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        聚焦圓與方程問(wèn)題中的常見(jiàn)錯(cuò)解

        2017-02-26 05:48:38殷卓然
        關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)易知弦長(zhǎng)

        ■殷卓然

        聚焦圓與方程問(wèn)題中的常見(jiàn)錯(cuò)解

        ■殷卓然

        圓與方程是大家熟悉的概念,求解圓與方程問(wèn)題,應(yīng)仔細(xì)審題,認(rèn)真計(jì)算。

        一、不注意圓方程的約束條件致錯(cuò)

        例 1 已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,l),且與圓x2+y2+x—3y+k=0相切,則直線(xiàn)l的斜率k(k∈R)的取值范圍是____。

        錯(cuò)解:由題意知點(diǎn)A(l,l)不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內(nèi)部,故把點(diǎn)A(l,l)的坐標(biāo)代入圓方程滿(mǎn)足l2+l2+l—3×l+k≥0,即k≥0。故k的取值范圍是[0,+∞)。

        錯(cuò)因分析:由圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可知此方程表示圓的條件是D2+E2—4F>0,錯(cuò)解忽視了這一約束條件。

        正解:由題意知方程x2+y2+x—3y+k=0表示圓,則l2+(—3)2—4k>0,所以k<又點(diǎn)A(l,l)不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內(nèi)部,所以k≥0。

        二、思考不嚴(yán)密致錯(cuò)

        例 2 已知圓 M:(x—l)2+(y—l)2=4,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓M 相交,直線(xiàn)l被圓M截得的弦長(zhǎng)為,則直線(xiàn)l的方程為( )。

        A.3x—4y+6=0

        B.4x—3y+6=0

        C.x=2或4x—3y+6=0

        D.x=—2或3x—4y+6=0

        錯(cuò)解:把點(diǎn)P(2,3)代入圓M 的方程,可知點(diǎn)P在圓外。

        設(shè)直線(xiàn)l的方程為y—3=k(x—2),即kx—y+3—2k=0。因?yàn)橹本€(xiàn)l被圓截得的弦長(zhǎng)為,所以由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得,解得k=。故直線(xiàn)l的方程為3x—4y+6=0。應(yīng)選A。

        錯(cuò)因分析:上述解法忽視了直線(xiàn)l的斜率不存在的情況,當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)也滿(mǎn)足題意。

        正解:①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),由上可得直線(xiàn)l的方程為3x—4y+6=0。②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),其方程為x=2,這時(shí)直線(xiàn)l被圓M截得的弦長(zhǎng)也為適合題意。

        綜上可得,直線(xiàn)l的方程為x=2或3x—4y+6=0。應(yīng)選C。

        例 3 直線(xiàn)l:y=k(x—5)與圓O:x2+y2=l6相交于A(yíng),B兩點(diǎn),當(dāng)k變動(dòng)時(shí),則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)___。

        錯(cuò)解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)。易知直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)。由OM⊥AP,可得|OP|2=|OM|2+|MP|2,所以x2+y2+(x—5)2+y2=25,整理得即為所求的中點(diǎn)M的軌跡方程。

        錯(cuò)因分析:上述解法在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)不注意進(jìn)行檢驗(yàn)致錯(cuò)。求軌跡方程問(wèn)題,一定是符合實(shí)際情況的軌跡方程。

        正解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)。易知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)。由OM⊥AP,可得|OP|2=|OM|2+|MP|2,所以x2+y2+(x—5)2+y2=25,整理得

        由于弦AB的中點(diǎn)M 必在圓內(nèi),所以所求的中點(diǎn)M 的軌跡方程為

        河南羅山高級(jí)中學(xué)高三(l)班

        (責(zé)任編輯 郭正華)

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