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        “三數(shù)”知多少

        2017-02-26 12:10:27
        初中生世界 2017年39期
        關(guān)鍵詞:平均數(shù)中位數(shù)數(shù)目

        陳 芳

        “三數(shù)”知多少

        陳 芳

        一、“三數(shù)”的歷史背景

        歷史上,平均數(shù)最早是用來估計(jì)總體的.公元4世紀(jì),在古印度有一個(gè)故事:古印度國王圖潘納發(fā)現(xiàn)一棵枝繁葉茂的大樹,他想估計(jì)這棵樹上的樹葉和果實(shí)的數(shù)目.他首先找到根部的一個(gè)粗細(xì)中等的樹枝,并數(shù)出上面樹葉和果實(shí)的數(shù)目,用這一個(gè)樹枝上的樹葉和果實(shí)數(shù)目乘上樹枝的數(shù)目,從而估算出這顆樹上的樹葉和果實(shí)的總數(shù)目.在這個(gè)故事中,圖潘納選用粗細(xì)中等的樹枝作為整棵樹枝上樹葉和果實(shí)的代表值,這可能是算數(shù)平均數(shù)的直覺使用,因?yàn)樗x的樹枝代表了其余所有的樹枝,其數(shù)量處于“中間”位置.

        平均一詞源于海事法,與保險(xiǎn)、公平分享利潤和損失有關(guān).一般地,平均是把一列累加起來,等量分配到每一個(gè)個(gè)體,使之相等,體現(xiàn)了一種公平、公正精神的訴求,在引申應(yīng)用中,平均逐漸指代算術(shù)平均數(shù).不同起源的算術(shù)平均數(shù)表現(xiàn)著它的不同內(nèi)涵,直到19世紀(jì),歷史上的算術(shù)平均數(shù)才作為一種數(shù)據(jù)處理方法而出現(xiàn),和估算有著密切的關(guān)系.

        1874年,費(fèi)歇爾試圖用天文學(xué)中行之有效的方法描述心理和社會(huì)現(xiàn)象,他使用了中位數(shù),還號(hào)召簡化中位數(shù)的計(jì)算,使用中位數(shù)的重要原因是它計(jì)算的簡化和直覺的清晰性.

        二、“三數(shù)”的內(nèi)涵及關(guān)系

        平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在:都是來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量;都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平;都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表.但它們之間存在著區(qū)別,主要表現(xiàn)在以下方面.

        1.定義不同.

        平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

        中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),那么處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),那么處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

        眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

        2.求法不同.

        平均數(shù):用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),需要計(jì)算才能求出.

        中位數(shù):將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列,處于最中間位置的數(shù),由位置決定,不需或只需簡單的計(jì)算.

        眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),不必計(jì)算就可求出.

        3.個(gè)數(shù)不同.

        在一組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)和中位數(shù)都具有唯一性,但眾數(shù)有時(shí)不具有唯一性.在一組數(shù)據(jù)中,可能不止一個(gè)眾數(shù),也可能沒有眾數(shù).

        4.呈現(xiàn)不同.

        平均數(shù):是一個(gè)“虛擬”的數(shù),是通過計(jì)算得到的,它不是數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù).

        中位數(shù):是一個(gè)不完全“虛擬”的數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),它就是該組數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后最中間的那個(gè)數(shù)據(jù),是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)據(jù);但在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下,中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),它不一定與這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)相等,此時(shí)的中位數(shù)就是一個(gè)“虛擬”的數(shù).

        眾數(shù):是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù),它是真實(shí)存在的.

        5.代表不同.

        平均數(shù):反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小,常用來代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”.

        中位數(shù):像一條分界線,將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”.

        眾數(shù):反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

        這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同,但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢,都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表.

        6.特點(diǎn)不同.

        平均數(shù):與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng).主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響,這里的極端值是指偏大或偏小數(shù),當(dāng)出現(xiàn)偏大數(shù)時(shí),平均數(shù)將會(huì)被抬高,當(dāng)出現(xiàn)偏小數(shù)時(shí),平均數(shù)會(huì)降低.

        中位數(shù):與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它沒有影響;它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值,不受數(shù)據(jù)極端值的影響.

        眾數(shù):與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān),著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察,其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān),不受極端值的影響,其缺點(diǎn)是具有不唯一性,一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能會(huì)有一個(gè),也可能會(huì)有多個(gè)或沒有.

        7.作用不同.

        平均數(shù):是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值,比較可靠和穩(wěn)定,因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),反映出來的信息最充分.平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況,也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).因此,它在生活中應(yīng)用最廣泛,比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體重等.

        中位數(shù):作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性比較差,因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí),用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適.

        眾數(shù):作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性也比較差,因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).在一組數(shù)據(jù)中,如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng),且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多,此時(shí)用該數(shù)據(jù)(即眾數(shù))表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合.

        (作者單位:江蘇省宿遷市泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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