陳 芳

“三數(shù)”知多少

陳 芳

一、“三數(shù)”的歷史背景

歷史上，平均數(shù)最早是用來(lái)估計(jì)總體的.公元4世紀(jì)，在古印度有一個(gè)故事：古印度國(guó)王圖潘納發(fā)現(xiàn)一棵枝繁葉茂的大樹(shù)，他想估計(jì)這棵樹(shù)上的樹(shù)葉和果實(shí)的數(shù)目.他首先找到根部的一個(gè)粗細(xì)中等的樹(shù)枝，并數(shù)出上面樹(shù)葉和果實(shí)的數(shù)目，用這一個(gè)樹(shù)枝上的樹(shù)葉和果實(shí)數(shù)目乘上樹(shù)枝的數(shù)目，從而估算出這顆樹(shù)上的樹(shù)葉和果實(shí)的總數(shù)目.在這個(gè)故事中，圖潘納選用粗細(xì)中等的樹(shù)枝作為整棵樹(shù)枝上樹(shù)葉和果實(shí)的代表值，這可能是算數(shù)平均數(shù)的直覺(jué)使用，因?yàn)樗x的樹(shù)枝代表了其余所有的樹(shù)枝，其數(shù)量處于“中間”位置.

平均一詞源于海事法，與保險(xiǎn)、公平分享利潤(rùn)和損失有關(guān).一般地，平均是把一列累加起來(lái)，等量分配到每一個(gè)個(gè)體，使之相等，體現(xiàn)了一種公平、公正精神的訴求，在引申應(yīng)用中，平均逐漸指代算術(shù)平均數(shù).不同起源的算術(shù)平均數(shù)表現(xiàn)著它的不同內(nèi)涵，直到19世紀(jì)，歷史上的算術(shù)平均數(shù)才作為一種數(shù)據(jù)處理方法而出現(xiàn)，和估算有著密切的關(guān)系.

1874年，費(fèi)歇爾試圖用天文學(xué)中行之有效的方法描述心理和社會(huì)現(xiàn)象，他使用了中位數(shù)，還號(hào)召簡(jiǎn)化中位數(shù)的計(jì)算，使用中位數(shù)的重要原因是它計(jì)算的簡(jiǎn)化和直覺(jué)的清晰性.

二、“三數(shù)”的內(nèi)涵及關(guān)系

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；都可用來(lái)反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來(lái)作為一組數(shù)據(jù)的代表.但它們之間存在著區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面.

1.定義不同.

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

2.求法不同.

平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),需要計(jì)算才能求出.

中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，處于最中間位置的數(shù)，由位置決定，不需或只需簡(jiǎn)單的計(jì)算.

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，不必計(jì)算就可求出.

3.個(gè)數(shù)不同.

在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有唯一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有唯一性.在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒(méi)有眾數(shù).

4.呈現(xiàn)不同.

平均數(shù)：是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，是通過(guò)計(jì)算得到的，它不是數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù).

中位數(shù)：是一個(gè)不完全“虛擬”的數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，它就是該組數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)據(jù)；但在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下，中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它不一定與這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)相等，此時(shí)的中位數(shù)就是一個(gè)“虛擬”的數(shù).

眾數(shù)：是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，它是真實(shí)存在的.

5.代表不同.

平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來(lái)代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”.

中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”.

眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表.

6.特點(diǎn)不同.

平均數(shù)：與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng).主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)偏大數(shù)時(shí)，平均數(shù)將會(huì)被抬高，當(dāng)出現(xiàn)偏小數(shù)時(shí)，平均數(shù)會(huì)降低.

中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它沒(méi)有影響；它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響.

眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值的影響,其缺點(diǎn)是具有不唯一性，一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能會(huì)有一個(gè)，也可能會(huì)有多個(gè)或沒(méi)有.

7.作用不同.

平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來(lái)的信息最充分.平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來(lái)作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說(shuō)的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等.

中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適.

眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合.

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）