劉 尚,姚文杰,荀 坤

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

利用弦鏈系統(tǒng)模擬量子力學(xué)中的Dirac梳

劉 尚,姚文杰,荀 坤

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

利用弦鏈系統(tǒng)模擬Dirac梳，將力學(xué)系統(tǒng)中的一維弦鏈的振動與量子力學(xué)一維周期性勢場中的電子波函數(shù)進行類比，這2個系統(tǒng)具有等價的本征方程，因此其本征譜也應(yīng)該具有相同的特性，例如具有能帶結(jié)構(gòu). 通過實驗測量和數(shù)值計算研究了弦鏈系統(tǒng)的本征譜分布，發(fā)現(xiàn)結(jié)果有一定偏差，這種偏差可能來源于非零的副弦質(zhì)量、主弦的彈性以及主弦和副弦之間非零的接觸點尺寸，適當修正之后得到了與實驗相符的計算結(jié)果.

Dirac梳;弦鏈系統(tǒng);動力學(xué)模擬

Dirac梳在量子力學(xué)中是一個非常有名的例子,它說明了電子在周期性的勢場中會存在能帶結(jié)構(gòu)[1], 這是固體物理當中一個普遍而重要的結(jié)論[2]. 不過, 由于勢能函數(shù)的特殊性, 要從實驗上研究電子Dirac梳幾乎不可能. 而許多研究已經(jīng)表明：不同物理系統(tǒng)中的波(如機械波、光波、電子波等)往往具有相似的性質(zhì)[3-7]，為此嘗試將復(fù)雜的量子力學(xué)問題簡化為經(jīng)典力學(xué)中的問題, 從而更方便地理解電子波函數(shù)在一維Driac梳中的行為. 賀卓然等人曾借助于對弦質(zhì)量密度分布具有周期性的弦鏈系統(tǒng)的振動模測量,間接得到了電子Dirac梳的能譜[8]. 本文進一步建立弦鏈系統(tǒng),其滿足的本征波動方程與Dirac梳的定態(tài)薛定諤方程在數(shù)學(xué)上完全等價. 測量了該弦鏈系統(tǒng)的振動譜，并與數(shù)值計算結(jié)果進行了比較,發(fā)現(xiàn)由于實驗條件并非理想,實驗結(jié)果和理想的Dirac梳還是存在一定的差別. 通過分析指出了差別的來源并進一步修正,計算結(jié)果與實驗結(jié)果比較好地吻合.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Dirac梳

圖1 Dirac梳示意圖

Dirac梳是量子力學(xué)中描述一維周期性勢場非常常用的例子之一,它所描述的勢場是δ函數(shù)型的一維周期性勢場,如圖1所示. 其勢能函數(shù)可寫為

V(x)=∑nV0δ(x-na) ,

(1)

其中a為勢場的周期. 根據(jù)量子力學(xué)的Bloch定理,在周期性的勢場中波函數(shù)一定可以寫為Bloch函數(shù)的形式:

ψ(x+a)=eiκaφκ(x),

(2)

其中κ為待定的波數(shù). 而定態(tài)薛定諤方程為

-22md2dx2+V(x)ψ=Eψ.

(3)

將勢場V(x)的表達式(1)代入方程(3),可以看到在x≠na時,方程解可以很簡單地表示為

ψ(x)=Aeikx+Be-ikx,

(4)

其中k為波函數(shù)的波失,A和B是待定常量. 利用x=na時的銜接條件可以得到波函數(shù)所滿足的方程為

cos (κa)=cos (ka)+mV0k2sin (ka).

(5)

通過方程(5)可以看到,方程左側(cè)的值只能位于-1和+1之間,而方程右側(cè)的值根據(jù)不同的k值,在某些特定的取值下會出現(xiàn)絕對值大于1的情況,此時方程無解,也就是說這些k值不能取,出現(xiàn)所謂的能隙.

上面的討論是無限的周期性的Dirac梳,然而在現(xiàn)實中只能考察有限的情況,進一步的理論分析表明有限的周期性勢場下,能帶結(jié)構(gòu)依然存在, 但是每個能帶內(nèi)的能級都是分裂的.

1.2 弦鏈系統(tǒng)的動力學(xué)方程

設(shè)主弦線密度為μ,主弦張力為T,弦上某點橫向位移為ψ(x),單位弦長受到的橫向力為f(x,ψ,t),則弦的動力學(xué)方程可以寫為

μdx?2ψ?t2=T?2ψ?x2dx+f(x,ψ,t)dx.

(6)

這是弦鏈系統(tǒng)普遍適應(yīng)的方程. 由于所考察的弦鏈系統(tǒng)意在和Dirac梳進行對比,所施加的單位弦長受到的橫向力為周期性δ函數(shù)形式的線性回復(fù)力:

f(x,ψ,t)=-∑ifδ(x-xi)ψ,

(7)

其中xi=ia(i=1,2,…,n). 將式(7)代入式(6)并通過分離變量簡化可以得到:

-d2dx2+∑ifδ(x-xi)ψ=k2ψ,

(8)

其中k=2πf/v為所求振動模的波數(shù),v=T/μ為弦上波速. 可以看到,上述弦的動力學(xué)方程(8)和Dirac梳中電子運動的薛定諤方程(3)在形式上是完全一致的,它們唯一的區(qū)別在于(3)式中的E可以小于0,而(8)式中的k2不能小于0,因此弦鏈系統(tǒng)同樣存在“能帶”結(jié)構(gòu).

2 實 驗

2.1 實驗裝置

圖2為實驗裝置的簡要示意圖,通過定滑輪給主弦掛上砝碼來產(chǎn)生主弦張力T,掛上砝碼后將主弦兩端固定作為固定邊界條件. 采用鎳質(zhì)的琴弦作為主弦,0.4號釣魚線作為副弦,與主弦垂直提供等效線性回復(fù)力. 副弦的張力通過掛砝碼的杠桿提供,可以通過調(diào)節(jié)砝碼掛在杠桿上的位置來調(diào)節(jié)副弦中的張力.

圖2 實驗裝置示意圖

考慮到副弦中張力太大容易被拉斷,為此使用了2根釣魚線作為1根副弦并以如圖3的方式搭在主弦上,這樣保證了對稱性. 最后,實驗中弦振動源起振的簡諧信號和主弦的響應(yīng)信號用SR785動態(tài)分析儀來分別實現(xiàn)輸出和收集:動態(tài)分析儀和弦鏈系統(tǒng)通過起振器和接收器聯(lián)系起來. 起振器將分析儀輸出的電子信號轉(zhuǎn)化為交變磁場,以此驅(qū)動鐵質(zhì)的主弦產(chǎn)生振動(需要另外使用永磁體提供偏置磁場，否則主弦的振動信號將只含有二倍頻和更高頻的信號),而接收器可以記錄下主弦在若干個基頻周期內(nèi)的振動信號,然后在分析儀中通過傅里葉變換求得所需頻率的振幅. 若使輸出頻率在一定范圍內(nèi)進行掃描,則可以得到主弦振動關(guān)于頻率的響應(yīng)曲線,曲線的峰值處即為所需的本征頻率.

圖3 副弦搭載示意圖

需要注意的是,裝載副弦時考慮到整體的周期性,對于副弦以1根、3根、7根的方式加載,分別將主弦分割成2,4,8等分. 另外,起振器和接收器的位置要避免放在波函數(shù)的波節(jié)處,否則會出現(xiàn)所謂的“缺級”現(xiàn)象,即本來應(yīng)該有共振峰處突然間變成波谷. 因此,實驗中需要調(diào)節(jié)起振器和接收器的位置xs和xr,直到所有的峰都能被探測到為止. 另外，實驗時起振器上需放小磁鐵用以減弱二倍頻帶來的影響.

2.2 實驗結(jié)果

實驗采用的參量如下:

1)起振器和接收器位置xs=190 mm,xr=1 410 mm.

2)主弦參量:μ=0.696 g/m,T=10.94 N,L=1 800 mm.

3)副弦參量:μf=0.081 8 g/m,F=23.8 N,Lf=157 mm.

其中主弦線密度μ和副弦線密度μf由分析天平測得,主弦張力T和副弦張力F由測力計直接測得,主弦長度L、副弦長度Lf以及起振器和接收器的位置xs和xr由米尺測得.

可以利用Matlab對此弦鏈系統(tǒng)進行模擬. 將f=2FTLf代入方程(8)可得:

-d2dx2+∑i2FTLfδ(x-xi)ψ=k2ψ,

(9)

其中ψ所滿足的邊界條件為ψ(0)=ψ(L)=0. 離散化后,方程(9)可方便地數(shù)值求解. 在實際計算時,通過比較不同離散化精度下的計算結(jié)果來判斷所求得的數(shù)值解是否在所需精度下收斂.

考察每種實驗條件下的前3個能帶, 實驗結(jié)果和理論預(yù)期的對照如圖4所示, 藍色實線為實驗測得的響應(yīng)曲線,黑色虛線為理論預(yù)測值.

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=3

(d)n=7圖4 實驗測量響應(yīng)曲線及理論預(yù)測值

從圖4(a)可以看到,裸弦(n=0)沒有能帶結(jié)構(gòu),理論的本征頻率和實驗測得的共振峰基本是吻合的,這證明了測量的主弦參量基本上沒有問題. 加了1根副弦的情況(n=1)如圖4(b)所示,可以比較清晰地看到3個能帶,每個能帶內(nèi)有2個峰值,這與理論預(yù)期相符. 加了3根副弦的情況(n=3)如圖4(c) 所示,同樣是3個能帶,此時每個能帶內(nèi)有4個峰,理論預(yù)測值和實驗測得的共振峰有一定的偏差. 加了7根副弦的情況(n=7)如圖4(d)所示,能帶結(jié)構(gòu)依舊比較明顯,此時每個能帶內(nèi)有7個峰,理論預(yù)測值和實驗測得的共振峰偏差已經(jīng)非常大了,說明理論模型存在問題,需要進行修正.

2.3 理論修正

為了分析偏差的來源,一方面,考慮到副弦有質(zhì)量,副弦的振動肯定會對主弦的振動帶來一定的影響;另一方面,圖4(d)中每個能帶的最后共振峰和理論值相差較多,而從理論上講,每個能帶的最后峰應(yīng)該是副弦所處的位置，正好是波函數(shù)的節(jié)點處,也就是說副弦不會對主弦的振動帶來影響, 因此對于主弦本身也需要進行修正.

根據(jù)上述分析,首先對主弦進行修正. 由于圖4(a)只測量了前6個本征頻率,而圖4(d)中出現(xiàn)了24個頻率,首先對裸線的24個本征頻率進行測量,測量結(jié)果如圖5(a) 所示. 可以看到,本征頻率隨著序號的增加基本呈線性增加,如果對于每個本征頻率處做相對偏差繪圖Δf=fexp-ftheory,如圖5(b)所示,可以看到實驗值隨著序號增加總體比理論值進一步偏高.

(a)實驗測得的本征頻率

(b)實驗測得的本征頻率和理論值之差圖5 裸弦的本征頻率

表1 主弦等效線密度μeff

接下來對副弦進入修正. 在理想情況的方程中,2Fψ/Lf是主弦在節(jié)點處受到副弦施加的作用力,它假設(shè)副弦在主弦一側(cè)的形態(tài)總是1條直線,現(xiàn)在應(yīng)當改成某個未知的參量Ii,其中下標i用于表示不同的節(jié)點. 再考慮到副弦的振動方程,結(jié)合牛頓第三定律,得到系統(tǒng)的振動方程組:

-d2dx2ψ+1T∑iIiδ(x-xi)=ω2v2ψ,

(10a)

(10b)

其中yi和ui(yi)分別為第i根副弦的坐標和振動橫向位移,vf為副弦波速. 取副弦坐標范圍為yi∈[-Lf,Lf], 則yi=0處為主弦和副弦的相交節(jié)點. 顯然我們只關(guān)心滿足ui(y)=ui(-y)的對稱解,所以可以把求解范圍縮減一半. 對(10b)式在yi∈[-ε,ε]的范圍內(nèi)積分,并取ε→0的極限,可以得到:

-2duidyi0+-1FIi=0,

(11)

則

Ii=-2Fduidyi0+.

(12)

這樣解出了節(jié)點耦合力的顯式表達式,這和直接對節(jié)點處進行受力分析得到的結(jié)果一致. 最終得到可以離散化求解的方程組:

-d2dx2ψ(x)+1T∑iIiδ(x-xi)=ω2v2ψ(x),

ψ(0)=ψ(L)=0,

ui(0)=ψ(xi),ui(Lf)=0.

(13)

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=3

(d)n=7圖6 修正后的理論值和實驗值比較

在考慮了對主弦和副弦的理論修正以后,修正后的理論預(yù)測值和實驗結(jié)果的比較如圖6所示,修正后的理論預(yù)測值用紅色的虛線表示，藍色實線為實驗結(jié)果. 可以看到,對于n=0的情況,修正前后的理論值一致,如圖6(a)所示;對n=1的情況,修正前后的差別不大,都和實驗結(jié)果符合得較好,如圖6(b)所示;對n=3的情況,修正后的結(jié)果比原來更接近實驗結(jié)果,如圖6(c)所示;對n=7的情況,在不修正時理論預(yù)測值和實驗結(jié)果有很大偏差,修正后可以基本吻合,見圖6(d).

總之,由于副弦質(zhì)量帶來的影響,把原來的1個能帶內(nèi)帶寬給拉大了,這樣的結(jié)果是不同能帶間的能隙變小了,這對于觀察能帶結(jié)構(gòu)不利. 為了實驗中清楚地看到能帶結(jié)構(gòu),可以采取減小主弦張力或者增大副弦張力的辦法,但是這樣做可能會引入主弦被副弦扭曲的形變,在具體操作時需要折中考慮.

3 結(jié)束語

本實驗通過弦鏈系統(tǒng)成功地模擬了Dirac梳,觀察到了能帶結(jié)構(gòu),并對n=1,3,7的3種情況做了比較詳細的探討. 同時,對一般的弦動力學(xué)方程的理論進行了主弦和副弦的修正, 通過修正后的理論與實驗結(jié)果吻合得較好.

致謝：感謝隋靖揚與我們分享在此實驗上得到的結(jié)果和經(jīng)驗.

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[8] 賀卓然,周廷弢,荀坤. 用力學(xué)方法測量一維有限狄拉克梳的電子態(tài)[J]. 物理實驗,2013,33(1):1-3,7.

[責任編輯：任德香]

Simulating the Dirac comb with a string chain system

LIU Shang, YAO Wen-jie, XUN Kun

(School of Physics, Peking University, Beijing 100871, China)

The Dirac comb was simulated using a string chain system. The classical mechanical vibration of this one-dimensional string chain and the electron wave function in a one-dimensional periodic potential had equivalent eigenvalue equations and their eigen-spectra should share the same properties, such as the existence of band structure. The eigen-spectrum distribution of the string chain system was studied by experiment as well as numerical computation, and the results from those two methods did not coincide with each other. Such discrepancy might come from the nonzero mass of the associated strings, the elasticity of the main string and the non-vanishing area of the touching points between the main string and associated strings. By introducing suitable corrections, numerical results finally recovered the experimental ones.

Dirac comb; string chain system; dynamical simulation

2016-05-30；修改日期：2016-09-10

劉 尚(1994-),男,河北石家莊人,北京大學(xué)物理學(xué)院2012級本科生.

指導(dǎo)教師：荀 坤(1961-),男,貴州興義人,北京大學(xué)物理學(xué)院副教授,博士,研究方向為磁性薄膜.

O413,1;O32

A

1005-4642(2017)01-0007-06

“第9屆全國高等學(xué)校物理實驗教學(xué)研討會”論文