值計(jì)算帶來較大的困難[10]。為了避免數(shù)值計(jì)算方面的困難，提高計(jì)算效率，一些學(xué)者提出了多種修正的Coulomb摩擦模型，其中之一可表示為[1]373

(4)

式中cd動(dòng)態(tài)矯正系數(shù)，可表示為

(5)

式中，v0和vT為給定的速度區(qū)間值。

修正的Coulomb摩擦模型是相對(duì)速度的連續(xù)函數(shù)，可用于無stick-slip運(yùn)動(dòng)狀態(tài)切換的機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的仿真。但是，該模型不能反映靜摩擦特性(接觸點(diǎn)相對(duì)速度為零時(shí)，摩擦力的取值是一個(gè)范圍)，該模型在接觸點(diǎn)的相對(duì)速度為零時(shí)其摩擦力也為零，這不符合實(shí)際的摩擦現(xiàn)象。

采用文獻(xiàn)[27]三氯化鐵-鐵氰化鉀試劑法對(duì)20%vol和72%vol紅棗白蘭地的致濁物進(jìn)行定性分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果，均呈現(xiàn)明顯的藍(lán)色斑點(diǎn)。表明致濁物中含有酚類物質(zhì)，所得結(jié)果與紅外吸收光譜相吻合。

Flores利用L-N接觸力模型、線彈性接觸力模型和修正的Coulomb摩擦模型研究了含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)鉸和滑移鉸機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值算法問題[8]，這些系統(tǒng)均存在stick-slip運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的切換。Pfeiffer等人[4，11]基于互補(bǔ)理論給出了單邊接觸含Coulomb干摩擦多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模方法與數(shù)值計(jì)算方法；莊方方和王琪等人[12-14]分別研究了轉(zhuǎn)動(dòng)鉸和滑移鉸間隙充分小且含Coulomb干摩擦的平面多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值算法問題，應(yīng)用試算法或線性互補(bǔ)方法，有效解決了stick-slip運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的切換問題。試算法適用于含摩擦接觸點(diǎn)較少的機(jī)械系統(tǒng)，線性互補(bǔ)方法適用于含摩擦接觸點(diǎn)較多的系統(tǒng)[10]105?；诰€性互補(bǔ)理論的非光滑(含Coulomb干摩擦)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值計(jì)算方法已被用于機(jī)械車輛等系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[9,15-16]。

2 LuGre摩擦模型

考慮到接觸表面在外力作用下的變形，Dahl通過微分方程描述了摩擦力未達(dá)到最大靜摩擦力之前界面的微小位移，Haessig和Friedland則從微觀層面將接觸面看成大量的彈性鬃毛，提出了鬃毛模型[6]207?；谧酌钠骄冃危藗兲岢鯨uGre摩擦模型[1,3]，該模型可以描述為

(6)

其中,σ0為鬃毛的剛度，σ1為微觀阻尼系數(shù)，σ2是黏性摩擦系數(shù)。鬃毛的平均變形可表示為

(7)

式中的函數(shù)g(vτ)描述了系統(tǒng)在克服靜摩擦力之后開始運(yùn)動(dòng)，摩擦力在低速下隨著速度的增加而減小的現(xiàn)象，即Stribeck現(xiàn)象。g(vτ)可表達(dá)為

(8)

式中，vs為Stribeck速度，γ(γ≥1)為依賴速度的摩擦力衰減梯度系數(shù)。

3 數(shù)值仿真算例

本文以滑塊在主動(dòng)力F(t)作用下在水平地面滑動(dòng)為例(如圖2所示)，分別用Coulomb干摩擦模型和LuGre摩擦模型描述滑塊與地面間的摩擦力。

圖2 算例中的系統(tǒng)

3.1 動(dòng)力學(xué)方程

該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

(10)

(11)

由該式不難看出，當(dāng)物體處于stick狀態(tài)或stick-slip狀態(tài)切換時(shí)，方程(9)的等號(hào)兩端均有加速度項(xiàng)，且式(11)是多值函數(shù)，其數(shù)值計(jì)算的難點(diǎn)在于物體的接觸點(diǎn)處于stick狀態(tài)或stick-slip狀態(tài)切換時(shí)動(dòng)力學(xué)方程的求解。本文用試算法判斷接觸點(diǎn)是否處于stick狀態(tài)或stick-slip狀態(tài)的切換。

當(dāng)采用LuGre摩擦模型時(shí)，由式(6)—(8)可知，摩擦力可表示為

(12)

其動(dòng)力學(xué)方程右端是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量的連續(xù)函數(shù)，便于數(shù)值求解。

3.2 數(shù)值仿真分析

系統(tǒng)參數(shù)如下：

m=2.0 kg;μ=0.5;μ0=0.75;g=10.0 N/kg;

F(t)=Asin(wt);w=4.0 rad/s;A=15.5 N;vs=0.0004;σ0=106;σ1=350;σ2=0.0;γ=2.0。

基于LuGre摩擦模型，圖5給出了滑塊的x、vx和Ff的時(shí)間歷程圖(粗實(shí)線為Ff，細(xì)實(shí)線為x，虛線為vx)。由圖可見， LuGre摩擦模型同樣能計(jì)算塊體的stick-slip現(xiàn)象，并且在速度從零轉(zhuǎn)變?yōu)榉橇銜r(shí)，摩擦力由靜摩擦力向滑動(dòng)摩擦力突變。由于兩種模型的參數(shù)不同，關(guān)于速度和位移的計(jì)算結(jié)果不盡相同。

圖3 x和vx的時(shí)間歷程圖

圖4 vx和Ff的時(shí)間歷程圖

圖5 x、vx和Ff的時(shí)間歷程圖

圖6給出了σ0=105(其他參數(shù)不變)時(shí)滑塊的x、vx和Ff的時(shí)間歷程圖(粗實(shí)線為Ff，細(xì)實(shí)線為x，虛線為vx)，由圖可以看出，當(dāng)摩擦力未達(dá)到最大摩擦力時(shí)，滑塊就由靜止開始滑動(dòng)了，可見系統(tǒng)參數(shù)對(duì)LuGre摩擦模型的計(jì)算結(jié)果有很大影響。

圖6 當(dāng)σ0=105時(shí),x、vx和Ff的時(shí)間歷程圖

4 結(jié)論

本文分析比較了Coulomb干摩擦模型和LuGre摩擦模型的特點(diǎn)。Coulomb干摩擦模型形式簡(jiǎn)單，能較好地反映stick-slip運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的切換，摩擦參數(shù)易于通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定，且在工程手冊(cè)上可以查到不同材料間的動(dòng)、靜摩擦因數(shù)，但該模型的不連續(xù)性和多值性會(huì)給動(dòng)力學(xué)方程的求解帶來困難。LuGre摩擦模型是關(guān)于接觸點(diǎn)的相對(duì)速度的連續(xù)函數(shù)，且與鬃毛的平均變形量等因素有關(guān)，在某種程度上能較好地反映摩擦的多種特性，但該模型與多個(gè)參數(shù)有關(guān)，其中有些參數(shù)不易測(cè)定，當(dāng)某些參數(shù)選取得不合適時(shí)(如σ0)，則不能正確地反映摩擦現(xiàn)象。另外，由于σ0的值較大，在數(shù)值計(jì)算時(shí)需要取較小的步長(zhǎng)才能進(jìn)行求解，計(jì)算效率較低。文獻(xiàn)[20—21]分析比較了多種摩擦模型，有助于進(jìn)一步了解各種摩擦模型的特點(diǎn)。

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