武周虎

（青島理工大學 環(huán)境與市政工程學院，山東 青島 266033）

在《建設項目環(huán)境風險評價技術(shù)導則》［1］中指出：有毒有害物質(zhì)進入水環(huán)境的途徑包括事故直接導致和事故處理處置過程間接導致，污染物進入水體的方式一般包括“瞬時源”和“有限時段源”。但在該導則中并未給出有限時段源一維水質(zhì)模型的求解，對后者若排放數(shù)小時仍按瞬時源模型來處理，會給環(huán)境風險防范與應急工作帶來不利影響。在以往的教科書［2-3］和文獻報道［4-6］中，僅給出了瞬時源模型的解析解、穩(wěn)態(tài)源模型的解析解和連續(xù)源模型濃度分布的積分形式。武周虎等［7-8］在間隙性排放源條件下，給出了一維移流離散水質(zhì)模型的解析解，適用于周期性間隙排放情況下沿程污染物濃度分布的計算；彭應登等［9］給出的有限時段源（連續(xù)源）濃度積分公式被積函數(shù)中變量t未改為一系列瞬時源到計算時間的擴散歷時（t-τ），錯誤的對變量t求積分，因此，無法據(jù)此獲得正確結(jié)果。

本文在等強度有限時段源條件下，從一維移流離散水質(zhì)模型方程出發(fā)，采用變量替換和拉普拉斯變換的數(shù)學方法，求解河流污染物濃度分布的解析解，進行不同擴散歷時“有限時段源”與“瞬時源”沿程污染物濃度分布的比較分析，給出有限時段源可以按瞬時源計算的簡化判別條件，為建設項目水環(huán)境風險影響預測與評價以及增強《環(huán)境風險防范措施和環(huán)境風險應急預案》的可靠性，提供理論支持。

1 有限時段源的模型方程與求解條件

根據(jù)武周虎［10］提出的基于環(huán)境擴散條件的河流寬度分類判別準則，對于窄小河流，如果河道順直且可以概化為恒定均勻流，污水排入河流后很快在較短的時間（距離）內(nèi)達到全斷面均勻混合，河流中有毒有害物質(zhì)的斷面平均濃度可按一維縱向移流離散問題處理。

如果污染物的排放不是一次性瞬時完成，而是排放持續(xù)一段時間t0后完全停止，把這種污染源稱為“有限時段源”。將排污口斷面設為坐標原點O，沿河流流向的縱向坐標為x。設初始時間t=0在 x軸上的有毒有害物質(zhì)濃度為零，背景濃度暫不計入。當時間0＜t≤t0時，在x=0處排放有毒有害物質(zhì)的全斷面均勻混合濃度C0維持不變，當時間t＞t0時，在x=0處的排污停止，污染物濃度維持為零。采用一維移流離散水質(zhì)模型方程［2］：

式中：C為污染物的濃度，單位為mg/L；u為平均流速；Dx為縱向離散系數(shù)；K為污染物的降解速率系數(shù)；t為從開始排放計算的擴散歷時（時間）。除濃度外，其它變量和參數(shù)均采用m-s單位制。

求解條件為：C|t=0，對一切x=0，C|0＜t≤t0，x=0=C0，C|t＞t0，x=0=0，C|t＞0，x=±L=0，其中L足夠大。

2 有限時段源模型方程的求解過程

2.1模型方程的變形處理首先，進行第一次變量替換，令給變換式兩邊分別對t和x求一階偏導數(shù)，再對x求二階偏導數(shù)，代入式（1）整理得到：

2.2拉普拉斯變換及求解對式（3）關(guān)于t取拉普拉斯變換，0≤t＜∞。在t=0和t=t0處均屬于第一類間斷點，滿足拉普拉斯變換的存在條件［11］，將原函數(shù)和一階偏導數(shù)的拉普拉斯變換分別記為：

將式（4）和式（5）代入式（3）得到：

將初始條件V|t=0，對一切x=0代入式（6），則有：

邊界條件相應變?yōu)椋寒?＜t≤t0時當t＞t0時，U（p，0）=0；當t＞0時，U（p，±L）=0。 不難得到，二階線性齊次微分方程式（7）的通解為：

式中：C1、C2為積分常數(shù)。

根據(jù)給定邊界條件，可得出方程式（8）中的積分常數(shù)C1和C2。對于排污口斷面的下游河段x≥0有：當0＜t≤t0時，由得到由U（p，+L）=0得到C2=0；當t＞t0時，由U（p，0+）=0得到C1=0，由U（p，+L）=0得到C2=0。則有：

對于排污口斷面的上游河段x＜0有：當0＜t≤t0時，由得 到 C2=由U（p，-L）=0得到C1=0；當t＞t0時，由U（p，0-）=0得到C2=0，由U（p，-L）=0得到C1=0。則有：

2.3拉普拉斯逆變換對式（9）和式（10）分別取拉普拉斯逆變換得到：

式中：g1（t）*g2（t）稱為函數(shù)g1（t）和g2（t）的卷積積分；g1（t）*g3（t）稱為函數(shù)g1（t）和g3（t）的卷積積分。

由拉普拉斯逆變換表查知［11］：

對下游河段x≥0，將g1（t）和g2（t）代入式（11），并應用卷積積分得到：

同理，式（14）變?yōu)椋?/p>

對上游河段x＜0，將g1（t）和g3（t）代入式（12），并應用卷積積分得到：

采用上述式（13）—（17）類似的求解過程得到：

2.4濃度分布公式按照2.1節(jié)中兩次變量替換的逆序，對函數(shù)V（t，x）進行還原計算。在有限時段源排放持續(xù)期間（0＜t≤t0），由式（16）和式（20）分別還原化簡得到：

下游河段x≥0：

上游河段x＜0：

式（22）—（25）就是在有限時段源排放持續(xù)期間（0＜t≤t0），排污口斷面下游和上游河段一維水質(zhì)模型方程污染物濃度分布的解析解。

在有限時段源排放停止后（t＞t0），由式（17）和式（21）分別還原化簡得到：

下游河段x≥0：

或

上游河段x＜0：

或

式（26）—（29）就是在有限時段源排放停止后t（t＞t0），排污口斷面下游和上游河段一維水質(zhì)模型方程污染物濃度分布的解析解。

根據(jù)污染源排放強度W（g/s）確定斷面x=0處污染物初始稀釋混合濃度C0的方法與文獻［7］相同，計算公式為：

式中：Qe=Aeu為河流的環(huán)境設計流量［12］，Ae=BH為斷面面積，B為平均河寬，H為平均水深。除排放強度和濃度外，其它變量和參數(shù)均采用m-s單位制。

注意到式（23）與式（25）以及式（27）與式（29）的結(jié)構(gòu)形式對應相同，當x≥0時|x|=x，因此，可統(tǒng)一使用x＜0的式（25）或式（29）計算上、下游河段的污染物濃度分布。

3 有限時段源濃度分布分析與討論

3.1濃度分布分析

①當u=0，0＜t≤t0時，式（22）變?yōu)椋?/p>

式（31）與文獻［13］靜止水體中連續(xù)源一維離散水質(zhì)模型方程在x≥0時的解析解相同。連續(xù)源是指污染物的排放從時間t=0開始持續(xù)進行，在濃度計算時間污染物的排放沒有結(jié)束。因此，在有限時段源排放持續(xù)期間（0＜t≤t0）的濃度分布公式，同樣適用于連續(xù)源模型方程在相同求解條件下的濃度分布計算。

②當u=0，t→t0→∞時，式（22）和式（24）變?yōu)椋?/p>

式（32）與文獻［5］和教科書中一維穩(wěn)態(tài)離散水質(zhì)模型方程的解析解一致，有效濃度主要分布在的一段，在此范圍內(nèi)C/C0≥0.05。

③當K=0，0＜t≤t0時，式（22）變?yōu)椋?/p>

式（33）與文獻［13-14］連續(xù)源一維移流離散水質(zhì)模型方程在x≥0時的解析解相同。

④當u=0，K=0時，即有K ′=0，式（31）或式（26）變?yōu)椋?/p>

式（34）與文獻［13］類似問題的解析解形式相同。

⑤當t→t0→∞時，有限時段源一維水質(zhì)模型轉(zhuǎn)化為恒定連續(xù)源的一維移流離散問題，又稱為穩(wěn)態(tài)源模型，式（23）和式（25）變?yōu)椋?/p>

式（35）與文獻［5］和教科書中一維穩(wěn)態(tài)移流離散水質(zhì)模型方程的解析解一致。

通過在特定條件下，對本文污染物濃度分布公式的簡化與可對比解析解的一致性分析，表明經(jīng)過嚴格數(shù)學推導以不同形式給出的污染物濃度分布解析式（22）—（29）的正確性。

圖1 在有限時段源濃度分布式（25）中是否計入B項的計算分區(qū)

3.2濃度分布討論

①略去有限時段源濃度分布公式（25）中第二項的條件。在有限時段源排放持續(xù)期間（0＜t≤t0），對式（25）右邊中括弧內(nèi)［A+B］兩項的貢獻率作比較分析，以便對公式（25）進行簡化處理。改寫式（25）有：

A、B均為偶函數(shù)，只討論x≥0的情況。B/A的表達式為：

在文獻［14］對式（33）右邊中括弧內(nèi)兩項的貢獻率作比較分析時得到：當ξ=ut/x=1時，出現(xiàn)函數(shù)式（33）的最大值；當ξ→∞時，出現(xiàn)函數(shù)式（33）的最小值→0。據(jù)此，假設t=x/u進行分析。設定在式（25）中可略去B項的計算條件為B/A≤0.05，并令注意到式（37）變?yōu)椋?/p>

圖2 有限時段源不同擴散歷時的沿程濃度分布

依據(jù)式（38）的試算結(jié)果繪制無量綱Px（α）函數(shù)的半對數(shù)曲線，見圖1。值得注意的是，在計算機標準函數(shù)庫中，余誤差函數(shù)erfc（z）只能取到z≥0時的值，當自變量z＜0時，使用余誤差函數(shù)的性質(zhì)erfc（-z）=2-erfc（z） 來計算。

由圖1可知，在有限時段源濃度分布式（25）中可略去B項的計算條件為：

通常，在某計算河段的流速u和縱向離散系數(shù)Dx都為常數(shù)，當濃度計算點遠離排污口時，式（39）很容易得到滿足。即：除對小的|x|外，B項可以略去不計。同理可以推證，這一關(guān)系式仍然適用于對式（22）—（29）的簡化處理。

②不考慮上游河段污染物濃度分布的條件。在有限時段源排放持續(xù)期間（0＜t≤t0），污染物向排污斷面上、下游移流離散的影響范圍不斷擴大，污染影響長度逐步增長。當t→t0→∞時，排污斷面上、下游的污染物濃度分布逐漸達到穩(wěn)定狀態(tài)，其污染影響長度達到最大。

文獻［5-6］給出的河流穩(wěn)態(tài)移流離散水質(zhì)模型的簡化分類條件，可作為有限時段源排放持續(xù)期間，污染物是否向上游（x＜0）離散遷移、是否考慮上游河段污染物濃度分布的判據(jù)，對環(huán)境管理是偏于安全的。該判別條件為：當O’Connor數(shù)和貝克來數(shù)時，移流作用占主導地位，天然河流的上中游河段大多屬于此類情況，無需考慮排污斷面上游的污染物濃

度分布；在其它條件下，均需對排污斷面上游的污染物濃度分布進行計算。

當有限時段源排放停止后（t＞t0），對于α較大或者α較小且Wt? 1的情況，離散作用相對較大，污染物對排污斷面上游的污染影響將會持續(xù)一段時間，逐漸消失；但對其余情況，污染物對排污斷面上游的污染影響會迅速消失。

圖3 時段源與瞬時源起始排放的沿程濃度分布比較

4 算例與對比分析

4.1有限時段源的算例分析設有限時段源的排放持續(xù)時間t0=1 h，排污斷面x=0處的污染物初始稀釋混合濃度C0保持不變，河流的平均流速u=1.0 m/s，縱向離散系數(shù)Dx=30 m2/s。則由式（25）和式（29）計算不同擴散歷時t=0.5、1.5、2.5、3.5h的沿程污染物濃度分布，如圖2所示。在圖2中，實線表示降解速率系數(shù)K=0的保守物質(zhì)，虛線表示降解速率系數(shù)K=0.26 d-1的非保守物質(zhì)。

由圖2看出，當0＜t≤t0時，有限時段源在x=0斷面產(chǎn)生的污染物濃度維持不變，在移流作用下，濃度分布曲線出現(xiàn)了水平段；在離散作用下，出現(xiàn)濃度分布曲線向上游x＜0的急劇衰減下降段和向水平段下游的衰減下降曲線。當t=t0時有限時段源排放結(jié)束，之后出現(xiàn)濃度分布曲線向排污斷面下游的整體移動，中間近似平頂段，濃度最大值對應的縱向坐標小于有限時段源排放中間點的遷移距離，即xc1＜xc=u（t-t0/2），兩側(cè)分別呈現(xiàn)向上、下游的衰減下降曲線。當擴散歷時繼續(xù)增大，濃度分布曲線的中間平頂段逐漸消失，濃度最大值對應的縱向坐標很快趨于有限時段源排放中間點的遷移距離，即xc1→xc，出現(xiàn)向下游比向上游的濃度下降過程稍緩的偏態(tài)分布。當t＞＞ t0、x較大時，濃度分布曲線趨于正態(tài)分布。圖2還表明，由降解速率系數(shù)K引起的污染物衰減作用，使對應時間和空間點上的污染物濃度減小，當擴散歷時越短，降解速率系數(shù)的作用越不明顯，當擴散歷時越長，高濃度減小的幅度稍大。

圖4 時段源與瞬時源中間排放的沿程濃度分布比較

圖5 時段源與瞬時源最大濃度和相應位置比較

4.2有限時段源與瞬時源濃度分布比較分析瞬時源一維移流離散水質(zhì)模型方程式（1）的解析解為［2-3］：

式中：在x=0斷面t=0時間突發(fā)瞬時源的污染物質(zhì)量為M0，取其值等于有限時段源在排放持續(xù)期間的污染物總排放量Wt0，其它符號同前。

采用初始稀釋混合濃度C0的表達式（30）對式（40）中的污染物濃度作無量綱處理，整理得到：

為便于比較，取河流特性和排污等計算參數(shù)與3.1節(jié)中相同，對降解速率系數(shù)K=0的保守物質(zhì)進行分析。在瞬時源的突發(fā)時間t=0條件下，圖3給出了不同擴散歷時有限時段源與瞬時源沿程污染物濃度分布比較。

由圖3看出，由于瞬時源是在x=0斷面t=0時間突發(fā)出現(xiàn)，而有限時段源才剛剛開始排放，有限時段源在持續(xù)排放期間，瞬時源所產(chǎn)生的污染物沿程濃度分布，已逐漸離開起始排放斷面出現(xiàn)在下游河段。由此看出，瞬時源產(chǎn)生的污染云質(zhì)量中心（正態(tài)濃度分布的峰值點）與有限時段源產(chǎn)生的沿程濃度分布前沿同步，其污染云的質(zhì)量中心提前有限時段源排放持續(xù)時間的一半t0/2到達下游河段同一位置。因此，在將有限時段源簡化為瞬時源計算時，務必將瞬時源的突發(fā)時間移至有限時段源排放的中間時間t0/2進行計算。

將瞬時源的突發(fā)時間移至有限時段源排放的中間時間t0/2進行計算，式（41）變?yōu)椋?/p>

在瞬時源的突發(fā)時間t=t0/2條件下，圖4給出了不同擴散歷時有限時段源與瞬時源沿程污染物濃度分布比較；圖5給出了瞬時源最大相對濃度（Cm/C0）、有限時段源最大相對濃度（Cm1/C0）和比值（Cm/Cm1）以及兩者最大濃度相應位置的縱向坐標比值（xc1/xc）隨時間的變化過程（下標“1”表示有限時段源的計算值，下同）。

由圖4和圖5看出，由于瞬時源是在x=0斷面t=t0/2時間突發(fā)出現(xiàn)，因此，瞬時源產(chǎn)生的污染云質(zhì)量中心與有限時段源產(chǎn)生的沿程濃度分布質(zhì)量中心大致同步到達下游河段同一位置。但由于瞬時源是集中排放，污染云不容易離散開，當擴散歷時較短，污染物最大濃度遠超有限時段源。主要表現(xiàn)為瞬時源的沿程濃度分布曲線瘦高，污染物主要集中在最大值兩側(cè)附近，但瞬時源的污染物最大濃度沿程下降較快；而有限時段源的沿程濃度分布曲線扁平，濃度分布較寬，且污染物最大濃度沿程下降較緩慢，這種差別隨著擴散歷時的增長逐漸減小。對有限時段源與瞬時源的比較分析表明，在擴散歷時t較短時，兩者的沿程污染物濃度分布相差較大，有限時段源的最大濃度小于瞬時源，但時段源處于較高濃度的河段更長；在擴散歷時t較長時，兩者的沿程污染物濃度分布逐漸趨于一致。

由圖5還看出，有限時段源與瞬時源最大濃度相應位置的縱向坐標比值（xc1/xc）很快趨于1，說明有限時段源沿程濃度分布曲線的中間平頂段消失后，濃度最大值對應的縱向坐標很快趨于有限時段源排放中間點的遷移距離，即xc1→xc=u（t-t0/2）。相比之下，瞬時源與有限時段源最大濃度比值（Cm/Cm1）趨于1的過程要緩慢得多，說明只有在擴散歷時較長、兩者預測的最大濃度接近時，才可以將有限時段源簡化為按瞬時源計算。

圖6 有限時段源與瞬時源的計算分區(qū)

5 有限時段源按瞬時源計算的簡化條件

5.1有限時段源與瞬時源計算臨界點的定義在突發(fā)污染事故持續(xù)排放一段時間t0的情況下，若按瞬時源進行計算，在擴散歷時較短時污染物的沿程濃度分布預測值偏離較大，但在擴散歷時較長時兩者的預測結(jié)果會逐漸接近。也就是說有限時段源與瞬時源的濃度最大值是一個漸近過程，據(jù)此定義：將按瞬時源與有限時段源進行計算的污染物最大濃度之比等于1.05的條件，作為可以簡化為按瞬時源計算的臨界時間tk確定依據(jù)。即：當擴散歷時t≥tk時，污染物的沿程濃度分布可以按瞬時源的計算公式預測；否則，應按有限時段源的計算公式預測。下面討論降解速率系數(shù)K=0保守物質(zhì)的臨界時間tk與排放持續(xù)時間t0及其相關(guān)因子的關(guān)系。

由式（42）可知，瞬時源的污染物最大濃度為：

由圖4看出，由于有限時段源排放結(jié)束的時間滯后，污染物濃度分布中間出現(xiàn)近似平頂段，濃度最大值出現(xiàn)位置滯后，但當污染物濃度分布中間的平頂段很快消失時，有限時段源與瞬時源的濃度最大值出現(xiàn)位置很快趨于一致。即令x=xc=u（t-t0/2），代入式（26）整理得到有限時段源的污染物最大濃度為：

再令擴散歷時t=ζt0，代入式（43）和式（44）分別得到瞬時源和有限時段源的污染物最大濃度為：

其中：無量綱數(shù)Wt=u2t0/Dx=us/Dx（稱為排放數(shù)），表示有限時段源在持續(xù)排放期間的污染物遷移傳遞與離散傳遞通量之比；s=ut0為初始遷移長度。

5.2有限時段源簡化為瞬時源的判據(jù)根據(jù)臨界時間tk的定義，令式（45）與式（46）的比值等于1.05，則有：

圖7 在臨界時間按時段源與瞬時源計算的沿程濃度分布比較

由式（47）的試算結(jié)果繪制無量綱臨界時間ζk與無量綱數(shù)Wt的關(guān)系曲線，見圖6。

當Wt＞10時，由圖6中的理論試算點進行回歸分析，得到有限時段源與瞬時源計算分區(qū)的無量

表1 在臨界時間按時段源與瞬時源計算的沿程濃度分布特性比較

綱臨界時間方程為：

由圖6和式（48）可以看出，無量綱臨界時間ζk與無量綱數(shù)Wt呈現(xiàn)良好的正比例關(guān)系。在河流平均流速和縱向離散系數(shù)不變的情況下，無量綱數(shù)Wt隨排放持續(xù)時間t0的增加而增加，無量綱臨界時間ζk同步增加。即排放持續(xù)時間越長，無量綱臨界時間越大，有限時段源簡化為按瞬時源計算需要的臨界時間越長，相應的污染云質(zhì)量中心縱向坐標xck=u（tk-t0/2）越遠。

當Wt≤10時，由于同一擴散歷時，有限時段源與瞬時源的濃度最大值不在同一位置出現(xiàn)，式（44）和式（46）均不能代表有限時段源的污染物最大濃度值，而且兩者預測結(jié)果的沿程濃度分布特征差別較為明顯，所以，此時的有限時段源不能簡化為按瞬時源計算。在實際中，當無量綱數(shù)Wt較小，排放斷面x=0附近區(qū)域處于污染物的初始稀釋混合階段，一維移流離散水質(zhì)模型很難準確預測，再者擴散歷時t較短，或小于應急反應時間，所以，可無需進行水質(zhì)預測。分析認為，可將Wt=10時的無量綱臨界時間ζk=4.20作為Wt≤10時的計算分區(qū)依據(jù)。

綜上，有限時段源可以按瞬時源計算的簡化條件，即從開始排放計算的擴散歷時（時間）必須滿足t≥tk=ζkt0，則有：

將Wt代入式（49）化簡得到有限時段源簡化為瞬時源的判別條件為：

此時，相應的污染云質(zhì)量中心縱向坐標xc=u（t-t0/2）≥（ζk-0.5）ut0，即：

5.3分類臨界狀態(tài)的濃度分布比較及其標準差分析在3.2節(jié)中算例的給定參數(shù)條件下，計算得到無量綱數(shù)Wt=u2t0/Dx=120，由式（48）得到臨界時間tk=50.40 t0=181440 s，相應的污染云質(zhì)量中心縱向坐標xck=179.64 km。在降解速率系數(shù)K=0和K=0.26 d-1條件下，圖7和表1給出了在臨界時間按有限時段源和瞬時源計算的沿程濃度分布及特性比較。

由圖7和表1可知，當降解速率系數(shù)K=0和K=0.26 d-1時，在臨界時間的有限時段源按瞬時源計算，其最大濃度和濃度分布標準差的相對誤差絕對值均小于等于5.0%。表明，在臨界時間條件下，對降解速率系數(shù)K=0和K=0.26 d-1的情況，按瞬時源和有限時段源計算的沿程濃度分布曲線和特性均吻合良好。說明在降解速率系數(shù)K=0保守物質(zhì)條件下，給出的有限時段源可以按瞬時源計算的臨界時間tk（Wt）方程和簡化判別條件，同樣適用于K≠0的非保守物質(zhì)。由圖5可知，隨著擴散歷時的進一步增大，兩者計算結(jié)果的相對誤差將進一步減小，沿程濃度分布曲線和特性的吻合程度將進一步提高。

由此推論，在擴散歷時t≥tk，即有限時段源可以按瞬時源計算的情況下，可以通過實測河段的沿程污染物濃度分布或河段縱向坐標x（≥xc）斷面的污染物濃度過程線，按瞬時源的濃度分布公式反推，確定出該河段的縱向離散系數(shù)。

6 結(jié)論

（1）在等強度有限時段源條件下，給出了有限時段源排放持續(xù)期間和排放結(jié)束后，不同擴散歷時河流沿程污染物濃度分布的解析解。分析表明，在不同簡化條件下與可對比解析解完全一致。（2）給出了在有限時段源濃度分布公式中，可略去第二項的計算條件與無量綱分區(qū)曲線，以及可略去上游河段污染物濃度分布的判別條件。（3）定義了無量綱數(shù)Wt=u2t0/Dx，提出了有限時段源可以按瞬時源計算的臨界時間tk（Wt）方程和簡化判別條件：當擴散歷時t＜tk，按有限時段源的濃度分布公式計算；當擴散歷時t≥tk，且將污染事故的突發(fā)時間移至排放持續(xù)時段的中間時間t0/2，方可按瞬時源的濃度分布公式計算。（4）根據(jù)移流離散水質(zhì)模型方程式（1）的線性特性，其解濃度分布符合疊加原理。因此，對變強度有限時段源可按時間坐標分成若干個排放時段單獨計算，最后，按對應時間和空間進行濃度分布疊加計算。

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