余安娜
在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,求解最值是一大重點(diǎn)和難點(diǎn),也是每年高考的一大熱點(diǎn),題型和方法多種多樣。而利用線性規(guī)劃求解最值也是我們常運(yùn)用的一種較簡單的手段,它需要學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,而且還能體現(xiàn)學(xué)生的綜合分析能力,邏輯思維能力以及解決實(shí)際問題的能力,故本文就對利用線性規(guī)劃求解最值問題進(jìn)行淺析。
(題型一)求與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的最值問題:
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式如()時(shí),可把目標(biāo)函數(shù)變形為
,則目標(biāo)函數(shù)表示斜率為,上的截距為的直線l,然后通過平移尋找最優(yōu)解.一般步驟如下:(1)作出可行域;(2)平移目標(biāo)函數(shù)的直線系,根據(jù)截距求出最優(yōu)解.
例1. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足 則求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值. 【解析】畫出滿足不等式組的可行域如下圖:
目標(biāo)函數(shù)化為:-z,畫直線及其平行線,可知當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),-z的值最大,z的值最小,解方程組得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,6),所以,z的最小值為:3-2×6=-9。
(題型二)求比值的最值問題:
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率,這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為連線斜率的最值。
例2 設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則求的最大值.
【解析】畫出不等式組所確定的平面區(qū)域如下圖,
表示兩點(diǎn)確定的直線的斜率,要求z的最大值,即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值.由上圖可以看出直線的斜率最大,故為與的交點(diǎn),即A點(diǎn).
∴.故的最大值為.
(題型三)求與距離有關(guān)的最值問題:
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)距離的平方,這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為距離平方的最值。
例3.已知,求的最小值.
【解析】作出可行域如下圖:
并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo),而表示定點(diǎn)到可行域內(nèi)任一點(diǎn)的距離的平方,過定點(diǎn)作直線的垂線,易知垂足在線段上,故z的最小值是.
(題型四)求與截距有關(guān)的最值問題:
例4.不等式組表示的平面區(qū)域面積為81,求的最小值.
【解析】由可行域的面積為81求出,作出可行域如下圖:
令,則此式變形為,z可看作是動(dòng)拋物線在y軸上的截距,當(dāng)此拋物線與相切時(shí)z最小,故聯(lián)立方程組,得到方程,,得到答案。
利用線性規(guī)劃思想去理解高中數(shù)學(xué)中一些求最值問題,實(shí)際上是對數(shù)形結(jié)合思想的提升,是從一個(gè)新的角度對求最值問題的理解,對于學(xué)生最優(yōu)化思想的形成是非常有益的。