王忠林,劉樹堂

(1. 山東大學 控制科學與工程學院, 山東 濟南 250061; 2. 濱州學院 航空工程學院, 山東 濱州 256603)

一個切換Lorenz混沌系統(tǒng)的特性分析

王忠林1,2,劉樹堂1

(1. 山東大學 控制科學與工程學院, 山東 濟南 250061; 2. 濱州學院 航空工程學院, 山東 濱州 256603)

為使混沌系統(tǒng)更好地應用于工程實踐，通過構(gòu)造由2個子系統(tǒng)組成的切換Lorenz型混沌系統(tǒng)，分析子混沌系統(tǒng)和自動切換混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，利用拓撲馬蹄引理從理論上證明了切換混沌系統(tǒng)吸引子的存在性，基于模擬電路和數(shù)字電路2種實驗手段實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)，分析結(jié)果表明，在相同參數(shù)下，切換系統(tǒng)具有與子系統(tǒng)的不同的動力學特性，切換系統(tǒng)比子系統(tǒng)具有更大的混沌參數(shù)區(qū)間。實驗結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致，在理論和實驗兩方面證明了切換混沌系統(tǒng)的存在性。

切換混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)譜；分岔圖；電路實現(xiàn)；拓撲馬蹄

0 引 言

混沌系統(tǒng)是一個非線性動力學系統(tǒng)，具有對初始條件的高度敏感性、類隨機性、不確定性和非周期性等特征被廣泛應用于保密通信、信息加密等領(lǐng)域。自Chen等利用反饋控制法在Lorenz系統(tǒng)[1]的基礎上提出Chen系統(tǒng)[2]以來，研究者陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多的混沌和超混沌系統(tǒng)[3-8]，將廣義Lorenz系統(tǒng)族中的平方項或者交叉乘積項用線性或非線性的切換函數(shù)代替，可以使得廣義Lorenz系統(tǒng)族由原來光滑的連續(xù)可導的三維二次多項式自治系統(tǒng)變換成為相對應的不連續(xù)的分段型廣義Lorenz系統(tǒng)族[9-11]，但是變換后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)性質(zhì)對比研究還比較少，對于這種系統(tǒng)也缺乏嚴格的理論證明。

本文以文獻[3]提出的系統(tǒng)和修改的Lorenz系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，獲得了一個自動切換混沌系統(tǒng)[10]，通過對系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的對比分析，自動切換系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，當固定某些參數(shù)的情況下，另外的參數(shù)在更大的范圍內(nèi)具有混沌特性，也就是說，通過切換，子系統(tǒng)在非混沌(周期或擬周期)狀態(tài)，切換系統(tǒng)成為混沌狀態(tài)。

1 系統(tǒng)模型

基于Lorenz系統(tǒng)，文獻[3]構(gòu)造的混沌系統(tǒng)模型為

(1)

把Lorenz系統(tǒng)第2個方程中y變成-y，得到的混沌系統(tǒng)模型為

(2)

由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)組成一個新的自動切換混沌系統(tǒng)

(3)

系統(tǒng)(3)中f(x)是切換函數(shù)，其定義為

(4)

即當x≥0時，系統(tǒng)(3)運行子系統(tǒng)(1)，當x<0時，系統(tǒng)(3)運行子系統(tǒng)(2)。系統(tǒng)(3)在子系統(tǒng)(1)和子系統(tǒng)(2)之間實現(xiàn)自動切換。

2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖分析

當h∈[0,9]，系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖1所示。下面通過h取不同值(h∈[0,9])時，采用系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)(3)的動力學特性變化情況。

1)當h=0.4時，采用Lyapunov指數(shù)包，計算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.044 392，LE2=-0.063 027，LE3=-9.781 365，系統(tǒng)(3)處于擬周期狀態(tài)。這時，系統(tǒng)(3)在x-y平面的相圖，用四階龍格庫塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2a所示。

圖1 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.1 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram

2)當h=1.0時，采用Lyapunov指數(shù)包，計算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.027 530，LE2=-0.006 675，LE3=-10.668 625，系統(tǒng)(3)處于擬周期狀態(tài)。系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2b所示。

3)當h=2.8時，采用Lyapunov指數(shù)包，計算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=2.102 897，LE2=0.002 314，LE3=-14.305 211，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2c所示。系統(tǒng)(3)中虛線表示運行系統(tǒng)(2)，實線表示運行系統(tǒng)(1)。

4)1個混沌的子系統(tǒng)和1個周期子系統(tǒng)切換后系統(tǒng)為混沌。當h=5.0時，采用Lyapunov指數(shù)包，計算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=1.814 621，LE2=0.003 568，LE3=-16.218 189，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。這時，系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2d所示。

5)2個周期的子系統(tǒng)切換后系統(tǒng)變?yōu)榛煦?，當h=8.0時，采用Lyapunov指數(shù)包，計算得系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)LE1=0.848 959，LE2=-0.000 682，LE3=-18.248 277，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。這時，系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖，用四階龍格庫塔法在matlab2008中的求解結(jié)果如圖2e所示。

圖2 系統(tǒng)(3)在y-z平面的相圖Fig.2 y-z phase portrait of system (3)

3 自動切換混沌系統(tǒng)的計算機輔助證明

3.1 理論依據(jù)

本文利用Yang等提出的拓撲馬蹄引理證明自動切換混沌系統(tǒng)存在拓撲馬蹄[11-13]。拓撲馬蹄引理的主要內(nèi)容可以概括為：如果X是一個可分的度量空間，Q是這個度量空間X的緊子集，f:Q→X,且存在m個互不相交的緊致子集Q1,Q2,…,Qm，f|Qi是連續(xù)的。若存在f連接簇，則將存在一個緊不變子集QI?Q,使得f|QI與一個m移位映射半共扼。

對于連接簇f的定義是，設Γ是Q的緊子集，如果Γi=Γ∩Qi(i=1,2,…,m)是緊致的和非空的，則Γ就被稱為對應于Q1,Q2,…,Qm的連接。令F為一簇對應于Q1,Q2,…,Qm的連接，如果滿足Γ?F?f(Γi)?F。F就稱為對應于Q1,Q2,…,Qm的f連接簇。

設m移位映射σ是一個度量空間到其本身的映射，也就是

σ(s)i=i+1,

(5)

這個映射的拓撲熵ent(σ)=lnm。

如果2個動力系統(tǒng)(X,f)與(Y,g)是半共扼的，則f的拓撲熵不小于g的拓撲熵，也就是ent(f)≥ent(g)。

根據(jù)拓撲馬蹄引理，可以進一步得到ent(f)≥ent(σ)=lnm，若m>1,則動力系統(tǒng)f就是混沌的。

3.2 輔助證明[12-13]

下面選取自動切換混沌系統(tǒng)(3)在y=-8.5時Poincaré截面，同時定義一個一次回歸Poincaré映射，證明該混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射與1個2移位映射半共扼，即這個系統(tǒng)的拓撲熵大于或等于ln2，且是混沌的。

系統(tǒng)(3)的相軌跡圖和它的Poincare截面如圖3所示，在y=-8.5平面內(nèi)，選取一個截面X，它的4個頂點分別為：[-4 ，30],[14，30],[14，60],[-4，60]。定義一個一次回歸Poincaré映射p:X→X，對于任意點x∈X，p(x)是由初始點x出發(fā)的自動切換混沌系統(tǒng)在X截面內(nèi)的第一次回歸映射或Poincaré映射。

圖3 系統(tǒng)(3)的相軌跡圖和它的Poincaré截面Fig.3 Attractor of system (3) and a suitable cross section

如果應用拓撲馬蹄引理證明切換系統(tǒng)(3)存在拓撲馬蹄，必須在截面X內(nèi)找到2個或2個以上互相交的子集存在一個一次回歸Poincaré映射p:X→X的連接簇，才能應用拓撲馬蹄引理證明切換系統(tǒng)(3)的拓撲馬蹄的存在性，從而證明切換系統(tǒng)的混沌吸引子的存在性。經(jīng)過大量的嘗試后，在X內(nèi)發(fā)現(xiàn)了2個互不相交的子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|，其中子集Q1的4個頂點坐標為

A1=[0.441 449 814 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.189 526 184 999 998]，

B1=[1.157 063 197 000 000,-8.500 000 000 000 000,36.396 508 728 000 001]，

C1=[3.954 460 967 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.014 962 594 000 004]，

D1=[3.108 736 059 000 000,-8.500 000 000 000 000,43.728 179 550 999 997]；

子集Q2的4個頂點坐標為

A2=[8.429 368 029 999 999,-8.500 000 000 000 000,50.012 468 828 000 003]，

B2=[8.763 940 520 000 000,-8.500 000 000 000 000,48.615 960 100 000 002]，

C2=[9.934 944 238 000 000,-8.500 000 000 000 000,50.187 032 418 999 998]，

D2=[9.544 609 664 999 999,-8.500 000 000 000 000,52.281 795 510 999 999]；

圖4 子集Q1的像和子集Q2的像Fig.4 Image of Q1and Q2

由上可知，對于X內(nèi)子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|的每一個連接γ，它的像p(γ∩Q1)和p(γ∩Q2)也完全穿過了子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|,既p(γ∩Q1)和p(γ∩Q2)也是子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|的連接。根據(jù)f連接簇的定義可知存在一個混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射的連接簇， 混沌系統(tǒng)的一次回歸Poincaré映射與一個2移位映射拓撲半共扼，它的拓撲熵ent(p)≥ln2>0。也就是說這時系統(tǒng)的拓撲熵大于零，因此系統(tǒng)(3)是混沌的。

4 系統(tǒng)的電路設計和實驗結(jié)果

混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)是驗證混沌系統(tǒng)動力學行為的有效手段，也是混沌應用于工程實際的基礎?；煦缦到y(tǒng)的電路實現(xiàn)主要分為兩大類，一類是利用運算放大器、電阻和電容等分立元件形成各自獨立的功能模塊連接組成的電路模擬硬件實現(xiàn)；另一類則是采用超大規(guī)模FPGA、DSP等數(shù)字處理芯片經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換輸出構(gòu)成電路數(shù)字實現(xiàn)，本文分別采用這2種方式實現(xiàn)了系統(tǒng)(3)。

4.1 模擬電路實現(xiàn)混沌系統(tǒng)

為了實現(xiàn)混沌系統(tǒng)(3)，設計了一個模擬電路如圖5所示，電路包括兩部分，基本電路和自動切換電路，基本電路由運算放大器、模擬乘法器、線性電阻和電容組成。運算放大器采用同相端接地，反相端輸入的方法，它和線性電阻實現(xiàn)加減運算，和電容實現(xiàn)積分運算，乘法器實現(xiàn)乘法運算，自動切換電路由運算放大器和模擬開關(guān)及電阻組成，運算放大器采用LF347，乘法器采用AD633JN，模擬開關(guān)采用ADG409，其中C1=C2=C3=10 nF，R13=R20=5 kΩ，R15=R22=1 kΩ，R16=9.43 kΩ，R16=7.14 kΩ，R18=R23=100 kΩ，R21=13.5 kΩ，R24=80 kΩ，除R19外，其余電阻均為10 kΩ。當R19=35.7 kΩ時，對應參數(shù)h=2.8，在示波器上獲得系統(tǒng)(3)在x-z平面的實物投影如圖7所示，模擬電路實現(xiàn)結(jié)果與圖2的數(shù)值計算結(jié)果符合得很好。

4.2 數(shù)字電路實現(xiàn)混沌系統(tǒng)

用數(shù)字電路實驗混沌系統(tǒng)，首先需要對連續(xù)的混沌系統(tǒng)進行離散化，本文采用歐拉算法對系統(tǒng)(1)，(2)和(3)進行離散化處理，采用Matlab 2008a中的Simulink工具箱中的DSP Builder進行建模，將模型文件轉(zhuǎn)換成基于Quartus II 9.0的工程文件，最后，下載到Altera公司的EP3C25Q240C8N芯片中，D/A采用的是TI的14位的DAC904高速DA轉(zhuǎn)換器，實驗系統(tǒng)如圖6所示，當h=0.4，1.0，5，8時，在示波器上獲得系統(tǒng)(3)的實物投影如圖7所示，數(shù)字電路實現(xiàn)結(jié)果與圖2的數(shù)值計算結(jié)果符合的很好。

圖5 實現(xiàn)混沌系統(tǒng)(3)的電路圖Fig.5 Circuit of implementing of system(3)

圖6 數(shù)字電路實現(xiàn)混沌系統(tǒng)實物圖Fig.6 FPGA evaluation board used to perform digital implementation

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了一個由2個子系統(tǒng)組成的自動切換混沌系統(tǒng)，通過對子混沌系統(tǒng)和自動切換混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)，相同參數(shù)下，自動切換系統(tǒng)與子系統(tǒng)具有完全不同的動力學行為；利用拓撲馬蹄引理從理論上證明了切換混沌系統(tǒng)吸引子的存在性；通過模擬電路和數(shù)字電路實現(xiàn)了子混沌系統(tǒng)和切換混沌系統(tǒng)，用數(shù)字電路和模擬電路所得實驗結(jié)果與計算機軟件的計算結(jié)果完全一致，從而在理論和實驗兩方面證明了切換混沌系統(tǒng)的存在性，這在基于混沌的工程實踐中是很有意義的。

圖7 系統(tǒng)(3)在y-z平面的示波器上的實物投影Fig.7 Experiment observations results of system(3)

[1] LORENZ E N. Deterministic non-periodic flows[J].Atoms Sci,1963, 20(1):130-141.

[2] CHEN Guangrong, UETA T. Yet another chaotic attractor [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 9(7): 1465-1466.

[3] 蔡國梁，譚振梅，周維懷，等.一個新的混沌系統(tǒng)的動力學分析及混沌控制[J].物理學報，2007，56(11): 6230-6237. CAI Guoliang,TAN zhengmei,ZHOU Weihuai,et al.Dynamical analysis of a new chaotic system and its chaotic control[J].Acta Phys Sin,2007,56(11):6230-6237.

[4] 黃沄,羅小華,張鵬.一種新的具有光滑二次函數(shù)多渦卷混沌系統(tǒng)及其FPGA實現(xiàn)[J].重慶郵電大學學報：自然科學版, 2012, 24(4): 479-482. HUANg Yun, LUO Xiaohua, ZHANG Peng. A novel smooth quadratic multi-scroll chaotic system and its implementation based on FPGA[J]. Journal of Chongqing University of Post and Telecommunications: Natural Science Edition, 2012, 24(4): 479-482.

[5] 吳淑花,劉振永,張若洵,等.一個新三維系統(tǒng)的電路實現(xiàn)及其混沌控制[J].重慶郵電大學學報：自然科學版,2012,24(4):473-478. WU Shuhua, LIU Zhenyong, ZHANG Ruoxun, et al. Circuit simulation of a new three-dimensional chaotic system and its chaotic control[J],Journal of Chongqing University of Post and Telecommunications：Natural Science Edition, 2012,24(4):473-478.

[6] 曹學鵬,呂毅博,黃婷婷,等.不同混沌調(diào)制方式在基于超寬帶系統(tǒng)的體內(nèi)信道下的性能表現(xiàn)[J].重慶郵電大學學報：自然科學版, 2016,28(1):72-77. CAO Xuepeng, LU Yibo, HUANG Tingting, et al. Performance of different DCSK schemes over the UWB in-body channel[J]. Journal of Chongqing University of Post and Telecommunications: Natural Science Edition, 2016,28(1):72-77.

[7] WANG Guangyi，BAO Xulei，WANG Zhonglin. Design and FPGA implementation of a new hyperchaotic system[J]. Chinese physics B，2008，17(10)：3596-3602.

[8] ZHANG Yajun,WANG Cuiping,WANG Guangyi,et al.Design and experimental confirmation of a Novel switched Hyperchaotic system[J].The Journal of China Universities of Posts and Telecommunications, 2009,16(2):128-133.

[9] 劉揚正，姜長生，林長圣，等.一類切換混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)[J].物理學報, 2007，56(6)：3107-3112. LIU Yangzheng, JIANG Changsheng, LIN changsheng，et al. A class of switchable 3D chaotic systems[J]. Acta Phys Sin, 2007，56(6): 3107-3112.

[10] 王忠林，黃娜.一個自動切換混沌系統(tǒng)的設計與FPGA實現(xiàn)[J].中國海洋大學學報:自然科學版，2010, 40(1)：111-114. WANG Zhonglin, HUANG Na. Design and FPGA implementation of an automatism switch chaotic system[J]. Periodical of Ocean University of China: Natural Science Edition，2010, 40(1)：111-114.

[11] MISCHAIKOW K, MROZEK M. Chaos in the Lorenz Equations:A Computer-Assisted Proof[J]. Butt Am Math Soc,1995(32)：66-72.

[12] YANG Xiaosong, LI Qingdu. Existence of horseshoes in a foodweb model[J]. Int J Bifur Chaos, 2004(14) :1847-1852.

[13] LI Qingdu, ZHANG Lang, YANG Fangyan . An Algorithm to Automaically Detect the Smale Horseshoes[J]. Discret Dyn Nat Soc, 2012(31):726-737.

(編輯：魏琴芳)

Analysis of properties of a switched Lorenz type chaotic system

WANG Zhonglin1,2, LIU Shutang1

(1. College of Control Science and Engineering, Shangdong University, Ji'na 250061,P.R.China; 2. College of Aeronautical Engineering Binzhou University, Binzhou 256603,P.R.China)

In order to promote the application of chaotic systems in engineering practice, this paper presents a Lorenz-type switched system composed of two subsystems. The new chaotic system is analyzed with Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. To present a computer assisted verification of chaos, the switching system is also studied by utilizing topological horseshoe theory. Physical verification has also been done in two different methods with an analog electronic circuit and a digital electronic circuit, respectively. Numerical analysis shows that the switched system has a larger chaotic region than its subsystems and the dynamics characteristics much different from subsystems. It also shows that numerical and experimental results are matches very well. The existence of the chaotic attractors is proved in both theory and experiment.

switched chaotic system; Lyapunov exponent spectrum；bifurcation diagram; circuit experiment; topological horseshoe

10.3979/j.issn.1673-825X.2017.01.011

2015-12-20

2016-06-21 通訊作者：王忠林 E-mail:bzcong@126.com

山東省自然科學基金(ZR2014FQ019)

Foundation Item：The Natural Science Foundation of Shangdong Province of China(ZR2014FQ019)

TN914.42

A

1673-825X(2017)01-0068-07

王忠林(1970-)，男，副教授，在讀博士，主要從事混沌理論及應用與EDA技術(shù)研究。E-mail：bzcong@126.com 劉樹堂，男， 教授，博士生導師，主要從事混沌理論及應用研究。